第13讲 导数解答题之构造新函数类（原卷及解析版）

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（1）求的极值；
（2）设，，若对任意的，，，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，，在区间，上总存在、，使得成立，求的取值范围．
2．已知．
（1）当时，
①求的图象在点处的切线方程；
②当时，求证：．
（2）若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
3．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）设，且有两个极值点，，其中，若恒成立，求的取值范围．
4．已知函数为常数）有两个极值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）设的两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的最小值．
5．记，表示，中的最大值．如，．已知函数，，，．
（1）求函数在，上的值域；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
6．已知函数，．
（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围．
7．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；
（Ⅲ）若正实数，满足，证明．
8．设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，，，函数，求证：；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，，且，，，满足．