高考数学一轮复习第8章第1节直线方程学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第1节直线方程学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第一节　直线方程考试要求：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握直线方程的几种形式，能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直．一、教材概念·结论·性质重现1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．2．斜率公式(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即 k＝tan α．(2)倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率．(3)如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的斜率k＝．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2．3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)斜率k存在斜截式y＝kx＋b斜率k存在两点式＝x1≠x2，y1≠y2，即不与坐标轴平行或重合的直线截距式＋＝1ab≠0，即不垂直于坐标轴，不过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有的直线都适用 (1)求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)“截距式”中截距不是距离，而是直线与坐标轴交点的相应坐标．在用截距式时，应先判断截距是否为0．若不确定，则需分类讨论．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． (　×　)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　×　)(3)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示． (　×　)(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．                            (　√　)2．直线x－y－1＝0的倾斜角α的大小为(　　)A．30°   B．60°  C．120°   D．150°A　解析：直线x－y－1＝0的斜率为k＝，故tan α＝．因为0°≤α<180°，所以α＝30°．故选A．3．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)A．k1<k2<k3  B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1  D．k1<k3<k2D　解析：直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2．故选D．4．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点在同一条直线上，则m的值为(　　)A．－2 　 　B．2 　 　C．－ 　 　D．D　解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝，解得m＝．故选D．5．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是________________．x＋y＋＝0　解析：因为直线的倾斜角为120°，所以斜率k＝－．又由题意知直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0．考点1　直线的倾斜角和斜率——基础性1．直线2xcos  α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A．   B．C．   D．B　解析：直线2xcos  α－y－3＝0的斜率k＝2cos  α．由于α∈，所以≤cos  α≤，因此k＝2cos  α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan  θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是．2．若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．　解析：kPQ＝＝<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为．3．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．(－∞，－4]∪　解析：如图所示，kPA＝＝－4，kPB＝＝．要使直线l与线段AB有交点，则有k≥或k≤－4．1．注意倾斜角与斜率之间的函数关系：k＝tan α，α∈∪，求倾斜角或斜率范围时，可结合图象解题．2．当直线逆时针旋转倾向于与y轴重合或平行时，斜率越来越大，且趋近于＋∞；当直线顺时针旋转倾向于与y轴平行或重合时，斜率越来越小，且趋近于－∞．考点2　求直线的方程——综合性已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0．求：(1)AC所在直线的方程；(2)点B的坐标．解：(1)因为AC⊥BH，所以设AC所在直线的方程为2x＋y＋t＝0．把A(5,1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11．所以AC所在直线的方程为2x＋y－11＝0．(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为．联立得方程组化简得解得故B(－1，－3)．求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．1．过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为________________．x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0　解析：由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝(α∈[0，π))，从而cos  α＝±，则k＝tan α＝±．故所求直线的方程为y＝(x＋4)或y＝－(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0．2．已知在△ABC中，A(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程． 解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点(图略)．因为点B在中线y－1＝0上， 所以设点B的坐标为(xB,1)．因为点D为AB的中点，点A的坐标为(1,3)，所以点D的坐标为．因为点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，所以－2×2＋1＝0，所以xB＝5，所以点B的坐标为(5,1)．因为点C在直线x－2y＋1＝0上，所以设点C的坐标为(2t－1，t)．所以AC的中点E的坐标为．因为点E在中线BE：y＝1上，所以＝1，所以t＝－1．所以点C的坐标为(－3，－1)，所以△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0．考点3　直线方程的应用——应用性考向1　求与最值有关的直线方程已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求当在两坐标轴上截距之和取得最小值时直线l的方程．解：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2．故a＋b的最小值为3＋2，此时＝，求得b＝＋1，a＝2＋．此时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2－＝0．本例中的条件不变，求当△AOB的面积最小时直线l的方程．解：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1．因为＋≥2⇒ab≥2，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB的面积S＝ab有最小值为4．此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0．求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤(1)设出直线方程，建立目标函数．(2)利用基本不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数．(3)写出直线方程．考向2　由直线方程求参数值或范围已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不过第一象限，求k的取值范围．(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋3)，故无论k取何值，直线l必过定点(－3,1)．(2)解：令x＝0，得y＝3k＋1，即直线l在y轴上的截距为3k＋1．由题意知解得k≤－．故k的取值范围是．由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项(1)注意寻找等量关系或不等关系．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合不等关系求解．(2)含参的二元一次方程表示过定点的直线，定点常作为隐含条件应用于解题过程中．1．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4．当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a＝________．　解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋．又0<a<2，所以当a＝时，四边形的面积最小．2．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．若|PA|·|PB|最小，求l的方程．解：设直线l的方程为y＝kx＋b(k＜0)．因为点P(1,4)在直线l上，有4＝k＋b，解得b＝4－k，所以直线l的方程为y＝kx＋4－k．所以A，B(0,4－k)，所以＝，＝(－1，－k)，所以|PA|·|PB|＝＝－4＝4≥8，所以当k＝，即k＝－1时，|PA|·|PB|有最小值，最小值是8，这时l的方程为x＋y－5＝0．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．[四字程序]读想算思面积的最小值及直线l的方程1．面积的表达式．2．以谁为变量用适当的变量表示面积S，并求最小值和直线方程转化与化归直线过定点1．S＝ah．2．S＝ab·sin C．3．点的坐标作变量．4．斜率作变量1．S＝ab≥12．2．S≥12＋21．均值不等式．2．三角函数的性质思路参考：设出直线的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，即可求出直线方程，得到面积的最小值．解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．将点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24．从而S△ABO＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－．从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0．所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0．思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程．解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，将点P(3,2)的坐标代入得＋＝1．令＝sin2α，＝cos2α，则a＝，b＝，所以S△ABO＝ab＝＝．因为0<sin22α≤1，所以S△ABO≥12，当且仅当sin22α＝1时等号成立．所以当且仅当＝时等号成立，即k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0．所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0．思路参考：设出直线的点斜式方程，表示出△ABO的面积，结合基本不等式求得最值．解：依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有A，B(0,2－3k)，所以S△ABO＝(2－3k)＝≥＝×(12＋12)＝12．当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12．故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0．1．本题考查根据具体的条件求直线的方程，基本策略是设出直线的方程，用变量表示三角形的面积，求出面积的最小值及取得最小值时的条件，得到直线的方程．2．本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学情境，通过知识之间的内在联系和转化构造函数，利用基本不等式或函数的性质求最值，体现了基础性和综合性．过点P(2,1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：(1)|OA||OB|取最小值时直线的方程；(2)|PA||PB|取最小值时直线的方程．解：(1)设直线的方程为＋＝1(a>b，b>0)，则＋＝1，所以ab＝ab＝2b＋a≥2，于是ab≥8，所以|OA||OB|＝ab≥8，即|OA|·|OB|的最小值为8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时取得等号．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0，1－2k)．所以|PA||PB|＝＝≥4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，所以|PA||PB|的最小值为4时，直线的方程为x＋y－3＝0．