专题03 二次根式比较大小的四种类型全攻略-初中数学8年级下册同步压轴题（教师版含解析）

专题03 二次根式比较大小的四种类型全攻略

类型一、直接平方法比较大小

例．两个数，5的大小关系是 (   　 )

A． B． C． D．无法比较

【答案】A

【详解】∵,5=，则＜，∴＜5

故答案为A.

【变式训练1】比较大小：2___5．(填“＞”、“＜”或“＝”)

【答案】＜

【详解】2＝＝，5＝＝，

∵20＜50，∴2＜5，

故答案为：＜．

【变式训练2】比较大小：_____3      ________

【答案】>    <   

【详解】解：∵，，∴，

∵，，∴．

故答案是：>，<．

【变式训练3】比较大小：①___；　  ② ______．

【答案】       

【详解】解：①由，可得；

②由，可得；故答案为；．

类型二、分母有理化(分子有理化)比较大小

例1．已知，，则a与b的大小关系是(    )．

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【详解】解：，

，

∵，，∴，∴．

故选B．

例2.设，，，则，，的大小关系是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：=

∵＞＞

∴＞＞

∴

故选A．

【变式训练1】已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(     )

A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b

【答案】A

【详解】解:∵，，，又，∴．

故选：A.

【变式训练2】已知：，，，则、、的大小关系为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

即

故选：D．

【变式训练3】比较大小：_________(用或填空)

【答案】<

【详解】解：，

，

∵，

∴，

∴．

故答案是：<．

类型三、做差法或作商法比较大小

例．、、的大小关系是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】∵()-()=3-2=3-=->0，∴，

∵()-()=-=-=>0，

∴，∴，故选D.

【变式训练1】估算比较大小：_______；______．

【答案】>    <   

【详解】解：①，，，故答案为：．

②，，，

故答案为：．

【变式训练2】比较大小_____．

【答案】

【详解】解：作差法可得：，

∵与0的大小并不能直接观察得出，

∴利用平方法比较与的大小，

∵，

又∵， ∴，

则，∴，即＜0，∴，

得出：，故答案为：．

【变式训练3】比较大小： _______ (填“＞”“＜”或“＝”)

【答案】＜

【详解】解：∵，∴ 和的分母都是2，

∴只需比较分子和的大小即可，

∵，∴．

故答案为＜．

【变式训练4】比较大小：______________   (填“>”、“=”或“<”)．

【答案】<

【详解】解：==，

∵，

∴，即<0，∴，故答案为：<．

类型四、综合方法比较大小

例．比较大小，①___；②____．

【答案】<    <   

【详解】解：①左边，平方后得到数为：12，

右边，平方后得到数为：13，

，；

②左边求倒数为，

右边求倒数为，

，．

故答案为：①<；②<．

【变式训练1】比较大小：_________．

【答案】<

【详解】，

，

∴，

故答案为：．

【变式训练2】比较大小：____；______；－______－．

【答案】＞    ＞    ＞   

【详解】解：∵，

∴，∴＞；

∵=，=，∴＞；

∵＜，

∴-＞-，

故答案为：＞，＞，＞．

课后训练

1．比较的大小，正确的是(   )

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：，

，

即：；

故选：A．

2．已知，则比较、、、的大小结果是(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】a=-(0.2)²=-0.04；b=-2-2=-；c=(-)-2=4；d=(-)0=1

∵-<-0.04<1<4

∴b<a<d<c

故选A．

【点睛】

本题考查负整数指数幂性质和0指数幂的运算法则，需要熟练掌握其性质．

3．写出一个比大且比小的整数_______________．

【答案】3(或4)

【详解】

∵，，

∴比大且比小的整数是3或4，

故答案为：3(或4)．

4．比较大小_____， _____．

【答案】     ＜     ＜

【详解】解：∵，，

又∵，∴，∴；

∵，，

又∵，∴，

∴．

故答案为：＜；＜．

5．阅读下面问题：；；．

(1)根据以上规律推测，化简__________；(n为正整数)__________．

(2)根据你的推测，比较和的大小．

【答案】(1)，；(2)＜

【详解】解：(1)==；

==；

(2)=，

=，

∵＞，

∴＜，

∴＜．

6．比较大小：2_____5(填“＞”、“＝”或“＜”)．

【答案】>

【详解】解：∵，，

，

∴．

故答案为：．

7．比较大小：________．(填“>”，“<”或“=”号)

【答案】＜

【详解】解：∵5＜9，

∴，

即，

∴，

∴，

故答案为：＜．

8．比较大小：________.(填“”“”或“”)

【答案】

【详解】解：

∴

∵

∴<

∴>

故答案为：>.

9．比较大小：(1)______5；(2)______.

【答案】<,    >   

【详解】解：(1) ，，
∵,∴.

(2)，，

∵，，，

∴

∴.故答案为：＜；＞.

10．一个长方形的长宽之比为，面积为．

(1)求长方形的长与宽．

(2)将这个长方形的长减少，宽增加后，就成为一个正方形，并且它与原来的长方形的面积相等，请判断的大小，并说明理由．

【答案】(1)长方形的长为cm，宽为cm；(2)，理由见解析．

【详解】(1)设长方形的长为，则宽为，

由题可得：，化简得：，解得：，答：长方形的长为，宽为；

(2)，理由如下：由题意得，

解得：，，

∵，

∴，即．