高考数学一轮复习第8章第5节椭圆学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第5节椭圆学案，共17页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第五节　椭圆
考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．

一、教材概念·结论·性质重现
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段F1F2．
(3)若ab>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，
A2(a,0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b,0)，
B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2


(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：
给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m>n>0，椭圆的焦点在y轴上⇔0b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点．若△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：设直线x＝交x轴于点M，

因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∠PF2M＝60°，＝＝2c，
在Rt△PF2M中，∠PMF2＝90°，∠MPF2＝30°，所以＝2．
因为P为直线x＝上一点，所以2＝2c，即a2＝2c2，所以e＝＝．
(2)(2022·青岛模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
C　解析：如图所示，

因为线段PF1的中垂线经过点F2，
所以PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点P，使得PF2＝2c．
所以2c≥a－c．所以e＝∈．

求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
考向2　与椭圆有关的最值问题
已知F(2,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，过F且垂直于x轴的弦长为6．若A(－2，)，点M为椭圆上任一点，则|MF|＋|MA|的最大值为________．
8＋　解析：设椭圆的左焦点为F′，
由椭圆的右焦点为F(2,0)，得c＝2，又过F且垂直于x轴的弦长为6，即＝6，
则＝＝3，解得a＝4，
所以|MF|＋|MA|＝8－|MF′|＋|MA|＝8＋|MA|－|MF′|，
当M，A，F′三点共线时，|MA|－|MF′|取得最大值，
(|MA|－|MF′|)max＝|AF′|＝，
所以|MF|＋|MA|的最大值为8＋．

椭圆的范围与最值问题
(1)在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，有|x|≤a，|y|≤b，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值．
(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值．

1．已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，在椭圆E上存在点P，满足＝且F2到直线PF1的距离等于b，则椭圆E的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：由已知得＝＝2c，

根据椭圆的定义可得＋＝2a⇒＝2a－2c．
又F2到直线PF1的距离等于b，即＝b．
由等腰三角形三线合一的性质可得：F2H⊥PF1，
可列方程：
(a－c)2＋b2＝(2c)2⇒a2－ac－2c2＝0
⇒(a－2c)(a＋c)＝0⇒a－2c＝0⇒e＝．故选B．
2．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
C　解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12．



设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，求离心率e的取值范围．
[四字程序]
读
想
算
思
在椭圆上存在点P，使得∠F1PF2为直角
1．在焦点三角形中可利用哪些性质或结论
2．离心率的表达式有哪些
构建点P的横坐标x与a，b，c的关系式，利用椭圆的有界性求解
转化与化归，函数与方程
求椭圆离心率e的取值范围
1．在焦点三角形中要注意应用：
①椭圆的定义．
②勾股定理或余弦定理．
③三角形的面积公式
2．e＝或e＝
x2＝
1．椭圆的有界性．
2．一元二次方程有实根的条件


思路参考：利用曲线范围．
解：设P(x，y)，又知F1(－c,0)，F2(c,0)，
则＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)．
由∠F1PF2＝90°，知⊥，
则·＝0，
即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，
得x2＋y2＝c2．
将这个方程与椭圆方程＋＝1联立，
消去y，可得x2＝．
由椭圆的取值范围及∠F1PF2＝90°，
知0≤x2