初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程课文内容课件ppt

5  二次函数与一元二次方程

第1课时  二次函数与一元二次方程的关系

【知识与技能】

1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法.

2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征.

【过程与方法】

经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.

【情感态度】

培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质.

【教学重点】

经历“类比—观察—发现—归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程.

【教学难点】

准确理解二次函数与一元二次方程的关系.

一、情景导入，初步认知

我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx + b

(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx + b=0的解

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数

Y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我 们将探索有关问题.

【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生形成解决一类问题的通用方法的思维品质.

二、思考探究，获取新知

探究：画出 y=x2+2x、y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象，观察并解答：

1.每个图象与x轴有几个交点？

2.一元二次方程 x2+2x=0、x2-2x+1=0、x2-2+2=有几个根？用判别式验证.

3.函数y=ax2+bx + c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2+bx+ c=0的根有什么关系？

【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法.

【归纳结论】 二次函数y=ax2+bx + c的图象与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的 图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

三、运用新知，深化理解

1.知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（                 ）
                     

A. ac＞0

B. 方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3

C. 2a-b=0

D.当x＞0时，y随x的增大而减小

解析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与 x轴、y轴的交点，逐一判断：

A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；

 B.∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于(3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0)，即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3， 故本选项正确；

 C.∵抛物线对称轴为x=1，∴2a+b=0，故本选项错误；

 D.∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，故本选项错误.

答案：B.

2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（    ）

A. -1.6                        B. 3.2

C. 4.4                        D. 以上都不对

解析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图形和已知条件即可求出x2：

由抛物线图象可知其对称轴为x=3，

又抛物线是轴对称图形，

∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，

那么两根满足2×3= x1+x2，

而x1=1.6，

∴x2=4.4.

答案：C.

3.根据下列表格的对应值：

判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（     ）

A.8＜x＜9                   B.9＜x＜10

C.10＜x＜11                 D.11＜x＜12

解析：根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，

而-0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围：

依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，

而-0.38＜0＜1.2，

∴方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11.

答案：C.

【教学说明】学生独立完成3个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表迸行总结，教师作以补充.

1.布置作业：教材“习题2.10”中第2、3、4题.

2.完成练习册中本课时的练习.

本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想.

三种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标.