初中22.3 实际问题与二次函数同步达标检测题

这是一份初中22.3 实际问题与二次函数同步达标检测题，共44页。
中考专题训练——实际问题与二次函数
1．某销售商准备采购一批衣服，经调查，用20000元采购A款服装的件数与用16000元采购B款服装的件数相等，一件A款服装进价比一件B款服装进价多100元．

（1）求一件A、B款服装的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A、B款服装共50件，其中A款的件数不大于B款的件数，且不少于16件，设购进A款服装m件．
①求m的取值范围．
②假设购进的A、B款的衣服全部售出，据市场调研发现A款服装售价y与A的销售件数m的关系如图．若B款服装售价为600元，则当m为多少时，销售商能获得最大利润，最大利润为多少？
2．某数学拓展课研究小组经过市场调查，发现某种衣服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如下表：
售价（元/件）
200
210
220
230
…
月销量（件）
200
180
160
140
…

已知该运动服的进价为每件160元，售价为x元，月销量为y件．
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）若销售该运动服的月利润为w元，求出w关于x的函数关系式，并求出月利润最大时的售价；
（3）由于运动服进价降低了a元，商家决定回馈顾客，打折销售，结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低10元，则a的值是多少？
3． 某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖300件，当以55元每件出售时，每天可以卖150件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该蛋糕店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试直接写出该“奶昔包”销售单价的范围．
4．适当的学前教育对幼儿智力及其日后的发展有很大的作用，积木玩具对孩子的学前教育帮助非常大，孩子会因好奇和本能去探索这个世界．某网店店主经营某种品牌积木玩具，购进时的单价是20元/件，根据市场调查：在一段时间内，销售量（件）与销售单价（元/件）满足函数关系（如图所示）．若该店主销售玩具的售价高于进价，但不高于40元．

（1）求与之间的函数关系式；
（2）若该店主想获得9000元的利润，该品牌积木玩具的销售单价应定为多少元?
（3）若玩具厂规定该店销量不少于540件的情况下，求该店主将销售单价定为多少时，该品牌积木玩具获得的利润最大，最大利润是多少？
5．某生产商存有1200千克产品，生产成本为150元/千克，售价为400元千克.因市场变化，准备低价一次性处理掉部分存货，所得货款全部用来生产产品，产品售价为200元/千克.经市场调研发现，产品存货的处理价格（元/千克）与处理数量（千克）满足一次函数关系（），且得到表中数据.
（千克）
（元/千克）
200
350
400
300
（1）请求出处理价格（元千克）与处理数量（千克）之间的函数关系；
（2）若产品生产成本为100元千克，产品处理数量为多少千克时，生产产品数量最多，最多是多少？
（3）由于改进技术，产品的生产成本降低到了元/千克，设全部产品全部售出，所得总利润为（元），若时，满足随的增大而减小，求的取值范围.
6．某企业对一种设备进行升级改造，并在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x，现有甲、乙两种改造方案.
甲方案：升级后每台设备的生产营销利润为4000元，但改造支出费用由材料费和施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比，施工费与x成正比，其他费用为2500元，（利润=生产营销利润-改造支出费用）.设甲方案的利润为（元），经过统计，得到如下数据：
改造设备台数x（台）
20
40
利润（元）
9500
5500

乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3500元，但改造支出费用与x之间满足函数关系式：（a为常数，），且在使用过程中一共还需支出维护费用，（利润=生产营销利润-改造支出费用-维护费用）.设乙方案的利润为（元）.
（1）分别求出，与x的函数关系式；
（2）若，的最大值相等，求a的值；
（3）如果要将30台设备升级改造，请你帮助决策，该企业应选哪种方案，所获得的利润较大.
7．某竹制品加工厂根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型竹制品玩具未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月，竹制品销售量为P（单位：箱），P与t之间存在如图所示函数关系，其图象是线段AB（不含点A）和线段BC的组合．设第t个月销售每箱的毛利润为Q（百元），且Q与t满足如下关系Q=2t+8（0≤t≤24）．
（1）求P与t的函数关系式（6≤t≤24）．
（2）该厂在第几个月能够获得最大毛利润？最大毛利润是多少？
（3）经调查发现，当月毛利润不低于40000且不高于43200元时，该月产品原材料供给和市场售最和谐，此时称这个月为“和谐月”，那么，在未来两年中第几个月为和谐月？

8．某农作物的生长率P 与温度 t(℃)有如下关系：如图 1，当10≤t≤25 时可近似用函数刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数 刻画．
 (1)求h的值．
 (2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率P 满足函数关系：
生长率P 
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m （天）
0
5
10
15

①请运用已学的知识，求m 关于P 的函数表达式；
②请用含的代数式表示m ；
(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w (元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

9．某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
（米）
0

1
2.0
3

…
（米）

1.6
2.1
2.5
2.1
0
…
(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．

(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？
(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．
10．如图在平面直角坐标系xoy中，直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：y=－x²＋bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C．

（1）求抛物线解析式及C点坐标．
（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积．
（3）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P点坐标，不存在，请说明理由．
11． 如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一交点C的坐标；
（2）D为坐标平面上一点，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D的坐标；
（3）如图2，点E（x，y）是抛物线上位于第四象限的一点，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
①当□OEAF的面积为24时，请判断□OEAF是矩形吗？是菱形吗？
②是否存在点E，使□OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
12．心理学家通过实验发现：初中学生听讲的注意力随时间变化，讲课开始时，学生注意力逐渐增强，中间有一段平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间表t（分钟）变化的函数图象如下．当0≤t≤10时，图像是抛物线的一部分，当10≤t≤20时和20≤t≤40时，图像是线段．
（1）当0≤t≤10时，求注意力指标数y与时间t的函数关系式；
（2）一道数学探究题需要讲解24分钟，问老师能否经过恰当安排，使学生在探究这道题时，注意力指标数不低于45？请通过计算说明．

13．已知抛物线的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形．当矩形的面积是面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
15．如图1，已知，中，动点P从点A出发，以的速度在线段上向点C运动，分别与射线交于E，F两点，且，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为，与的重叠部分面积为，y与x的函数关系由和两段不同的图象组成．

（1）填空：①当时，______；
②______；
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当时，请直接写出x的取值范围．
16．已知抛物线过点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成2：1两部分，求点的坐标；
（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值．



18．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．

19．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点为一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，点在运动过程中始终满足【提示：平面直角坐标系内点、的坐标分别为、，则】
（1）判断点在运动过程中是否经过点C（0，5）
（2）设动点的坐标为，求关于的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出  函数的图象：

...





...

...





...

（3）点关于轴的对称点为，点在直线的下方时，求线段长度的取值范围


20．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N．
（1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接，C为抛物线上一点，且位于线段的上方，过C作垂直x轴于点D，交于点E，若，求点C坐标；
（3）已知点，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当时，求抛物线的解析式．


参考答案：
1．（1）一件A、B款服装的进价分别为500元和400元；（2）①16≤m≤25；②当m为16时，销售商能获得最大利润，最大利润为9040元
【分析】（1）设一件、款服装的进价分别为元、元，根根据题意列方程即可求得结果；
（2）①根据题意列不等式即可得到结论；
②设款服装售价与的销售件数的关系式为，得到款服装售价与的销售件数的关系式为：，设销售利润元，根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）设一件、款服装的进价分别为元，元，
根据题意得，，
解得：，
经检验是原方程的根，
，
答：一件、款服装的进价分别为500元和400元；
（2）①由题意得：
，
解得：，
所以m的取值范围为；
②设款服装售价与的销售件数的关系式为，
，
解得：，
款服装售价与的销售件数的关系式为：，
设销售利润为元，
根据题意得，

，
，
当为16时，销售商能获得最大利润，最大利润为9040元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用和二次函数的应用以及二次函数最值求法等知识，得出与的函数解析式是解题关键．
2．（1）y＝﹣2x+600；（2）w＝﹣2（x﹣230）2+9800，最大利润为9800元；（3）a=20
【分析】（1）利用待定系数法求解可得销售量关于x的解析式，据此可得答案；
（2）根据“销售总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）设调整后的售价为t，则调整后单价利润（t﹣160+a）元，销量（﹣2t+600）件，根据“销售总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式即可得．
【解析】解：（1）y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
把（200，200），（210，180）代入得，，
解得：，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣2x+600；
（2）月利润为w＝（x﹣160）（﹣2x+600）＝﹣2x2+920x﹣96000＝﹣2（x﹣230）2+9800，
当x＝230元时，月最大利润为9800元；
（3）设调整后的售价为t，则调整后单价利润（t﹣160+a）元，销量（﹣2t+600）件，
月利润＝（t﹣160+a）（﹣2t+600）＝﹣2t2+（920﹣2a）t+600a﹣96000，
当t＝时月利润最大，则＝220，解得：a＝20．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
3．（1）y=-10x+700；（2）当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出捐款后w′与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据函数的增减性，即可求出x的取值范围．
【解析】解：（1）设y与x之间的函数关系式：y=kx+b，
由题意得：，解得：．
∴y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700；
（2）由题意，得-10x+700≥240，
解得x≤46．
设利润为w元，
则w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w最大值=-10×（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
（3）根据题意得，w′=w-150=-10x2+1000x-21000-150，
当w′=-10x2+1000x-21000-150=3600时，
即-10（x-50）2=-250，
解得：x1=55，x2=45，
∵a=-10＜0，
∴当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用以及二次函数与不等式等知识点，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
4．（1）与之间的函数关系式为（，且为正整数）；（2）该品牌积木玩具的销售单价应定为35元．（3）该店主将销售单价定为38元/件时，该品牌积木玩具获得的利润最大，最大利润是9720元．
【分析】（1）根据图象，通过待定系数法即可得解；
（2）根据等量关系单件利润×件数=总利润进行列式求解即可得解；
（3）根据题意得出件数的取值范围，然后根据二次函数的最值问题进行求解即可.
【解析】（1）设与之间的函数关系式为，由函数图象可知，点，在函数图象上，有，解得，
∴与之间的函数关系式为（，且为正整数）；
（2）根据题意，得，
整理得，解得，（舍去），
答：该品牌积木玩具的销售单价应定为35元；
（3）根据题意，得，解得，
又∵，∴，且为正整数，
设销售该品牌积木玩具获得的利润为（元），
∴

，
∵，∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，（元），
答：该店主将销售单价定为38元/件时，该品牌积木玩具获得的利润最大，最大利润是9720元．
【点评】本题主要考查了一次函数及二次函数的实际问题，熟练掌握相关解析式的确定方法及最值问题的求解是解决本题的关键.
5．（1）；（2）当时，生产B产品数量最多，最多为1600千克；（3）.
【分析】(1)设出函数表达式,再将数据代入求解即可.
(2)先求出生产数量的表达式,再根据二次函数顶点式求出最值即可.
(3)先求出总利润的表达式,再根据二次函数的对称轴公式求出对称轴,根据增减性即可求出.
【解析】解：（1）设，
根据题意，得：，
解得：，
∴；
（2）生产产品的数量，
∴当时，生产B产品数量最多，最多为1600千克；
（3）
，
∴对称轴，
∵，若时，随的增大而减小，
则，即，
∴的取值范围是
【点评】本题考查二次函数的应用,关键在于理解题意通过条件列出函数关系式,再结合性质解出答案.
6．（1）.；（2）；（3）①时，选择甲方案获得的利润较大；②当，选甲方案或乙方案获得的利润相同；③时，选择乙方案获得的利润较大.
【分析】（1）设材料费，施工费，根据题意得到与x的函数关系式，将x及的对应值代入求出m、n即可；根据题意即可列得与x的函数关系式；
（2）将（1）的化为顶点式解析式即可得到的最大值，由，的最大值相等，即可求出答案；
（3）将x=30代入、，再分三种情况求解即可.
【解析】解：（1）设材料费，施工费,
由题意，得
∵时，；时，，
∴，
解得，
∴.
；      
（2）∵，∴的最大值为10000.
∵，的最大值相等，
∴，解得，.
∵，
∴；
（3）当时，；；       
①当时，解得，即时，选择甲方案获得的利润较大；       
②当时，解得，选甲方案或乙方案获得的利润相同；      
③当时，解得，即时，选择乙方案获得的利润较大.
【点评】此题考查二次函数的实际应用，根据题意求函数解析式，求函数的最大值，方案选择问题等知识.（1）求函数解析式是此题的难点，正确理解题意，根据题中的各项费用的关系列出关系式，将对应值代入求出函数关系式是解题的关键.
错因分析  较难题. 失分原因是：1.不能将实际问题转化为数学问题，来列函数关系式；2.①没有掌握二次函数求最值的方法；②解一元二次方程出错；③没有考虑的范围；3.方案选取问题，选择最大利润，不能将实际问题转化为不等式的问题进行分类求解.
7．（1）P＝﹣t+26（6≤t≤24）；（2）该厂在第11个月能够获得最大毛利润，最大毛利润是45000元；（3）未来两年中的和谐月有：6，7，8，14，15，16这六个月．
【分析】（1）当6≤t≤24时，设P与t的函数关系式为P=kt+b，把点B（6，20）和C（24，2）代入求出k和b，即可得解；
（2）设直线AB的函数解析式为P=mt+n，将A（0，14），B （6，20）代入求出m和n，分0＜t＜6和6≤t≤24来讨论求解；
（3）分0＜t＜6和6≤t≤24，结合（2）中求得的毛利润函数，列不等式组可解．
【解析】（1）当6≤t≤24时，设P与t的函数关系式为P=kt+b．
∵该图象过点B（6，20）和C（24，2），
∴，
∴，
∴P与t的函数关系式为P=﹣t+26（6≤t≤24）．
（2）设直线AB的函数解析式为P=mt+n，将A（0，14），B （6，20）代入得：
，
∴，
∴直线AB的函数解析式为P=t+14，
∴当0＜t＜6时，利润L=QP=（2t+8）（t+14）=2t2+36t+112=2（t+9）2﹣50．
当t=5时，利润L取最大值为2（5+9）2﹣50=342（百元）=34200（元）；
当6≤t≤24时，利润L=QP=（2t+8）（﹣t+26）=﹣2t2+44t+208=﹣2（t﹣11）2+450．
450百元=45000元，
∴当t=11时，利润L有最大值，最大值为45000元．
综上所述：该厂在第11个月能够获得最大毛利润，最大毛利润是45000元．
（3）∵40000元=400百元，43200元=432百元，
∴或
第一个不等式无解，第二个不等式的解为6≤t≤8或14≤t≤16，
∴未来两年中的和谐月有：6，7，8，14，15，16这六个月．
【点评】本题综合考查了分段型一次函数，二次函数以及不等式组在实际问题中的应用，综合性较强，难度较大．
8．（1）；（2）①，②；（3）当时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元.
【分析】（1）根据求出t=25时P的值，代入即可；
（2）①由表格可知m与p的一次函数，用待定系数法求解即可；②分当时与当时两种情况求解即可；
（3）分当时与当时两种情况求出增加的利润，然后比较即可.
【解析】（1）把t=25代入，得P=0.3，
把（25，0.3）的坐标代入得或
，.
（2）①由表格可知m与p的一次函数，设m=kp+b，由题意得
，
解之得
，
；
②当时，，
当时，.
；
（3）（Ⅰ）当时，
由，，得.
增加利润为.
当时，增加利润的最大值为6000元.
（Ⅱ）当时，.
增加利润为，
当时，增加利润的最大值为15000元.
综上所述，当时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元.
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的应用，用到的知识点有二次函数图上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图像与性质，利用二次函数求最值及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数图上点的坐标特征是解（1）的关键，分类讨论是解（2）与（3）的关键.
9．(1)见解析；
(2)2.5米；
(3)2.5米；
(4)水枪高度调节到2.1米以上，理由见解析．

【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）直接由图像可得结果；
（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；
（3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
（1）
以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：

（2）
由图象可知水柱最高点距离湖面的高度为2.5米；
（3）
根据图象设二次函数的解析式为h=a（d-2）2+2.5
将（1，2.1）代入h=a（d-2）2+2.5得a=-，
∴抛物线的解析式为，即，
令h=0，则，
解得：，
4.5-2=2.5，
∴水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是2.5米；
（4）
设水枪高度至少向上调节m米，
由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为，
当横坐标为2+=3.5时，纵坐标的值大于等于2 ++0.8=2.8，
∴，
解得：m≥1.2，
∴水枪高度至少向上调节1.2米
0.9+1.2=2.1
∴水枪高度调节到2.1米以上．
【点评】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
10．(1) y=－ x²＋x＋4，C(8，0)；（2）；（3）存在，点P的坐标为（3，0）或(3，-）或(3，-25））．
【解析】试题分析：（1）在y＝2x+4中，令x=0，可得y=4，则点A的坐标为A(0，4)；令y=0，可得x=－2，则点B的坐标为(－2，0)；因为抛物线C1：y=－x²＋bx+c过A、B两点，故将A(0，4)，B(－2，0)代入y=－x²＋bx+c，联立方程组，求解b，c的值即可求得抛物线解析式y=－ x²＋x＋4，再令－ x²＋x＋4=0，即可得C点坐标；（2）先证明△ABC是直角三角形，得△ABC的斜边BC的中点为(3，0)即E点坐标为(3,0) ，由平移可得F点坐标为F (13，0)，从而得出抛物线C₂的解析式，再将C1、C₂联立方程组解出x，y的值，最后根据S四边形AOCD= S三角形AOD＋S三角形 OCD即可得出四边形AOCD的面积；（3）分情况讨论可能的情形即可得出结论．
试题解析：（1）∵直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，
∴令x=0，可得y=4，则点A的坐标为A(0，4)；
令y=0，可得x=－2，则点B的坐标为(－2，0)；
将A(0，4)，B(－2，0)代入y=－x²＋bx+c，联立方程组，
解得，b=, c=4
∴抛物线C₁的解析式为: y=－ x²＋x＋4
∵抛物线C1：y=－x²＋bx+c与x轴交于点C
令－ x²＋x＋4=0，
解得，x=8
∴C点坐标为C(8，0)
（2）如图，

由（1）知，C(8，0)，A(0，4)，B (－2，0)
∴AC2=AO2+OC2=42+82=80，
AB2= AO2+OB2=42+22=20，
又BC=BO+OC=8+2=10，∴BC2= 102=100
∴BC2= AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形．
△ABC的斜边BC的中点为(8+2)÷2=5
∴OE=5-OB=5-2=3
∴△ABC的斜边BC的中点为(3,0)  
∵抛物线C2恰好经过△ABC的外心，
∴ E为△ABC的外心，E点坐标为(3,0)
∴F点坐标为(3+8+2，0)，即F(13，0)
由E (3,0) ，F(13，0)得抛物线C₂∶y= - (x-3 ) (x-13 )
即C₂∶y= -x²＋4x－
联立方程组
解得 x= y=
∴S四边形AOCD= S三角形AOD＋S三角形 OCD
＝×4×＋×8×=
答：四边形AOCD的面积为．
（3）分情况讨论如下：

①BM为对角线时，中点在直线x=3上，Q（3，）
所以P（3，0）
②当四边形PQBM为平行四边形时PQ∥MB， Q（-7，-）,
所以P(3，-）
③当四边形PQMB为平行四边形时PQ∥BM，Q（13，-）,
所以P(3，-25）
考点：二次函数综合题．
11．（1），C（1，0） （2）
【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．
（2）根据平行四边的的性质和判定，结合图形，可直接找到D点的坐标；
（3）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．
①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．
②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，-3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．
试题解析：解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．
把A、B两点坐标代入上式，得

解之，得
故抛物线解析式为 （或）．
当时，,
∴C（1，0）
（2）
（3）①根据题意，当S = 24时，即．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为．
因为OE不垂直于AE，所以□OEAF不可能是矩形．
因为点满足OE = AE，所以□OEAF是菱形；
因为点不满足OE = AE，所以□OEAF不是菱形
当OA⊥EF，且OA = EF时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E使□OEAF为正方形．

考点：二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定
12．（1）；（2）能，理由见解析．
【解析】试题分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案；
（2）首先利用待定系数法求出一次函数解析式，进而令y=45，有45=-x+95，求出x的值，进而得出讲课后注意力不低于45的时间．
（1）当0≤t≤10时，设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c．由于它的图象经过点（0，25），（4，45），（10，60），
所以，
解得：，
所以；
（2）当20≤x≤40时，设函数解析式为：y=kx+d，将（20，60），（40，25）代入得：
，
解得：
∴，
令y=45，有45=-x+95，
解得：x=，
即讲课后第分钟时注意力不低于45，
当0≤x≤10时，令y=45，有45=-x2+6x+25，
解得：x1=4，x2=20（舍去），
即讲课后第4分钟时，注意力不低于45，
所以讲课后注意力不低于45的时间有（分钟）＞24（分钟），
所以老师可以经过适当的安排，使学生在探究这道数学题时，注意力指数不低于45．
考点：二次函数的应用．
13．解：（1） D（，﹣4）
（2） P（0，）或（0，）
（3）详见解析
【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标．
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解．
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可．
②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点．再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．
【解析】解：（1）在中，令y=0，则，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，
解得x1=，x2=．∴A（，0），B（，0）．
在中，令x=0，则y=．∴C（0，）．
∵，∴顶点D（，﹣4）．
（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P．
设点P的坐标为（0，y），
∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，
①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，∴．∴y=OC=，此时点P（0，）．
②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，∴，即．
解得y=，此时点P（0，）．
综上所述，符合条件的点P有两个，P（0，）或（0，）．
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l经过点E（，0）和点F（0，），
∴，解得，
∴直线l的解析式为．
∵B（，0），D（，﹣4），
∴，∴线段BD的中点G的坐标为（，﹣2）．
当x=时，，∴点G在直线l上．
②在抛物线上存在符合条件的点M．

设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（，0），
∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），
∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2．
∵，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB．∴∠OFE=∠HBD．
∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°．
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）
=180°﹣90°=90°，
∴直线l是线段BD的垂直平分线．
∴点D关于直线l的对称点就是点B．
∴点M就是直线DE与抛物线的交点．
设直线DE的解析式为y=mx+n，
∵D（，﹣4），E（，0），
∴，解得．
∴直线DE的解析式为．
联立，解得，．
∴符合条件的点M有两个，是（，﹣4）或（，）．
14．（1）（2）（1，）或（3，3）；（3）-＜n＜或＜n＜5．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线AB的解析式，表示出P，E的坐标，故可表示出PE的长，再根据矩形是面积的3倍，得到方程，故可求解；
（3）当∠ABQ为直角时，求出直线BQ的解析式，得到n的值，当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出此时n的值，同理求出当∠BAQ为直角时n的值，故可求解．
【解析】（1）把，代入解析式得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）对于，令y=0
解得x=4或-1
∴A（4,0），则=2
设直线AB的解析式为y=px+q
把A（4，0），代入得，解得
∴直线AB的解析式为
设P（x，），则E（x，）
∴矩形的面积==3
解得x=1或3
∴P点坐标为（1，）或（3，3）；
（3）由可得其对称轴为x=，设Q点坐标为（，n）
①当∠ABQ为直角时，如图2-1

设BQ交x轴于点H，
在Rt△ABO中，tan∠ABO=，
∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠BHO=90°
∴∠BHO =∠ABO
∴tan∠BHO= tan∠ABO =
可设直线BQ的解析式为y=x+t，代入可得t=3
∴直线BQ的解析式为y=x+3
当x=时，y=x+3=5
故n=5；
②当∠BQA为直角时，如图2-2，过点Q作直线MN∥y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，

∵∠BQN+∠MQA=90°，∠MQA+∠MAQ=90°，
∴∠BQN=∠MAQ
∴tan∠BQN=tan∠MAQ
即，则
解得n=
③当∠BAQ为直角时，同理可设直线AQ的解析式为y=x+h
代入A（4，0）得h=-
∴直线AQ的解析式为y=x-
当x=时，y=x-=-
故n=-；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为-＜n＜或＜n＜5．
【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、矩形的特点及面积公式、解直角三角形的方法及数形结合的特点．
15．（1）①10；②；（2）；（3）．
【分析】（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据时，即可得；
②先根据运动速度和时间求出的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）先求出当点与点重合时，的值，再分和两种情况，解直角三角形求出的长，然后利用三角形的面积公式即可得；
（3）分和两种情况，分别利用二次函数的性质即可得．
【解析】解：（1）①，
是等腰直角三角形，
，
由图可知，当时，，
解得或（不符题意，舍去），
故答案为：10；
②由题意得：当时，，
则，
故答案为：；
（2）由函数图象可知，当时，点与点重合，如图所示：

，
，
，
在中，，
，
则当点与点重合时，，
①当时，，，
则；
②当时，
如图，设交于点，过点作，交延长线于点，连接，

，，
，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
则，
，
，
综上，；
（3）①当时，，
令，解得或（舍去），
在内，随的增大而增大，
当时，；
②当时，，
此二次函数的对称轴为，
则由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
则当时，取得最小值，最小值为36，
即在内，都有，
综上，当时，的取值范围为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．
16．（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【解析】解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．

②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
17．（1）；（2）点（6，-8）；（3）当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．
【分析】（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）在的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将的面积分成2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；
（3）先利用图形在内构造，求出，在中由，，求出OM长即可解答，
【解析】解：（1）由抛物线经过点和点，得：
，
解得：
即：条抛物线所对应的函数表达式为：；
（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）
∵点和点．
∴，
∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将的面积分成2：1两部分，如解（2）图，


∵点为该抛物线上一点（不与点重合），
∴直线CP经过Q点，
设直线CP解析式为：，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：
，
∴，
即可设直线CP解析式为：，
联立函数解析式为：，
解得：，，
故P点坐标为（6，-8），
（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点，连接，过点作，垂足为H，

由轴对称性质可知：，，
∴，
∵，即，
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
点从点出发，以每秒1个单位的速度远动：
当沿轴正方向移动时，，则秒，
当沿轴CO方向移动时，，则秒，
综上所述：当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何综合，问题（1）关键是在三角形边上找到将的面积分成2：1两部分直线CP经过的点，问题（3）关键是通过对称构造，再通过解三角形求解OM长．
18．（1）；（2）t=或2；（3）存在，t=， N（2，-3）．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：①当∠QPB＝90°时；②当∠PQB＝90°时；根据等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可．
（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后根据PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可．
【解析】（1）∵二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式是：．
（2）∵，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
∴BC==，
设BC所在的直线的解析式是：，则：，解得：，
∴BC所在的直线的解析式是：，
∵经过t秒，AP=t，BQ=t，
∴点P的坐标是（t﹣1，0），设点Q的坐标是（x，y），
∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，则y=-t×sin45°=-t，
∴BP=t×cos45°=t，
∴x=3﹣t，
∴点Q的坐标是（3﹣t，-t），
①如图1，
，
当∠QPB=90°时，点P和点Q的横坐标相同，
∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，-t），
∴t﹣1=3﹣t，解得t=2，即当t=2时，△BPQ为直角三角形；
②如图2，
，
当∠PQB=90°时，
∵∠PBQ=45°，
∴BP=BQ，
∵BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t，BQ=t，
∴4﹣t=，即4﹣t=2t，解得t=，即当t=时，△BPQ为直角三角形．
综上，可得当△BPQ为直角三角形，t=或2．
（3）如图3，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，
，
设PQ所在的直线的解析式是，
∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，-t），
∴，
解得：，
∴PQ所在的直线的解析式是，
∴点M的坐标是（0，），
∵，=-，
∴PQ的中点H的坐标是（1，-），
假设PQ的中点恰为MN的中点，
∵1×2﹣0=2，-=，
∴点N的坐标是（2，），
又∵点N在抛物线上，
∴=，
∴点N的坐标是（2，-3），
解得t=或t=，
∵t＜2，
∴t=
∴当t＜2时，延长QP交y轴于点M，当t=时在抛物线上是否存在一点N（2，-3），使得PQ的中点恰为MN的中点．
【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；（3）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．
19．（1）点在运动过程中经过点C（0，5）；（2）y与x的函数表达式为，表格和图象见解析；（3）1﹤PF﹤
【分析】（1）若点P经过点C，则有PH=5，利用公式求得PF，即可判断；
（2）由PH=PF得，化简可得到关于的函数表达式，分别将表中x值代入表达式，求出对应的y值，则可完善表格，再利用描点法画出对应的图象即可．
（3）由题意，求线段长度的取值范围即是求线段PH长度的取值范围，先求出直线的函数表达式，代入P的函数表达式解之得交点坐标，结合图象即可得到线段PH（即就是PF）长度的取值范围．
【解析】（1）若点P经过点C，则PH=5，
∵,
∴PF=PH，
故点P经过点C；
（2）由PH=PF得，
化简得：，
故y与x的函数表达式为；
分别将x=0、2、4、6、8代入表达式中，则对应的y=5、2、1、2、5，
填写表格为：

...





...

...
5
2
1
2
5
...

函数图象如下：
；
（2）设直线的函数表达式为y=kx+b，
将点F（4，2）、点（0，﹣5）代入，得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
将代入得：
，即，
解得：
分别代入中，得:
,
当x=4时，y=1，
∵点在直线的下方，且﹥1，
∴结合图象知，1﹤y﹤,
即1﹤PH﹤,
又PF=PH，
∴1﹤PF﹤,
【点评】本题考查二次函数与动点问题，涉及求函数表达式、列表描点画图象、解一元二次方程等，解答的关键是认真审题，寻找相关信息的联系点，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
20．（1）（2）C（-2,4）（3）．
【分析】（1）把代入即可求解；
（2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出E点坐标，代入直线即可求解；
（3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解．
【解析】（1）把代入
得-9-3k-2k=1
解得k=-2
∴抛物线的解析式为；
（2）设C（t, ）,则E（t, ）,
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得

解得
∴直线AB的解析式为y=x+4
∵E（t, ）在直线AB上
∴=t+4
解得t=-2（舍去正值），
∴C（-2,4）；

（3）由=k（x-2）-x2,
当x-2=0即x=2时，y=-4
故无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，-4）
二次函数的顶点为N（）
1°如图，过H点做HI⊥x轴，若＞2时，则k＞4
∵，H（2，-4）
∴MI=，
∵HI=4
∴tan∠MHI=
∴∠MHI=30°
∵
∴∠NHI=30°
即∠GNH=30°
由图可知tan∠GNH=
解得k=4+2，或k=4（舍）

2°如图，若＜2，则k＜4
同理可得∠MHI=30°
∵
∴HN⊥IH，即
解得k=4不符合题意；
3°若=2，N、H重合，舍去．
∴k=4+2
∴抛物线的解析式为．

【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及三角函数的定义．