高中数学第二章基本初等函数I3幂函数2作业含解析新人教版必修

幂函数

基础巩固

一、选择题

1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是 (　　)

A．a<b<c B．a<c<b

C．b<a<c D．b<c<a

[答案]　C

[解析]　∵0.6∈(0,1)，∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c>a>b，故选C.

2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是 (　　)

A．y＝x B．y＝x2

C．y＝x3 D．y＝x

[答案]　B

[解析]　函数y＝x，y＝x3，y＝x在各自定义域上均是增函数，y＝x2在(－∞，0)上是减函数．

3．使(3－2x－x2)－有意义，x的取值范围是 (　　)

A．R B．x≠1且x≠3

C．－3<x<1 D．x<－3或x>1

[答案]　C

[解析]　(3－2x－x2)－＝.

∴要使上式有意义，需3－2x－x2>0.

解之得－3<x<1.

4．(2016·广东实验高一模考)下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是 (　　)

A．y＝x3 B．y＝x2

C．y＝x D．y＝x－2

[答案]　D

[解析]　y＝x3为R上的奇函数，排除A.

y＝x2在(0,1)上单调递增，排除B.

y＝x在(0,1)上单调递增，排除C，故选D.

5．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个 (　　)

[答案]　C

[解析]　直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1.故A错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x，2≠.故B错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2,2＝2.故C对；直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．

6．(2016·全国卷Ⅲ文，7)已知a＝2，b＝3，c＝25则 (　　)

A．b<a<c B．a<b<c

C．b<c<a D．c<a<b

[答案]　A

[解析]　a＝2＝4，c＝25＝5，又函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，所以b<a<c.故选A.

二、填空题

7．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________.

[答案]　f(x)＝x－1

[解析]　∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，

∴m2－1≤0，解得－1≤m≤1；

∵图象关于原点对称，且m∈Z，

∴m＝0，∴f(x)＝x－1.

8．下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________.

①y＝x；②y＝x4；③y＝x－；④y＝－x.

[答案]　③

[解析]　①中函数y＝x不具有奇偶性；②中函数y＝x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y＝x－是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y＝－x是奇函数．故填③.

三、解答题

9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：

(1)是幂函数；

(2)是正比例函数；

(3)是反比例函数；

(4)是二次函数．

[解析]　(1)∵f(x)是幂函数，

故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，

解得m＝2或m＝－1.

(2)若f(x)是正比例函数，

则－5m－3＝1，解得m＝－.

此时m2－m－1≠0，故m＝－.

(3)若f(x)是反比例函数，

则－5m－3＝－1，

则m＝－，此时m2－m－1≠0，

故m＝－.

(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，

即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.

10．已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.

(1)求m的值；

(2)判定f(x)的奇偶性；

(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．

[解析]　(1)因为f(4)＝，所以4m－＝，所以m＝1.

(2)由(1)知f(x)＝x－，

因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，

又f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)．

所以f(x)是奇函数．

(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)(1＋)，

因为x1＞x2＞0，

所以x1－x2＞0,1＋＞0，

所以f(x1)＞f(x2)，

所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.

能力提升

一、选择题

1．函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝ (　　)

A．0 B．1

C．2 D．0或1

[答案]　A

[解析]　由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3＜0检验，得m＝0，故选A.

2．a＝1.2，b＝0.9－，c＝1.1的大小关系是 (　　)

A．c<a<b B．a<c<b

C．b<a<c D．c<b<a

[答案]　D

[解析]　∵y＝x是增函数，

∴1.2>()>1.1，即a>b>c.

3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是 (　　)

A．n＜m＜0 B．m＜n＜0

C．n＞m＞0 D．m＞n＞0

[答案]　A

[解析]　由图象可知，两个函数在第一象限内单调递减，所以m＜0，n＜0.

4．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xα的图象在直线y＝x的下方，则α的取值范围是 (　　)

A．(0,1) B．(－∞，0)

C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

[答案]　C

[解析]　幂函数y＝x，y＝x－1在(1，＋∞)上时图象在直线y＝x的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C.

二、填空题

5．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________.

[答案]　(3,5)

[解析]　∵f(x)＝x－＝(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，

∴解得∴3＜a＜5.

6．若a＝()，b＝()，c＝()，则a、b、c的大小关系是________.

[答案]　b＜a＜c

[解析]　设f1(x)＝x，则f1(x)在(0，＋∞)上为增函数，∵＞，∴a＞b.又f2(x)＝()x在(－∞，＋∞)上为减函数，∴a<c.

三、解答题

7．幂函数f(x)的图象经过点(，2)，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上.

(1)求f(x)，g(x)的解析式；

(2)x为何值时f(x)＞g(x)？x为何值时f(x)＜g(x)?

[解析]　(1)设f(x)＝xα，则()α＝2，

∴α＝2，∴f(x)＝x2，

设g(x)＝xβ，则(－2)β＝，

∴β＝－2，∴g(x)＝x－2(x≠0)．

(2)从图象可知，当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；

当－1＜x＜0或0＜x＜1时，

f(x)＜g(x)．

8．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．

[解析]　(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，

∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．

∴f(x)＝x4.

(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．

∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，

∴g(x)min>2，且x∈R，则c－1>2，解得c>3.

故实数c的取值范围是(3，＋∞)．