人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第3节圆的方程学案理含解析

这是一份人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第3节圆的方程学案理含解析，共6页。学案主要包含了疑误辨析，走进教材，易错自纠等内容，欢迎下载使用。
第三节　圆的方程[最新考纲][考情分析][核心素养]　　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.　　求圆的标准方程、一般方程，圆心到直线的距离，与圆有关的轨迹、最值问题是2021年高考考查的热点，题型以选择题与填空题为主，也可能出现在解答题中，分值为5～12分.数学运算‖知识梳理‖1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)半径为r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：半径r＝ 2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．►常用结论1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．(　　)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√二、走进教材2．(必修2P124A1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)A．(2，3)，3 B．(－2，3)，C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，答案：D3．(必修2P130例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案：C三、易错自纠4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．解析：若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<.答案：5．已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1，2)，要使过定点A的圆的切线有两条，则a的取值范围是________．解析：将圆的方程配方得＋(y＋1)2＝，则4－3a2>0，即－<a<.又由题意知点A在圆外，得>，化简得a2＋a＋9>0，a∈R，故a的取值范围是.答案：6．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是________．解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案：x2＋(y－2)2＝1|题组突破|1．已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)A．＋y2＝ B．＋y2＝C．＋y2＝ D．＋y2＝解析：选C　解法一(待定系数法)：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即圆E的标准方程为＋y2＝.解法二(几何法)：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.所以圆E的半径为|EB|＝ ＝，所以圆E的标准方程为＋y2＝.2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，由圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以C(2，0)，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝93．(2019年北京卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．解析：因为抛物线的标准方程为y2＝4x，所以焦点F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.因为所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.答案：(x－1)2＋y2＝4►名师点津1．求圆的方程的两种方法几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程待定系数法①根据题意，选择标准方程与一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程[提醒]　解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．【例】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.►名师点津求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．(2)定义法：根据圆的定义写出方程．(3)几何法：利用圆的性质列方程．(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．|跟踪训练|从圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0解析：选D　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D．【例】　(2019届四川省宜宾市高三适应性考试)若动点P在直线a：x－2y－2＝0上，动点Q在直线b：x－2y－6＝0上，记线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x0－2)2＋(y0＋1)2≤5，则x＋y的取值范围为________．[解析]　由题意知，直线a：x－2y－2＝0与直线b：x－2y－6＝0平行．因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上．设该直线为l，则直线l的方程为x－2y－4＝0.因为线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x0－2)2＋(y0＋1)2≤5，所以点M(x0，y0)在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5的内部或在圆上．设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动．联立直线l与圆的方程，得解得A(4，0)，B(0，－2)．因为x＋y＝|OM|2，x＋y表示的几何意义为线段AB上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以x＋y的最小值为＝，当M与A重合时，x＋y取得最大值，且最大值为42＋02＝16，即x＋y的最大值为16，所以x＋y的取值范围是.[答案]　►名师点津求解与圆有关的最值、范围问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为|跟踪训练|已知点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)A．2，2－ B．2＋，2－C．，4－ D．＋1，－1解析：选B　由题意知|AB|＝＝，lAB：2x－y＋2＝0，圆C的圆心坐标为(1，0)，∴圆心到直线lAB的距离d＝＝.∴S△PAB的最大值为××＝2＋，S△PAB的最小值为××＝2－.