高二圆锥曲线的方程图像与性质01

专题8 圆锥曲线的方程、图像与性质

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重难点突破

知识点一  椭圆的方程与性质

1、椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集．

2、椭圆的标准方程和几何性质

例1、(2020·河南洛阳一模)已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(　　)

A．5　　　　　　　　　 B．6

C．9  D．10

【答案】C　

【解析】由椭圆＋＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得＝2，解得m＝9.故选C.

【变式训练1-1】、已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____．

【答案】＋＝1

【解析】　设圆M的半径为r.∵圆M与圆F1相内切，∴MF1＝4－r.∵圆M过点F2，∴MF2＝r，∴MF1＝4－MF2，即MF1＋MF2＝4>F1F2，∴点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则有2a＝4，c＝1，∴a＝2，b＝，∴轨迹C的方程为＋＝1.

【变式训练1-2】、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____．

【答案】以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆

【解析】　连结QA，由已知得QA＝QP.∴QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r.又∵点A在圆内，∴OA＜OP，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．

知识点二  直线与椭圆的位置关系

1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.

4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则

(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；

(2)直线AB的斜率kAB＝－. 

例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为；

(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．

【解析】　(1)如果焦点在x轴上，则a＝3，离心率＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆的标准方程为＋y2＝1；如果焦点在y轴上，则b＝3，将＝代入b2＝a2－c2中，得a2－a2＝9，∴a2＝81，∴椭圆的标准方程为＋＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1和＋＝1.

(2)(方法1)椭圆＋＝1的a＝5，b＝3，

∴c＝4，焦点为(0，－4)，(0，4)．由椭圆定义知，2a＝＋，解得a＝2.由c2＝a2－b2得b2＝4.

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(方法2)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)坐标代入，得

2＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

【变式训练2-1】、已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设，则，

由椭圆的定义有．

在中，由余弦定理推论得．

在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，

由椭圆的定义有．

在和中，由余弦定理得，

又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为【变式训练2-2】、设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.

【答案】

【解析】由已知可得，

，∴．

设点的坐标为，则，

又，解得，

，解得（舍去），

的坐标为．，故选B．