高二数学上学期期中模拟卷02（空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆+双曲线）-高二数学热点题型讲与练（人教A版选择性必修第一册）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解.
【详解】由得，
因此直线过定点，且斜率，
如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意．

易得，．
结合图形知或，解得或，
即的取值范围是．
故选：C
2．已知，，，若，，共面，则等于（ ）
A．B．9C．D．3
【答案】A
【分析】由，，共面，设，根据条件列出方程组即可求出λ的值．
【详解】因为，，共面，设，
又，，，得到，
所以，解得，
故选：A.
3．已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用，，表示出即可.
【详解】由图知：
.
故选：A
4．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是.
故选：B.
5．若圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先把圆的方程整理为标准方程，然后根据圆的性质得到关于t的方程，解方程即可.
【详解】将圆化为标准方程得，
故圆的圆心坐标为，半径.
由圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，
知圆心到直线的距离，
解得.
故选：A.
6．已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ）
A．12，B．，
C．12，8D．9，
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式求解即可.
【详解】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知，

显然点在椭圆内，，直线交椭圆于，
而，即，当且仅当点共线时取等号，
当点与重合时，，则，
当点与重合时，，则，
所以的最大值和最小值为12，8.
故选：C
7．已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量法及函数思想，求出点位置，再利用向量法求解点面距，最后即可计算四面体的体积．
【详解】解：建系如图，

正方体的内切球的表面积为，则内切球半径，
易得正方体的棱长为1，
，0，，，1，，，1，，设，0，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
直线与平面的夹角的正弦值为：
，
令，，，，，
，
令，，，，，
，，，
当，即，即时，直线与平面的夹角的正弦值取得最大值，
此时直线与平面的夹角也最大，
当直线与平面的夹角最大时，为棱的中点，
此时平面的法向量，又，
点到平面的距离为，
此时，，则△的面积为，
此时四面体的体积，
故选：．
【点睛】关键点点睛：向量法求解线面角问题，函数思想，化归转化思想，向量法求解点面距问题.解题的关键是建立空间直角坐标系，确定点的位置是为棱的中点，然后利用点面距的向量求法，求出四面体的高．
8．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，令且，，则，根据题设有、、，进而有，将它们整理为关于的齐次方程求离心率即可.
【详解】由题设，令且，，则，且①，

由，即②，
由，即，
又C在双曲线上，则③，
由①得：，代入③并整理得：，
由①②及得：，
所以，即，
显然，则.
故选：B
【点睛】关键点点睛：设且，，结合已知得到关于的齐次方程为关键.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，圆，则下列命题正确的是（ ）
A．，点在圆外
B．，使得直线与圆相切
C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为
D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为
【答案】ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断A，由直线系所过定点在圆内判断B，根据交点弦的性质求解可判断C，根据圆与直线的位置关系判断D.
【详解】将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确；
整理直线的方程为：，由解得，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，可得，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误；
当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确；
当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确.
故选：ACD.
10．下列说法错误的是（ ）
A．若有空间向量，，则存在唯一的实数，使得
B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面
C．，，与夹角为直角，则x的取值是0.
D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
【答案】ACD
【分析】考虑 , 可判断 A; 由空间向量共面定理可判断B; 由向量的夹角为直角的等价条件可判断C; 由空间的一组基底的定义可判断D.
【详解】对于A, 比如, , 则不存在实数 , 故 A 错误;
对于B, 三点不共线，空间中任意点 , 若 ,
由于 , 则 四点共面, 故B正确;
对于C,, 与 的夹角为直角,
则 ,可得，解得; 故C错误;
对于D, 若 是空间的一个基底, 则四点不共面, 且不共线, 故D 错误.
故选: ACD.
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A．椭圆的离心率为B．的周长为4
C．若，则的面积为3D．若，则
【答案】AD
【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．
【详解】对A，由题意，，故，，故A正确；
对B，的周长为，故B错误；
对C，，
，当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理
，即，
解得，故，故D正确；
故选：AD
12．已知双曲线，左焦点为，左右顶点分别为、，，是右支上一动点，且的最小值为，关于轴的对称点为，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为2B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由题意画出图形，结合双曲线定义及三角形两边之和大于第三边列式求解可判断；得可判断；，，可判断；假设成立，可得，可判断．
【详解】由题意，，，设右焦点为，
由双曲线定义知，，则，
，，
，
即，，

，即，故A不正确．
设，，，，
，，，
由A可得双曲线方程为，，，故B正确；
记交轴于点，，
，
，故C正确；
假设成立，则只需，
两边平方得，，
，，
，当时取等号，显然成立，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，考查直线与双曲线的位置关系，属难题．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆与圆有且只有一个公共点，写出一个满足条件的圆心的坐标 .
【答案】
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆的圆心分别为，半径分别为，
若两圆只有一个公共点，则两圆相切，
若两圆外切，则需要，
若两圆内切，则需要，
故不妨令.
故答案为：
14．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，焦距为8，且的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2，则的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据题意及双曲线的性质列出关于a，b，c的方程求解即可.
【详解】设的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a，b，c，
由已知得，即，又焦距为8，
所以，，，
所以的标准方程为．
故答案为：．
15．正方体的棱长为1，M为线段的中点，平面平面，若点为平面与侧面相交的线段上的一动点，为线段上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】建系，设，，利用空间向量可得，，利用两点间距离公式分析求解.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，设，
可得，
由题意可得：，即，可知，
又因为为线段上一动点，设，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
16．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率.
【详解】根据题意画出图象如下图所示：

利用椭圆定义可知，且；
又，利用余弦定理可知：
，
化简可得；
所以的面积为；
设的外接圆半径为，内切圆半径为；
由正弦定理可得，可得；
易知的周长为，
利用等面积法可知，解得；
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，
所以，即可得，所以；
离心率.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知三条直线，和.
(1)若，求实数的值；
(2)若三条直线相交于一点，求实数的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可；
（2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可.
【详解】（1）因为，且.
所以.解得.经检验，时，.
（2）由，解得 即与的交点为，
因为三条直线相交于一点，所以点在上，
所以.解得.
18．（12分）在三棱台中，平面ABC，，．

(1)证明：平面平面；
(2)记的中点为M，过M的直线分别与直线，交于P，Q，求直线PQ与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)0
【分析】（1）取AC的中点D，可得四边形为平行四边形，利用线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理证明可得答案；
（2）以A为原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，，由P，M，Q三点共线，可设，求出，根据空间角的向量求法可得答案.
【详解】（1）取AC的中点D，则AD与平行且相等，
可得四边形为平行四边形，则有，
又，故．
又，，，AC，平面，故平面，又因为平面，故，
又因为，，，平面，故平面，
而平面，故平面平面；
（2）以A为原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，则，
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
设，，则，，
由题意知P，M，Q三点共线，可设，则，
解得，故，，
则，
故，
即平面，故所求线面角的正弦值为0．
19．（12分）已知圆，直线.
(1)若直线与圆相交，求的取值范围；
(2)若直线与圆交于不同的两点，，当为锐角时，求的取值范围；
(3)若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点.
【答案】(1)或
(2)
(3)直线过定点.
【分析】（1）由直线与圆相交，得圆心到直线的距离小于半径，由此得解；
（2）设A，B的坐标分别为，，将直线代入，得，利用以及，能求出的取值范围；
（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以为直径的圆上，设出P点坐标，求出以为直径的圆的方程，又，在圆上，可得 ，所在直线即两圆公共弦直线，将两圆方程作差得直线的方程，得解．
【详解】（1），直线，
∵直线与圆相交，
∴圆心到直线的距离小于半径，
即，解得或.
（2）设A，B的坐标分别为，，
将直线代入，
整理，得，
∴，，
，即，
当为锐角时，
，
解得，又，
∴或.
故的取值范围为.
（3）
由题意知，，，四点共圆且在以为直径的圆上，
设，其方程为，
∴，
又，在圆上，
，所在直线即两圆公共弦直线，
将两圆方程作差得，，
即，
由，得，
∴直线过定点.
20．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点在椭圆上及数量积的坐标运算列方程求解即可；
（2）设直线联立方程，韦达定理，方法一：求出弦长及三角形的高即可求出面积，方法二：利用面积分割法求解面积即可.
【详解】（1）由题意知，
又，则，
，解得(负值舍去)，
由在椭圆上及得，解得，
椭圆的方程为；
（2）由（1）知，右焦点为，
据题意设直线的方程为，
则，
于是由得，化简得（*）
由消去整理得，
，
由根与系数的关系得：，
代入（*）式得：，解得，
直线的方程为，
方法一：，
由求根公式与弦长公式得：，
设点到直线的距离为，则，
.

方法二：由题意可知，
代入消去得，
，
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．（12分）如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为．
(1)若，，求三棱锥的体积；
(2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面积和高，进而求出三棱锥的体积；（2）利用空间基底表达出，结合第一问结论求出，从而求出答案.
【详解】（1）取AC的中点F，连接FD，FE，由BC=2，则，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即为二面角的平面角，即，连接DE，作DH⊥FE，因为，所以平面DEF，因为DH平面DEF，所以AC⊥DH，因为，所以DH⊥平面ABC，因为，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），则，因为，，所以△DEF为等边三角形，则，故三棱锥的体积；
（2）设，则，，由（1）知：，，取为空间中的一组基底，则，由第一问可知：
，
则
其中，且，，故，
由第一问可知，又是的中点，所以，所以，
因为三棱锥中，所以，所以，故直线AD与EM所成角范围为.
【点睛】针对于立体几何中角度范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，若不容易建立坐标系时，也可以通过基底表达出各个向量，进而求出答案.
22．（12分）已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点

(1)求双曲线的标准方程．
(2)如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由题意设：，将代入解方程即可得出答案.
（2）设，，，设，表示出点坐标，代入：方程，即可求得，进一步求出的坐标，而，而，代入化简结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）由题意设：，
将代入得到，
∴曲线：．
（2）设，，，，
则（*）
设，则，
解得：，
代入：方程，得，
结合（*）式可知
由于，则，所以．
所以是、的中点，．
因为四边形是矩形，，，
所以为四边形的中心，所以，
在与中，，分别以为底时，高相同，
所以，
则，
因为过双曲线上一点的切线方程为，
所以直线的方程为：即，
因为，所以，令，所以，
，，
令，，
令，．
当且仅当，即，，时，取得最小值．
【点睛】关键点睛：建立的面积与的表达式至关重要，可利用，的坐标和三角形面积公式，以为桥梁得出与的表达式，最后根据基本不等式可求得面积的取值范围.