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高考数学一轮复习第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系学案

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这是一份高考数学一轮复习第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求：能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．

一、教材概念·结论·性质重现
1．直线与圆的位置关系的判断
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断．
dr⇔相离．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ，

直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方法和思路，解题时要根据题目特点灵活选择．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法　
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2| 两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解

(1)用代数法判断两圆的位置关系时，要准确区分两圆内切、外切或相离、内含．
(2)两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含：0条．②内切：1条．③相交：2条．④外切：3条．⑤外离：4条．
3．重要结论
(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
(2)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)·(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2．
(4)直线与圆相交时，弦心距d、半径r、弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋．
(5)过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　×　)
(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件． (　×　)
(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2． (　√　)
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条． (　√　)
2．“k＝0”是“直线y＝kx－与圆x2＋y2＝2相切”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C　解析：直线与圆相切⇔＝⇔k＝0．
3．圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切线的条数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
A　解析：两圆的圆心距|C1C2|＝4>2＋1，所以两圆外离，两圆的公切线有4条．
4．(2021·长春质检)圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
B　解析：由(x2＋y2－4)－(x2＋y2－4x＋4y－12)＝0得公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0，它与两坐标轴分别交于(－2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为×2×2＝2．
5．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝_______．
　解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝()2，
又圆心(1,2)到直线l的距离为，
所以|AB|＝2＝．

考点1　直线与圆的位置关系——基础性

1．(2021·江西上饶模拟)直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
B　解析：将圆的方程化为标准方程得＋＝，所以圆心坐标为，半径r＝＝．因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．故选B．
2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
C　解析：由2tx－y－2－2t＝0(t∈R)得：(2x－2)t－(y＋2)＝0，
所以直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)恒过点(1，－2)．
因为1＋4－2－8＝－5<0，
所以(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，
所以直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．故选C．
3．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)
A．[－，] B．(－，)
C． D．
C　解析：设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，
直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，

所以圆心到直线的距离小于等于半径，即d＝≤1，
得4k2≤k2＋1，k2≤，即－≤k≤．故选C．

1．注意常用方法：判断直线与圆的位置关系一般用几何法，即d与r的关系进行判断．
2．注意直线上定点的作用：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

考点2　圆与圆的位置关系——综合性

(1)若圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，则实数m的值为(　　)
A．1 B．11
C．121 D．1或121
D　解析：对x2＋y2－4x＋8y－16＝0进行整理，可得(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故两圆的圆心坐标为(－1,0)，(2，－4)，半径分别为，6．因为圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，所以圆心距d满足d＝|r2－r1|，即＝|－6|，解得m＝1或121．
(2)已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0．
①求证：圆C1和圆C2相交；
②求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
①证明：由题意可知，圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r2＝4，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圆C1和C2相交．
②解：圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减，整理得4x＋3y－23＝0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0．
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2＝2．

本例(1)中若两圆内含，求实数m的取值范围．
解：圆(x＋1)2＋y2＝m的圆心为(－1,0)，半径为；圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0，
即(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故圆心为(2，－4)，半径为6．
由两圆内含得<|－6|，解得m<1或m>121．

(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．注意两圆相切时，应分外切、内切两种情况．
(2)两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
(3)求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d、半弦长、半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．

1．(2022·安徽黄山五校联考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B　解析：将圆M的方程化为x2＋(y－a)2＝a2，则圆心M(0，a)，半径r1＝a．点M到直线x＋y＝0的距离d＝，则＋2＝a2，得a＝2，故M(0,2)，r1＝2．又圆N的圆心N(1,1)，半径r2＝1，所以|MN|＝，而|r1－r2|<|MN|<|r1＋r2|，所以两圆相交．故选B．
2．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3 B．4
C．2 D．8
B　解析：如图，连接O1A，O2A，

由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1O＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25．设AB交x轴于点C．在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2×＝2，所以AB＝2AC＝4．故选B．

考点3　直线与圆的综合问题——应用性

考向1　弦长问题
已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝r2截y轴所得的弦长为2，过点(0,4)且斜率为k的直线l与圆C交于A，B两点．若|AB|＝2，则k的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
D　解析：已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝r2截y轴所得的弦长为2，
所以圆心坐标为(4,2)，半径为r，
则42＋()2＝r2，解得r＝3．
由于过点(0,4)且斜率为k的直线l与圆C交于A，B两点，|AB|＝2，
则设直线l的方程为y＝kx＋4，
由点到直线的距离公式可得：＝，解得k＝．

求弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．
考向2　圆的切线问题
若过直线3x＋4y－2＝0上一点M向圆C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝4作一条切线切于点T，则|MT|的最小值为(　　)
A． B． 4
C． 2 D． 2
D　解析：根据题意，圆C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝4，其圆心为(－2，－3)，半径r＝2，
过点M向圆C作一条切线切于点T，则|MT|＝＝．
当|MC|取得最小值时，|MT|的值最小，
而|MC|的最小值为点C到直线3x＋4y－2＝0的距离，则|MC|min＝＝4，
则|MT|的最小值为＝2．故选D．

(1)处理圆的切线问题要抓住圆心到直线的距离等于半径这一关系，从而建立方程解决问题．
(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．

1．(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
D　解析：圆x2＋y2＝的圆心为原点，半径为，经检验原点与选项A，D中的直线y＝2x＋1，y＝x＋的距离均为，即两直线与圆x2＋y2＝均相切，原点与选项B，C中的直线y＝2x＋，y＝x＋1的距离均不是，即两直线与圆x2＋y2＝均不相切，所以排除选项BC．将直线方程y＝2x＋1代入y＝，得2()2－＋1＝0，判别式Δ＜0，所以直线y＝2x＋1与曲线y＝不相切，所以排除选项A．故选D．
2．已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
5　解析：设圆心为O(0,0)，圆心到直线的距离d＝＝4．取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB．在Rt△OMA中，r＝＝5．

一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程．
[四字程序]
读
想
算
思
求圆的标准方程或一般方程
如何求圆的方程？
1．圆的标准方程是什么？
2．圆的一般方程是什么
数形结合
1．圆的圆心在直线上．
2．圆与直线相切．
3．圆在直线上截得的弦长为
根据题目条件设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求解
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
借助于圆的几何性质求解

思路参考：根据圆心在直线上，设出圆心．由圆与直线相切，表示出半径，结合弦长求出圆的方程．
解：因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
且与y轴相切，
所以设所求圆的圆心为C (3a，a)，半径为r＝3|a|．
又圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝，
所以有d2＋()2＝r2，
即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1．
故所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．

思路参考：设出圆的标准方程．利用圆心到直线的距离公式表示出半径，结合弦长求出圆的方程．
解：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为，
所以r2＝＋()2，
即2r2＝(a－b)2＋14．①
由于所求的圆与y轴相切，所以r2＝a2．②
又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，
所以a－3b＝0．③
联立①②③，解得
a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9．
故所求的圆的方程是
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．

思路参考：设出圆的一般方程，用待定系数法求解．
解：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心为，半径为．
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0．
由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F．④
又圆心到直线x－y＝0的距离为，由已知，得＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤
又圆心在直线x－3y＝0上，
所以D－3E＝0．⑥
联立④⑤⑥，解得
D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1．
故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．

1．本题考查圆的方程的求法，解法灵活多变，基本解题策略是设出圆的方程，借助待定系数法求解．
2．基于课程标准，解答本题需要掌握圆的标准方程和一般方程的一般形式．本题的解答体现了数学运算、直观想象的核心素养．
3．基于高考评价体系，本题通过圆的代数性质和几何性质之间相互联系和转化，体现了基础性．

已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则圆C的方程为______________．
(x－1)2＋(y＋4)2＝8　解析：(方法一)如图，设圆心(x0，－4x0)．依题意得＝1，
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8．