2024届高考数学一轮复习第8章第3节圆的方程学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第8章第3节圆的方程学案，共18页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第三节　圆的方程
考试要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

一、教材概念·结论·性质重现
1．圆的定义及方程
定义
平面上到定点的距离等于定长
的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)，
半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：-D2，-E2，
半径：12D2+E2-4F


(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
②圆心在任一弦的中垂线上．
③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为-D2，-E2，半径r＝D2+E2-4F2的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点-D2，-E2；当D2＋E2－4Fr2．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)20且k≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA|＝2|PB|，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是(　　)
A．22 B．2
C．223 D．23
A　解析：设A(1，0)，B(－1，0)，P(x，y)，
则x-12+y2x+12+y2＝2，化简得(x＋3)2＋y2＝8，

当点P到AB(x轴)距离最大时，△PAB的面积有最大值，
所以△PAB面积的最大值是12×2×22＝22.
故选A．
12．(2022·厦门模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠CAB＝π3，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则PB·PC的最小值为________．
5－27　解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

则A(0，0)，B(4，0)，C(1，3)，设P(x，y)，则PB＝(4－x，－y)，PC＝(1－x，3－y)，
所以PB·PC＝(4－x)(1－x)－y(3－y)＝x2－5x＋y2－3y＋4＝x-522＋y-322－3，其中x-522＋y-322表示圆A上的点P与点M52 ，32之间距离|PM|的平方．由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝522+322－1＝7－1，
所以(PB·PC)min＝(7－1)2－3＝5－27.
13．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．
(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：(1)由题可知，圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2.
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，
所以∠MAP＝90°.
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，
故|MP|＝22+232＝4.
又|MP|＝0-2b2+4-b2＝5b2-8b+16，
所以5b2-8b+16＝4，解得b＝0或b＝85.
所以点P的坐标为(0，0)或165，85.
(2)设点P的坐标为(2b，b)．
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆是以MP为直径，以MP的中点坐标b，b+42为圆心的圆，
所以圆N的方程为
(x－b)2＋y-b+422＝4b2+b-424，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由2x+y-4=0， x2+y2-4y=0，
解得x=0，y=4，或x=85，y=45，
所以圆N过定点(0，4)和85，45.