高二空间向量与立体几何02

专题2 空间向量与立体几何01

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重难点突破

知识点二  求异面直线形成的角

1.  异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

例5. （广东省惠州一中2019届期末）在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成角大小为(　　)

A.   B.   C.   D.

【答案】D

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).

∴＝(1，1，0)，＝(－1，1，－1)，

∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴⊥，∴AC与B1D所成的角为.

【变式训练5-1】、 （四川省乐山一中2019届期末）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.

【答案】60°

【解析】以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，

∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.

知识点三  求直线与平面形成的角

1.  求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.

例6. （江西省新余一中2019届期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

【答案】D

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).

所以＝(2，4，0)，＝(0，2，2)，＝(－2，0，0).

设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥，

可得令z＝1，得n＝(2，－1，1).设所求角为α，则sin α＝＝.

【变式训练6-1】、.（浙江省绍兴一中2019届高三质检）如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为__________.

【答案】60°

【解析】∵＝＋＋，

∴·＝||·||· cos〈，〉＝－24.

∴ cos〈，〉＝－.又所求二面角与〈，〉互补，∴所求的二面角为60°.

知识点四  求平面与平面形成的角

1.   求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.

(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

【特别提醒】

1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.

2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.

例7. （山东省济宁一中2019届期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

【答案】B

【解析】以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，

∴＝(0，1，－1)，＝.

设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，

则有即∴

∴n1＝(1，2，2).

∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴|cos〈n1，n2〉|＝＝，

即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.

【变式训练7-1】、（江西省上饶二中2019届质检）如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.

(1)求证：A1C1⊥B1C；

(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值.

(1)证明　如图，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，

∵C1C＝A1A＝A1C，

∴CD⊥A1C1，

∵底面△ABC是边长为2的正三角形，

∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，

∴B1D⊥A1C1，

又B1D∩CD＝D，B1D⊂平面B1CD，CD⊂平面B1CD，

∴A1C1⊥平面B1CD，∴A1C1⊥B1C.

(2)解　法一　如图，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E.

∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，

∴侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，

侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，

∴B1D⊥平面A1CC1，∴B1D⊥A1C，

∴A1C⊥平面B1DE，∴B1E⊥A1C，

∴∠B1ED为所求二面角的平面角.

∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝，

又ED＝CC1＝，∴tan ∠B1ED＝＝＝，

∴sin∠B1ED＝.

∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为.

法二　如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，1)，B1(，1，1)，C1(0，2，1)，C(0，1，0)，

∴＝(，1，0)，＝(0，1，－1).

设m＝(x，y，z)为平面A1B1C的法向量，

∴

令y＝，得m＝(－1，，)，

又＝(，0，0)为平面A1CC1的一个法向量，

∴cos 〈m，〉＝＝－，

由图易知所求二面角为锐角，

∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为.