高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算导学案及答案

1.1.2 空间向量的数量积运算

【学习目标】

【自主学习】

一．空间向量的夹角

1.已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的     ，记作      ．

2.a，b为非零向量，＝，a与b的夹角的范围是      。

当＝0时，a与b       ；

当＝π时，a与b      ；

当＝时，a与b        ．

二．空间向量数量积

1.概念：已知两个非零向量a，b，则         叫做a，b的数量积，记作a·b，

即a·b＝|a||b|．

解读：两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.

2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c =         ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。

3.性质及应用

4.运算律

(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)a·b＝b·a(交换律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c　(分配律).

解读：向量数量积的运算不满足消去律（a·b＝a·c不能推出b＝c）和乘法的结合律（(a·b)·c≠a·(b·c)）．

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(  )

(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(   )

(3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(  )

(3)对于非零向量a，b，与相等．(　　)

(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　)

(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　)

2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　)

A．30°    B．60°    C．120°    D．150°

【经典例题】

题型一　数量积的计算

点拨：空间向量的数量积运算方法

1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．

2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|求解．

例1　(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)

A．12    B．8＋    C．4    D．13

(2)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【跟踪训练】1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)·；  (2)·；   (3)·；   (4)·.

题型二　用数量积证明垂直问题

点拨：用向量法证明垂直关系的步骤

 (1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．

例2 如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.

【跟踪训练】 2 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系

为_______．(填“平行”或“垂直”)

题型三 用数量积求角度

点拨：利用向量求异面直线夹角的步骤

例3　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．

【跟踪训练】 3 已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求异面直线OE与BF所成角的余弦值．

题型四  用数量积求长度

点拨：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．

 例4 如图，已知中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．

【跟踪训练】4 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

【当堂达标】

1.已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于(　　)

A．－2     B．－1     C．±1     D．2

2.已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(　　)

A．      B．97    C．     D．61

3.已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为_________.

4.已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＝135°，m⊥n，则λ＝________．

5.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为________．

6.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.

(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；

(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．

【参考答案】

【自主学习】

一．1.夹角  2.[0，π]  方向相同  方向相反 互相垂直 0或π 

二．1.|a||b| 2.   3.a·b＝0        4.λ(a·b)  b·a  a·b＋a·c

【小试牛刀】

1.√   ×  √  √  ×  ×

2.B 解析：设向量a，b的夹角为θ，则＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.

【经典例题】

例1 (1) D 解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13.

(2) A解析：由题意知p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.

【跟踪训练】1 解 (1)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝.

(2)·＝·＝||2＝.

(3)·＝·＝||·||cos〈，〉＝cos 120°＝－.

(4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉

＝cos 60°－cos 60°＝0.

例2 【证明】　不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.

·＝(－)·＝·－·，

由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos 60°

＝××＝1.∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，

∴BD⊥平面ADC.

【跟踪训练】2 垂直 解析：∵·＝(＋)·(－)＝·＋·－2－·

＝·(－－)＝·＝0，

∴AD与BC垂直．

例3 90° 解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，

cos〈，〉＝＝＝0。

【跟踪训练】 3 解：设＝a，＝b，＝c，

且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝.

又∵＝(a＋b)，＝c－b，

∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－.

又||＝，||＝，

∴cos 〈，〉＝＝－，

∵异面直线夹角的范围为，

∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.

例4  7 解析：∵＝＋＋，

∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49．∴PC＝7．

【跟踪训练】4 解　因为＝＋＋，

所以＝(＋＋)2＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)．

因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.

因为＝||2，所以||2＝23，

则||＝，即AC1＝.

【当堂达标】

1.A 解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.

2.C 解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2 ＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝.

3. 60° 解析：(a＋2b)·(a－b)＝－6，则a2＋a·b－2b2＝－6，即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，所以＝＝，所以＝60°.

4.－解析： 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，

∴18＋(λ＋1)×3×4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－.

5.  解析：因为＝－，所以·＝·－·

＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉

＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.

所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.

6.(1)证明　＝＋，＝＋.

∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.

又△ABC为正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.

∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·

＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，

∴AB1⊥BC1.

(2)解　结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.又||＝||.

∴cos〈，〉＝＝，

∴||＝2，即侧棱长为2.