高考数学一轮复习第8章第3节圆的方程学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第3节圆的方程学案，共9页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第三节　圆的方程考试要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．一、教材概念·结论·性质重现1．圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：，半径： (1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (　√　)(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆． (　×　)(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是． (　×　)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0．                            (　　)2．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)A．(－1,1)   B．(－，)C．(－，)   D．C　解析：因为原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜．故选C．3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)A．(2,3)，3   B．(－2,3)，C．(－2，－3)，13   D．(2，－3)，D　解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝．故选D．4．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)A．(x－1)2＋y2＝1  B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1  D．(x－1)2＋(y－1)2＝2B　解析：由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)．又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．故选B． 5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是_________．(－2，－4)　5　解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1．当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．考点1　圆的方程——基础性1．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)A．x2＋y2＋10y＝0　　 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0   D．x2＋y2－10x＝0B　解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则圆的方程为x2＋(g－r)2＝r2．又圆过(3,1)，故32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0．故选B．2．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m的取值范围为(　　)A． B．C． D．∪[1，＋∞)A　解析：根据题意，方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0，变形得[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1．当且仅当－7m2＋6m＋1＞0，即7m2－6m－1＜0时方程表示圆，解得－＜m＜1，即m的取值范围为．故选A．3．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．x2＋y2＋2x＋4y－5＝0　解析：法一：几何法设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．法三：待定系数法设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为．由题意得解得D＝2，E＝4，F＝－5．故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．1．(1)若已知圆的切线，则圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)若已知圆上两点，则圆心在两点构成的弦的垂直平分线上．2．用代数法求圆的方程，特别是已知圆上三个点时，可以设出圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．考点2　与圆有关的轨迹问题——综合性(2021·衡水中学调研)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1．又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)．因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．将本例的条件变为：点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为，试求点M的轨迹方程．解：设点M(x，y)，由题意得＝，整理得x2＋y2＋2x－3＝0．求与圆有关的轨迹方程的方法1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1A　解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．故选A．2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为．因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝，＝，整理得又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4．所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与点P的轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和．考点3　与圆有关的最值问题——应用性考向1　斜率型、截距型、距离型最值问题已知点M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求的最大值和最小值．解：(1)依题意，圆心C(2,7)，半径r＝2．设m＋2n＝t，则点M(m，n)为直线x＋2y＝t与圆C的公共点，所以圆心C到该直线的距离d＝≤2，解得16－2≤t≤16＋2．所以m＋2n的最大值为16＋2．(2)设点Q(－2,3)．则直线MQ的斜率k＝．设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0．由直线MQ与圆C有公共点，得≤2，解得2－≤k≤2＋，即2－≤≤2＋．所以的最大值为2＋，最小值为2－．本例的条件不变，试求的最大值．解：易知(0,0)在圆外，所以＝，所以所求的最大值为圆上的点到原点距离的最大值．因为圆心C(2,7)，半径r＝2，所以圆上的点到原点距离的最大值d＝＋2＝＋2．与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．考向2　利用对称性求最值已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)A．5－4   B．－1C．6－2   D．A　解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4．作圆心C1(2,3)关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4．故选A．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．1．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．　解析：x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示圆的一半，如图．设P(x，y)是此曲线上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝．又kBQ＝3，所以所求范围是．2．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为__________． 12　解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4．因为点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的点，所以x2＋(y－3)2＝1,2≤y≤4，所以x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．因为2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12．