2023年山东省济南市莱芜区中考数学一模试卷（含答案）

2023年山东省济南市莱芜区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )

A. 长方体
B. 圆锥
C. 三棱柱
D. 圆柱

3.  年月日，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心发射，月日名航天员进驻中国空间站，会师神舟十四乘组，两个航天员乘组首次实现“太空会师”神舟十五号飞船远地点高度约，近地点高度约将数字用科学记数法并保留三位有效数字表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，点在上，平分，若，则的度数为
(    )

A.
B.
C.
D.

5.  我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某学校成立了、、三个志愿者小组，在“学雷锋活动月”，利用周末时间到“残障儿童服务站”举行献爱心活动，如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果，那么代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于，交于，连接为上一动点，过作，垂足为，连接，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知、在抛物线的对称轴的同侧，当时，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是______ ．

13.  一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的对角线共有______ 条

14.  代数式的值比代数式的值大，则 ______ ．

15.  已知正方形，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点的对应点为点，若是以为底的等腰三角形，则的度数为______ ．

16.  对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：比如指数式可以转化为，对数式，可以转化为我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：理由如下：设，，则，，，由对数的定义得，又，，类似还可以证明对数的另一个性质：．
请利用以上内容计算 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：，并写出它所有的整数解．

19.  本小题分
在▱中，点、在对角线上，且，求证：．

20.  本小题分
读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：、、、整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在小时内的数据：，，，，，，，，，，，，，，．
家庭成年人阅读时间统计表：

请结合以上信息回答下列问题：
统计表中的 ______ ， ______ ；
组数据的众数是______ ，中位数是______ ；
扇形统计图中组对应扇形的圆心角为______ 度， ______ ；
该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率．

21.  本小题分
某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为：的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为．
求坡顶到地面的距离；
求联通信号发射塔的高度结果精确到米．
参考数据：，，

22.  本小题分
如图，在中，以为直径的与相交于点，是的切线，于．
求证：；
若的半径为，，求的长．

23.  本小题分
“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进，两种纪念品，购进种纪念品件，种纪念品件，共需元；购进种纪念品件，种纪念品件，共需元．
求购进，两种纪念品每件各需多少元？
若购买两种纪念品共件，并且购买种纪念品的数量不大于种纪念品数量的倍种纪念品每件获利元，种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进，两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过、两点，为直角三角形，轴，轴，，．
求反比例函数的表达式及点的坐标；
点是轴正半轴上的动点，连接、；
求的最小值；
点是反比例函数的图象上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标．

25.  本小题分
如图，是等腰直角三角形，，点在的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、、．
判断线段与的数量关系并给出证明；
如图，当、、三点在同一条直线上时，写出线段、、的数量关系为______ ；
如图，若，，点为线段中点，当、、三点在同一条直线上时，连接，求的长度．
 

26.  本小题分
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
求，，的值；
如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标；
如图，在的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩形大小不一，
故该几何体是长方体．
故选：．
该几何体的主视图与左视图、俯视图均为矩形，易得出该几何体的形状．
本题主要考查的是由三视图判断几何体，涉及三视图的相关知识，解题时要有丰富的空间想象力．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法就是将一个数字表示成的形式，其中，表示整数．为整数位数减，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以的次幂．用科学记数法是正整数表示的数的有效数字应该由首数来确定，首数中的数字就是有效数字．
本题考查了科学记数法和有效数字，掌握科学记数法和有效数字的概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义得出的度数，进而利用邻补角得出的度数，利用平行线的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，灵活运用性质和概念是解题的关键，解答时，注意步骤要规范、清楚．
 

5.【答案】 

【解析】解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图示，可得，，
，，
，
，
选项A符合题意；

，，
，，
，
选项B不符合题意；

，，
，
选项C不符合题意；

，，
，
选项D不符合题意．
故选：．
根据图示，可得，，据此逐项判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中他们恰好选到同一个小组的结果有种，
他们恰好选到同一个小组的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及他们恰好选到同一个小组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：



，
，
，
原式，
故选：．
先化简所求的式子，再根据，可以得到，然后代入化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作于，

根据两点之间线段最短和垂线段最短得：，
即是的最小值，
，，
，
，
由作图得：垂直平分，
，
，
平分，
、关于对称，
在中，
，
故选：．
由作图得垂直平分，再根据两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值，最后根据三角函数求解．
本题考查了基本作图，理解两点之间线段最短和垂线段最短是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
抛物线的对称轴为直线．
点，在抛物线上，
，
，
．
当时，，
，
，
又，
；
同理：当时，．
的取值范围是．
故选：．
将抛物线的解析式变形为顶点式，由此可得出抛物线的对称轴为直线，利用二次函数图象上点的坐标特征，结合，可得出，分及两种情况，可求出的取值范围，此题得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及不等式的性质，利用二次函数图象上点的坐标特征及，找出是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用公式法分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用公式法分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：总面积为个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积，
小球最终停留在阴影区域的概率是．
故答案为：．
根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：多边形的边数：，
对角线条数：．
故答案为：．
根据多边形的外角和外角的度数求出多边形的边数，然后根据多边形的对角线条数公式即可解答．
本题主要考查了多边形的外角和，多边形的对角线的条数等知识点，掌握对角线总条数的计算公式是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
根据题意可得：，然后按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，
，
，
又，
，
又，
≌，
，
又，
，
是等边三角形，
，
又，，
．
故答案为：．
先连接，即可≌，进而得到，进而得出是等边三角形，结合折叠的性质即可得到的度数．
本题属于折叠问题，主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
 

16.【答案】 

【解析】解：





．
故答案为：．
根据所给的运算的法则进行求解即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，，得出，由证明≌，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】           

【解析】解：由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可知，，．
故答案为：；．
小时内的数据中，出现的次数最多，
组数据的众数是．
将小时内的数据按从小到大排列，排在第个的是，
组数据的中位数是．
故答案为：；．
扇形统计图中组对应扇形的圆心角为．
，
．
故答案为：；．
设名男生记为，名女生记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中“男女”的结果有：，，，，共种，
恰好选中“男女”的概率为．
由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可得答案．
根据众数和中位数的定义可得答案．
用乘以等级的人数所占的百分比，即可求出组对应扇形的圆心角的度数；求出等级的人数所占的百分比即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“男女”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数率分布表、扇形统计图、众数、中位数，能够理解频数率分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及众数和中位数的定义是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，

斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，米，
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
延长交于点，

由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
米，
联通信号发射塔的高度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接、，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，

的半径为，是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接、，利用切线性质可得，结合，可得，再运用平行线性质和等腰三角形的判定和性质即可证得结论；
连接，由是的直径，可得，，利用等腰三角形性质可得，推出，再根据直角三角形性质得出．
本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元；
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，
根据题意得：，
解得：．
设购进的件纪念品全部售出后获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最大值，最大值，此时．
当购进种纪念品件，种纪念品件时，获得的总利润最大，最大总利润为元． 

【解析】设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，根据“购进种纪念品件，种纪念品件，共需元；购进种纪念品件，种纪念品件，共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据购买种纪念品的数量不大于种纪念品数量的倍，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购进的件纪念品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量购进数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】解：，，
，
将代入得：
，
解得，
反比例函数的表达式为，
在中，令得，
的坐标为；
作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图：

，关于轴对称，
，
当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
由知，，
，
，
的最小值是；
设，，
当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：

的等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：

同理可得，，
，
解得或舍去，
；
综上所述，的坐标为或． 

【解析】求出，用待定系数法可得反比例函数的表达式为，令得的坐标为；
作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，由，，可得，，即可得到答案；
设，，分两种情况：当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，由的等腰直角三角形，证明≌，可得，即可解得；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，解得．
本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

25.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
根据旋转的性质得，，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
在中，，，
，
，，
，
故答案为：；
如图，连接，

、是等腰直角三角形，
，
、、、四点共圆，
，
≌，
，
，
、、、四点共圆，
，
点为线段中点，
，
，
，
，
，
，，
．
根据旋转的性质得出，，进而推出，结合等腰直角三角形的性质利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；
根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；
连接，根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质推出、、、四点共圆，、、、四点共圆，，结合三角形内角和定理求出，根据勾股定理求解即可．
此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：将代入，
得，
，
抛物线的解析式为，
令，则，
，
令，则，
，，
，即；
过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，

设：，将，代入得，，
：，
设，则，
，
，
∽，
，
将代入，
，
，
，
，
，
舍，，
；
在轴上取一点，使得，连接，在上取一点，使得，

，，
，
，
，
∽，
，
，
，此时最小，
最小值为：． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，求得的解析式，设，则，利用相似三角形的判定与性质可得答案；
在轴上取一点，使得，连接，在上取一点，使得，由相似三角形的判定与性质可得，可得，此时最小，即可解答．
此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、待定系数法求解析式等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．