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2023年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 16的算术平方根是( )
A. 4 B. −4 C. ±4 D. 8
2. 如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是( )
A. B. C. D.
3. 根据第七次人口普查的主要数据显示，莱芜区目前的常住人口是97万人.97万用科学记数法可表示为( )
A. 9.7×104 B. 9.7×105 C. 97×104 D. 0.97×106
4. 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ//OB，若PQ=2，则线段OQ的长是( )
A. 1.8
B. 2.5
C. 3
D. 2
5. 下列图形中是中心对称但不是轴对称的图形是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若|a−b|=8，则点A表示的数为( )
A. −4 B. 0 C. 4 D. −8
7. 小颖同学统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是( )
A. 最大值与最小值的差是47 B. 众数是42
C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月
8. 已知m，n，5分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的两个根，则k的值等于( )
A. 3 B. 5或9 C. 5 D. 9
9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AC于E，交BC于D，连接AD.若AE=12CE，AE=2，则AD=( )
A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 7
10. 新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数.已知抛物线y=x2−2mx+m2−m+2与线段y=m(1≤m≤3)是牵手函数，则m的取值范围是( )
A. m≥1或−3≤m≤1 B. 1≤m≤3
C. m≤1或m≥3 D. m≤3
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：a2−36= ______ ．
12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．
13. 代数式x2比代数式x−13大1，则x= ______ ．
14. 某快递公司每天上午9：30—10：50为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过______ 分钟时，两仓库的快递件数相同．
15. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2.则四边形CDEF面积的最小值是______ ．
16. 如图，点A(0,1)，点A1(2,0)，点A2(3,2)，点A3(5,1)…，按照这样的规律下去，点A2023的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(14)−1+2sin45°−(3−π)0−|− 2|．
18. (本小题6.0分)
解不等式组2x−4≥3(x−2)3x−12
如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，求证：BM=CN．
20. (本小题8.0分)
某校为了提高学生学习数学的兴趣，举办了数学竞赛活动，从八年级随机抽取了m名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
数据分成5组，
A：100≤x<110，B：110≤x<120，C：120
120，122，127，123，128，125，126，123，127，128，125，128，129，129
请结合以上信息，回答下列问题：
(1)m= ______ ，并补全频数分布直方图；
(2)C组数据的众数是______ ，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______ ；
(3)B组对应的扇形圆心角为______ 度；
(4)八年级学生参加竞赛的有300人，请你估计八年级竞赛成绩120分及以上的学生人数．
21. (本小题8.0分)
如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山顶A的仰角为45°，沿BC方向前行34米至点D处，斜坡DE的坡比为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为8米，点B、D、C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．
(1)求斜坡DE的水平宽度DF的长；
(2)求山体AC的高度大约为多少米．
(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60， 2≈1.41)
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.DE⊥AC．
(1)求证：AB=AC；
(2)若⊙O的直径为13，BC=24，求DE的长．
23. (本小题10.0分)
某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完.于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的54，购进单价比第一次上涨了20元．
(1)第一批和第二批服装的购进单价各是多少？
(2)商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？
24. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=12x+b的图象与x轴交于点A(−2,0)，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点E(a,2)，过直线AE上的点B作BC⊥x轴于点C，与反比例函数交于点D(m,1)，连接AD，DE．
(1)求k的值与B点坐标；
(2)求S△ADE；
(3)若点P是直线AB上的动点，是否存在点P，使得△BCP与△BDE相似？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题12.0分)
某校数学兴趣小组对图形的旋转问题进行了深入探究．
专题探究
已知△ABC中，∠BAC=α(0°<α<180°)，AB=AC，点M是线段AC上的一点，N是线段BC上的点，NQ//BA，交AC于点Q，将线段MN绕点M顺时针旋转α度，得到线段MP，连接PN，PC．
(1)如图1，当α=60°时，直接写出线段PC与MQ的数量关系______ ；
(2)如图2，当α=120°时，判断线段PC与MQ的数量关系，并给出证明；
变式应用
(3)如图3，在△A′B′C′中，∠B′A′C′=90°，∠A′B′C′=60°，A′B′=6，M是B′C′上的任意一点，连接A′M，将A′M绕点A′按顺时针方向旋转90°，得到线段A′N，连接B′N.求线段B′N的最小值．
26. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点A(0,4)，并经过点C(6,0)，抛物线的对称轴为直线x=2，过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，点D的坐标为(4,0)，连接AD，BD．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E从A出发，以每秒 2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形FGEH.当点G随着E点运动到达抛物线上时，求此时m的值；
(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C为顶点的三角形是直角三角形，如果存在，请求出G点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为4的平方是16，
所以16的算术平方根是4．
故选：A．
此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．
2.【答案】C
【解析】解：A、长方体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项符合题意；
D、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆(带圆心)，故此选项不符合题意．
故选：C．
直接利用主视图以及俯视图的观察角度不同分别得出几何体的视图进而得出答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：97万用科学记数法可表示为9.7×105．
故选：B．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PQ//OB，
∴∠QPO=∠BOC，
∴∠AOC=∠QPO，
∴OQ=PQ=2．
故选：D．
根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠AOC=∠QPO，由等腰三角形的判定即可求出OQ．
本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠AOC=∠QPO，熟练掌握等腰三角形的判定是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、是轴对称图形，因为沿着过原点的直线，对折后能完全重合；也是中心对称图形，因为旋转后可与原图重合，故错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形．故正确；
D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6.【答案】A
【解析】解：∵a+b=0，
∴b=−a．
根据数轴可知：a
∴|a−b|=−a+b=−a−a=−2a=8，解得a=−4．
故选：A．
根据题干中a+b=0，得出a与b互为相反数：b=−a.有数轴得出a
7.【答案】C
【解析】解：A、极差为：83−28=55，故本选项错误；
B、∵58出现的次数最多，是2次，
∴众数为：58，故本选项错误；
C、中位数为：(58+58)÷2=58，故本选项正确；
D、每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六个月，故本选项错误；
故选：C．
根据统计图可得出最大值和最小值，即可求得极差；出现次数最多的数据是众数；将这8个数按大小顺序排列，中间两个数的平均数为中位数；每月阅读数量超过40的有2、3、4、5、7、8，共六个月．
本题是统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8.【答案】B
【解析】解：当m=n时，Δ=(−6)2−4k=0，
解得k=9，
∵m+n=6>5，
∴k=9满足条件；
当m=5时，5+n=6，5n=k，
解得n=1，k=5，
当n=m时，同理可得m=1，k=5，
综上所述，k的值为9或5．
故选：B．
讨论：当m=n时，利用判别式的意义得到Δ=(−6)2−4k=0，则k=9；当m=5时，根据根与系数的关系得5+n=6，5n=k，解得n=1，k=5；当n=5时，同理可得m=1，k=5．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了三角形三边的关系和根的判别式．
9.【答案】D
【解析】解：∵AE=2，AE=12CE，
∴CE=4，
∴AC=AE+EC=2+4=6，
由作图可知DE垂直平分线段BC，
∴EB=EC=4，
∵∠BAC=90°，
∴AB= BE2−AE2= 42−22=2 3，
∴BC= AB2+AC2= (2 3)2+42=2 7，
∵BD=CD，∠BAC=90°，
∴AD=12BC= 7．
故选：D．
利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜边中线定理求解．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得，
方程x2−2mx+m2−m+2=m，即x2−2mx+m2−2m+2=0有实数解，
∴Δ=(−2m)2−4(m2−2m+2)
=4m2−4m2+8m−8
=8m−8≥0，
解得m≥1，
∵1≤m≤3，
故选：B．
由题意得到Δ=(−2m)2−4(m2−2m+2)=8m−8≥0，解得m≥1，结合线段y=m(1≤m≤3)即可得出m的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握函数与方程的关系．
11.【答案】(a+6)(a−6)
【解析】解：a2−36
=(a+6)(a−6)，
故答案为：(a+6)(a−6)．
利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，能准确应用公式法是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：∵由图可知，黑色方砖有3块，共有9块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值=39=13，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是13，
故答案为：13．
先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
13.【答案】4
【解析】解：根据题意得：x2−x−13=1，
去分母得：3x−2(x−1)=6，
去括号得：3x−2x+2=6，
移项得：3x−2x=6−2，
合并同类项得：x=4．
故答案为：4．
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：设甲仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数关系式为：y1=k1x+40，
根据题意得60k1+40=400，
解得k1=6，
∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数关系式为：y2=k2x+240，
根据题意得60k2+240=0，
解得k2=−4，
∴y2=−4x+240，
联立y=6x+40y=−4x+240，
解得x=20y=160，
∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：20．
分别求出甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键：(1)熟练运用待定系数法求解析式；(2)解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
15.【答案】14t2−14t+1
【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE=x=EM，则EA=2−x，
∵AE2+AM2=EM2，
∴(2−x)2+t2=x2，
解得x=t24+1，
∴DE=t24+1，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，
∴EF⊥DM，
∠ADM+∠DEF=90°，
∵EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG=90°，
∴∠ADM=∠FEG，
∴tan∠ADM=AMAD=t2=FG1，
∴FG=t2，
∵CG=DE=t24+1，
∴CF=t24−t2+1，
∴S四边形CDEF=12(CF+DE)×1=14t2−14t+1．
故答案为：14t2−14t+1．
连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．
16.【答案】(3035,1011)
【解析】解：由图象可得，奇数点的规律为：A1(2,0)，A3(5,1)，A5(8,2)…..A2n−1(3n−1,n−1)，
偶数点的规律为：A2(3,2)，A4(6,3)，A6(9,4)……A2n(3n,n+1)，
∵2023是奇数，即2n−1=2023，
∴n=1012，
∴A2023的坐标为(3035,1011)，
故答案为：(3035,1011)．
观察图形可得奇数点的规律为：A1(2,0)，A3(5,1)，A5(8,2)…..A2n−1(3n−1,n−1)，偶数点的规律为：A2(3,2)，A4(6,3)，A6(9,4)……A2n(3n,n+1)，根据规律求解即可．
本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键．
17.【答案】解：(14)−1+2sin45°−(3−π)0−|− 2|
=4+2× 22−1− 2
=4+ 2−1− 2
=3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：2x−4≥3(x−2)①3x−12
解不等式②，得x<3；
∴不等式组的解集是：x≤2；
它的非负整数解：0，1，2．
【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出它所有的非负整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
19.【答案】证明：连接DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，
∴CO=DO=12AC=12BD，
∵DM⊥AC，CN⊥BD，
∴∠DMO=∠CNO=90°，
∵∠AOD=∠COB，
∴△DMO≌△CNO(AAS)，
∴BM=CN．
【解析】利用矩形的对角线相等且互相平分得到OD=OC，然后证得△DMO≌△CNO即可证得结论．
本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，牢记矩形的性质是解答本题的关键．
20.【答案】50 128 127.5 72
【解析】解：(1)∵m=8÷16%=50，
∴B组的频数为50−6−14−12−8=10，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：50；
(2)根据C组数据可知众数是128，
抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是第25和第26个的数据的平均数127+1282=127.5；
故答案为：128，127.5；
(3)360°×1050=72°，
故答案为：72；
(4)300×14+12+850=204(人)，
答：估计八年级竞赛成绩120分及以上的学生人数是204人．
(1)根据E组的频数和百分比即可得出m的值，计算出B组的频数即可补全频数分布直方图；
(2)根据众数和中位数的定义即可得出答案；
(3)用360°乘以B组的百分比即可；
(4)用总人数乘以样本中120分及以上的人数所占比例即可．
本题考查频数(率)分布直方图、中位数、众数、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：过点E作EG⊥AC，垂足为G，
(1)∵EF⊥DC，
∴∠EFD=90°，
∵斜坡DE的坡比为1：2，
∴EFDF=12，
∵EF=8米，
∴DF=16米，
答：斜坡DE的水平宽度16米；
(2)∵∠B=45°，∠C=90°，
∴∠BAC=45°，
∴AC=BC，
∵∠EFC=∠C=∠CGE=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
设AC=BC=x，
∵BD=34，DF=16，
∴CF=EG=x−50，
∵CG=EF=8，
∴AG=x−8，
在Rt△AEG中，tan58°=AGEG≈1.6，
∴x−8x−50=1.6，
解得x=120，
经检验，x=120是方程的根，
答：山体AC的高度120米．
【解析】(1)根据坡度的定义即可得到DF=16米；
(2)根据三角形内角和定理得到∠BAC=45°，求得AC=BC，推出四边形EFCG是矩形，设AC=BC=x，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题；解直角三角形的应用−坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵DE⊥AC，
∴OD//AC，
∴∠ODB=∠ACB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(2)解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，AB=AC，
∴BD=CD，
∵⊙O的直径为13，BC=24，
∴AC=AB=13，CD=12，
∴AD= AB2−BD2=5，
∵S△ADC=12AD⋅DC=12AC⋅DE，
∴DE=5×1213=6013．
【解析】(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE.根据平行线的性质得到∠ODB=∠ACB.根据平行线的性质得到∠ODB=∠OBD.等量代换得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理即可得到AB=AC；
(2)连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，得到BD=CD，根据勾股定理得到AD= AB2−BD2= 132−122=5，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是(x+20)元，
由题意得：4800x×54=9000x+20，
解得：x=40，
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意，
∴x+20=60元，
答：第一批服装的购进单价是40元，第二批服装的购进单价是60元；
(2)第二批购进数量为：9000÷60=150(件)，
设第二批服装的售价定为m元，
由题意得：(150−40)m+40×0.8m−9000≥5200，
解得：m≥100，
答：第二批服装售价至少定为100元．
【解析】(1)设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是(x+20)元，根据第二次的服装数量是第一次服装数量的54，列出分式方程，解方程即可；
(2)设第二批服装的售价定为m元，根据第二批服装的利润不低于5200元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)将(−2,0)代入y=12x+b，得0=−1+b，
解得b=1，
将E(a,2)代入y=12x+1，
解得a=2，
∴E(2,2)，
将(2,2)代入y=kx，
解得k=4，
∴D(4,1)，
将x=4代入y=12x+1，
解得y=3，
∴B(4,3)；
(2)S△AED=S△ABC−S△BED−S△ACD=6×32−2×22−6×12=9−2−3=4；
(3)∵B(4,3)，D(4,1)，E(2,2)，
∴BD=2，BC=3，BE= 5，
①当△BCP∽△BDE时，BDBC=BEBP，
∴23= 5BP，
解得BP=3 52，
∵AB= 32+62=3 5，
∴AP=AB−BP=3 52，
∴yP=AP⋅sin∠BAC=3 52×1 5=32，
∴P(1,32)，
②当△BCP∽△BED时，BDBP=BEBC，
∴2BP= 53，
解得BP=6 55，
∴AP=3 5−6 55=9 55，
∴yP=AP⋅sin∠BAC=9 55×1 5=95，xP=85，
∴P(85,95)，
综上，当△BCP与△BDE相似时，P(1,32)或P(85,95)．
【解析】(1)将(−2,0)代入y=12x+b求得b=1，将E(a,2)代入y=12x+1，得到E(2,2)，将E(2,2)代入y=kx，求得D(4,1)，将x=4代入y=12x+1，即可得到结论；
(2)根据三角形 打麻将公式即可得到结论；
(3)①当△BCP∽△BDE时，列比例式求得BP=3 52，根据勾股定理得到AB= 32+62=3 5，求得AP=AB−BP=3 52，于是得到P(1,32)，②当△BCP∽△BED时，列比例式得到BP=6 55，求得AP=3 5−6 55=9 55，于是得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】PC=MQ
【解析】解：(1)∵当α=60°时，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵NQ//BA，
∴∠CQN=∠A=∠CNQ=∠B=60°，
∴△CNQ是等边三角形，
∴NC=NQ，
∵线段MN绕点M顺时针旋转60°，得到线段MP，
∴△MNP是等边三角形，
∴NP=NM，∠MNP=60°，
∵∠MNP=∠CNQ=60°，
∴∠MNQ=∠CNP，
在△NMQ和△NPC中，
NP=NM∠MNQ=∠CNPNC=NQ，
∴△NMQ≌△NPC(SAS)，
∴PC=MQ；
故答案为：PC=MQ；
(2)PC= 3MQ；
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，NQ//BA，
∴NQ=QC，∠NQC=∠BAC=120°，∠QNC=∠QCN=30°，
∵线段MN绕点M顺时针旋转α度，得到线段MP，α=120°，
∴MN=MP，∠MNP=∠MPN=30°，
∴∠MNP−∠QNP=∠QNC−∠QNP，
∴∠MNQ=∠PNC，NQNC=MNNP=1 3，
∴△MNQ∽△PNC，
∴PCMQ= 3，
即PC= 3MQ；
(3)∵∠B′A′C′=∠MA′N=90°，∠B′A′C′=90°，∠A′B′C′=60°，A′B′=6，
∴∠NA′B′=∠MA′C′，
∵A′B′=6，∠A′B′C′=60°，
∴∠C′=30°，A′C′=6 3，在线段A′C′上截取A′P=A′B′，连接MP，
∴△NA′B≌△PAM(SAS)，
∴B′N=MP，
∴当MP的值最小时，B′N的值最小，
作PH⊥B′C′于H，
在Rt△PHC′中，
∵∠C′=30°，PC′=A′C′−A′P=6 3−6，
∴PH=3 3−3，
根据垂线段最短可知，
当点M与H重合时，PM的值最小，
即B′N的值最小，
∴B′N的最小值为3 3−3．
(1)根据条件判定△ABC、△MNP、△NCQ都是等边三角形，易证△NMQ≌△NPC，根据全等三角形的性质即可求出线段PC与MQ的数量关系；
(2)根据已知条件和旋转的性质推出判定MNQ∽△PNC的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出线段PC与MQ的数量关系；
(3)在线段A′C′上截取A′P=A′B′，连接MP，易得△NA′B≌△PAM，当MP的值最小时，B′N的值最小，作PH⊥B′C′于H，根据垂线段最短可知当点M与H重合时，PM的值最小，即B′N的值最小，求出最小值即可．
本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线过点(6,0)，对称轴为直线x=2，
∴与x轴另一个交点为(−2,0)，
设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−6)，
将A(0,4)代入，−12a=4，
解得：a=−13，
∴y=−13(x+2)(x−6)，
∴抛物线的解析式为y=−13x2+43x+4；
(2)∵B(4,4)，A(0,4)，D(4,0)，
∴AB=4，BD=4，AD=4 2，
∴AD2=AB2+BD2，AB=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=45°，
∵EF⊥AB，
∴△AFE是等腰直角三角形，
由题意得AE=2m，则AF=EF=m，
连接HG与EF交于I，在正方形EGFH中，FI=GI=12EF=12m，
则xG=32m，yG=4−12m，
∴G(32m,4−12m)，
将G点坐标代入y=−13x2+43x+4中，
整理得：3m2−10m=0，
解得：m=0(舍)或m=103，
∴m=103时，G点能到达抛物线；
(3)存在以B，G，C为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵B(4,4)，C(6,0)，G(32m,4−12m)，
∴BC2=20，BG2=52m2−12m+16，CG2=52m2−22m+52，
①当BG2+BC2=CG2时，52m2−12m+16+20=52m2−22m+52，
解得：m=85，
此时G(125,165)，
②当BG2+CG2=BC2时，52m2−12m+16+52m2−22m+52=20，
整理得：5m2−34m+48=0，
解得：m=2或m=245，
此时G(3,3)或(365,85)；
③当CG2+BC2=BG2时，52m2−22m+52+20=52m2−12m+16，
解得：m=285，
此时G(425,65)
综上所述：点G的坐标是(125,165)或(3,3)或(365,85)或(425,65).
【解析】(1)根据题意求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−6)，将点A代入求出a的值即可求函数的解析式；
(2)利用勾股定理逆定理判定出△ABD是等腰直角三角形，则可得△AFE是等腰直角三角形，由题意得AE=2m，则AF=EF=m，连接HG与EF交于I，在正方形EGFH中，FI=GI=12EF=12m，从而确定G(32m,4−12m)，将G点坐标代入y=−13x2+43x+4中，求出m的值即可；
(3)根据题意求出BC2=20，BG2=52m2−12m+16，CG2=52m2−22m+52，再根据斜边分三种情况讨论建立方程求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理及逆定理的应用，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
2023年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 16的算术平方根是( )
A. 4 B. −4 C. ±4 D. 8
2. 如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是( )
A. B. C. D.
3. 根据第七次人口普查的主要数据显示，莱芜区目前的常住人口是97万人.97万用科学记数法可表示为( )
A. 9.7×104 B. 9.7×105 C. 97×104 D. 0.97×106
4. 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ//OB，若PQ=2，则线段OQ的长是( )
A. 1.8
B. 2.5
C. 3
D. 2
5. 下列图形中是中心对称但不是轴对称的图形是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若|a−b|=8，则点A表示的数为( )
A. −4 B. 0 C. 4 D. −8
7. 小颖同学统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是( )
A. 最大值与最小值的差是47 B. 众数是42
C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月
8. 已知m，n，5分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的两个根，则k的值等于( )
A. 3 B. 5或9 C. 5 D. 9
9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AC于E，交BC于D，连接AD.若AE=12CE，AE=2，则AD=( )
A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 7
10. 新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数.已知抛物线y=x2−2mx+m2−m+2与线段y=m(1≤m≤3)是牵手函数，则m的取值范围是( )
A. m≥1或−3≤m≤1 B. 1≤m≤3
C. m≤1或m≥3 D. m≤3
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：a2−36= ______ ．
12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．
13. 代数式x2比代数式x−13大1，则x= ______ ．
14. 某快递公司每天上午9：30—10：50为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过______ 分钟时，两仓库的快递件数相同．
15. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2.则四边形CDEF面积的最小值是______ ．
16. 如图，点A(0,1)，点A1(2,0)，点A2(3,2)，点A3(5,1)…，按照这样的规律下去，点A2023的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(14)−1+2sin45°−(3−π)0−|− 2|．
18. (本小题6.0分)
解不等式组2x−4≥3(x−2)3x−12
如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，求证：BM=CN．
20. (本小题8.0分)
某校为了提高学生学习数学的兴趣，举办了数学竞赛活动，从八年级随机抽取了m名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
数据分成5组，
A：100≤x<110，B：110≤x<120，C：120
120，122，127，123，128，125，126，123，127，128，125，128，129，129
请结合以上信息，回答下列问题：
(1)m= ______ ，并补全频数分布直方图；
(2)C组数据的众数是______ ，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______ ；
(3)B组对应的扇形圆心角为______ 度；
(4)八年级学生参加竞赛的有300人，请你估计八年级竞赛成绩120分及以上的学生人数．
21. (本小题8.0分)
如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山顶A的仰角为45°，沿BC方向前行34米至点D处，斜坡DE的坡比为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为8米，点B、D、C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．
(1)求斜坡DE的水平宽度DF的长；
(2)求山体AC的高度大约为多少米．
(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60， 2≈1.41)
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.DE⊥AC．
(1)求证：AB=AC；
(2)若⊙O的直径为13，BC=24，求DE的长．
23. (本小题10.0分)
某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完.于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的54，购进单价比第一次上涨了20元．
(1)第一批和第二批服装的购进单价各是多少？
(2)商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？
24. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=12x+b的图象与x轴交于点A(−2,0)，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点E(a,2)，过直线AE上的点B作BC⊥x轴于点C，与反比例函数交于点D(m,1)，连接AD，DE．
(1)求k的值与B点坐标；
(2)求S△ADE；
(3)若点P是直线AB上的动点，是否存在点P，使得△BCP与△BDE相似？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题12.0分)
某校数学兴趣小组对图形的旋转问题进行了深入探究．
专题探究
已知△ABC中，∠BAC=α(0°<α<180°)，AB=AC，点M是线段AC上的一点，N是线段BC上的点，NQ//BA，交AC于点Q，将线段MN绕点M顺时针旋转α度，得到线段MP，连接PN，PC．
(1)如图1，当α=60°时，直接写出线段PC与MQ的数量关系______ ；
(2)如图2，当α=120°时，判断线段PC与MQ的数量关系，并给出证明；
变式应用
(3)如图3，在△A′B′C′中，∠B′A′C′=90°，∠A′B′C′=60°，A′B′=6，M是B′C′上的任意一点，连接A′M，将A′M绕点A′按顺时针方向旋转90°，得到线段A′N，连接B′N.求线段B′N的最小值．
26. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点A(0,4)，并经过点C(6,0)，抛物线的对称轴为直线x=2，过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，点D的坐标为(4,0)，连接AD，BD．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E从A出发，以每秒 2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形FGEH.当点G随着E点运动到达抛物线上时，求此时m的值；
(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C为顶点的三角形是直角三角形，如果存在，请求出G点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为4的平方是16，
所以16的算术平方根是4．
故选：A．
此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．
2.【答案】C
【解析】解：A、长方体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项符合题意；
D、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆(带圆心)，故此选项不符合题意．
故选：C．
直接利用主视图以及俯视图的观察角度不同分别得出几何体的视图进而得出答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：97万用科学记数法可表示为9.7×105．
故选：B．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PQ//OB，
∴∠QPO=∠BOC，
∴∠AOC=∠QPO，
∴OQ=PQ=2．
故选：D．
根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠AOC=∠QPO，由等腰三角形的判定即可求出OQ．
本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠AOC=∠QPO，熟练掌握等腰三角形的判定是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、是轴对称图形，因为沿着过原点的直线，对折后能完全重合；也是中心对称图形，因为旋转后可与原图重合，故错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形．故正确；
D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6.【答案】A
【解析】解：∵a+b=0，
∴b=−a．
根据数轴可知：a
∴|a−b|=−a+b=−a−a=−2a=8，解得a=−4．
故选：A．
根据题干中a+b=0，得出a与b互为相反数：b=−a.有数轴得出a
7.【答案】C
【解析】解：A、极差为：83−28=55，故本选项错误；
B、∵58出现的次数最多，是2次，
∴众数为：58，故本选项错误；
C、中位数为：(58+58)÷2=58，故本选项正确；
D、每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六个月，故本选项错误；
故选：C．
根据统计图可得出最大值和最小值，即可求得极差；出现次数最多的数据是众数；将这8个数按大小顺序排列，中间两个数的平均数为中位数；每月阅读数量超过40的有2、3、4、5、7、8，共六个月．
本题是统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8.【答案】B
【解析】解：当m=n时，Δ=(−6)2−4k=0，
解得k=9，
∵m+n=6>5，
∴k=9满足条件；
当m=5时，5+n=6，5n=k，
解得n=1，k=5，
当n=m时，同理可得m=1，k=5，
综上所述，k的值为9或5．
故选：B．
讨论：当m=n时，利用判别式的意义得到Δ=(−6)2−4k=0，则k=9；当m=5时，根据根与系数的关系得5+n=6，5n=k，解得n=1，k=5；当n=5时，同理可得m=1，k=5．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了三角形三边的关系和根的判别式．
9.【答案】D
【解析】解：∵AE=2，AE=12CE，
∴CE=4，
∴AC=AE+EC=2+4=6，
由作图可知DE垂直平分线段BC，
∴EB=EC=4，
∵∠BAC=90°，
∴AB= BE2−AE2= 42−22=2 3，
∴BC= AB2+AC2= (2 3)2+42=2 7，
∵BD=CD，∠BAC=90°，
∴AD=12BC= 7．
故选：D．
利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜边中线定理求解．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得，
方程x2−2mx+m2−m+2=m，即x2−2mx+m2−2m+2=0有实数解，
∴Δ=(−2m)2−4(m2−2m+2)
=4m2−4m2+8m−8
=8m−8≥0，
解得m≥1，
∵1≤m≤3，
故选：B．
由题意得到Δ=(−2m)2−4(m2−2m+2)=8m−8≥0，解得m≥1，结合线段y=m(1≤m≤3)即可得出m的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握函数与方程的关系．
11.【答案】(a+6)(a−6)
【解析】解：a2−36
=(a+6)(a−6)，
故答案为：(a+6)(a−6)．
利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，能准确应用公式法是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：∵由图可知，黑色方砖有3块，共有9块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值=39=13，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是13，
故答案为：13．
先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
13.【答案】4
【解析】解：根据题意得：x2−x−13=1，
去分母得：3x−2(x−1)=6，
去括号得：3x−2x+2=6，
移项得：3x−2x=6−2，
合并同类项得：x=4．
故答案为：4．
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：设甲仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数关系式为：y1=k1x+40，
根据题意得60k1+40=400，
解得k1=6，
∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数关系式为：y2=k2x+240，
根据题意得60k2+240=0，
解得k2=−4，
∴y2=−4x+240，
联立y=6x+40y=−4x+240，
解得x=20y=160，
∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：20．
分别求出甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键：(1)熟练运用待定系数法求解析式；(2)解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
15.【答案】14t2−14t+1
【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE=x=EM，则EA=2−x，
∵AE2+AM2=EM2，
∴(2−x)2+t2=x2，
解得x=t24+1，
∴DE=t24+1，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，
∴EF⊥DM，
∠ADM+∠DEF=90°，
∵EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG=90°，
∴∠ADM=∠FEG，
∴tan∠ADM=AMAD=t2=FG1，
∴FG=t2，
∵CG=DE=t24+1，
∴CF=t24−t2+1，
∴S四边形CDEF=12(CF+DE)×1=14t2−14t+1．
故答案为：14t2−14t+1．
连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．
16.【答案】(3035,1011)
【解析】解：由图象可得，奇数点的规律为：A1(2,0)，A3(5,1)，A5(8,2)…..A2n−1(3n−1,n−1)，
偶数点的规律为：A2(3,2)，A4(6,3)，A6(9,4)……A2n(3n,n+1)，
∵2023是奇数，即2n−1=2023，
∴n=1012，
∴A2023的坐标为(3035,1011)，
故答案为：(3035,1011)．
观察图形可得奇数点的规律为：A1(2,0)，A3(5,1)，A5(8,2)…..A2n−1(3n−1,n−1)，偶数点的规律为：A2(3,2)，A4(6,3)，A6(9,4)……A2n(3n,n+1)，根据规律求解即可．
本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键．
17.【答案】解：(14)−1+2sin45°−(3−π)0−|− 2|
=4+2× 22−1− 2
=4+ 2−1− 2
=3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：2x−4≥3(x−2)①3x−12
解不等式②，得x<3；
∴不等式组的解集是：x≤2；
它的非负整数解：0，1，2．
【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出它所有的非负整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
19.【答案】证明：连接DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，
∴CO=DO=12AC=12BD，
∵DM⊥AC，CN⊥BD，
∴∠DMO=∠CNO=90°，
∵∠AOD=∠COB，
∴△DMO≌△CNO(AAS)，
∴BM=CN．
【解析】利用矩形的对角线相等且互相平分得到OD=OC，然后证得△DMO≌△CNO即可证得结论．
本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，牢记矩形的性质是解答本题的关键．
20.【答案】50 128 127.5 72
【解析】解：(1)∵m=8÷16%=50，
∴B组的频数为50−6−14−12−8=10，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：50；
(2)根据C组数据可知众数是128，
抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是第25和第26个的数据的平均数127+1282=127.5；
故答案为：128，127.5；
(3)360°×1050=72°，
故答案为：72；
(4)300×14+12+850=204(人)，
答：估计八年级竞赛成绩120分及以上的学生人数是204人．
(1)根据E组的频数和百分比即可得出m的值，计算出B组的频数即可补全频数分布直方图；
(2)根据众数和中位数的定义即可得出答案；
(3)用360°乘以B组的百分比即可；
(4)用总人数乘以样本中120分及以上的人数所占比例即可．
本题考查频数(率)分布直方图、中位数、众数、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：过点E作EG⊥AC，垂足为G，
(1)∵EF⊥DC，
∴∠EFD=90°，
∵斜坡DE的坡比为1：2，
∴EFDF=12，
∵EF=8米，
∴DF=16米，
答：斜坡DE的水平宽度16米；
(2)∵∠B=45°，∠C=90°，
∴∠BAC=45°，
∴AC=BC，
∵∠EFC=∠C=∠CGE=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
设AC=BC=x，
∵BD=34，DF=16，
∴CF=EG=x−50，
∵CG=EF=8，
∴AG=x−8，
在Rt△AEG中，tan58°=AGEG≈1.6，
∴x−8x−50=1.6，
解得x=120，
经检验，x=120是方程的根，
答：山体AC的高度120米．
【解析】(1)根据坡度的定义即可得到DF=16米；
(2)根据三角形内角和定理得到∠BAC=45°，求得AC=BC，推出四边形EFCG是矩形，设AC=BC=x，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题；解直角三角形的应用−坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵DE⊥AC，
∴OD//AC，
∴∠ODB=∠ACB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(2)解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，AB=AC，
∴BD=CD，
∵⊙O的直径为13，BC=24，
∴AC=AB=13，CD=12，
∴AD= AB2−BD2=5，
∵S△ADC=12AD⋅DC=12AC⋅DE，
∴DE=5×1213=6013．
【解析】(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE.根据平行线的性质得到∠ODB=∠ACB.根据平行线的性质得到∠ODB=∠OBD.等量代换得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理即可得到AB=AC；
(2)连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，得到BD=CD，根据勾股定理得到AD= AB2−BD2= 132−122=5，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是(x+20)元，
由题意得：4800x×54=9000x+20，
解得：x=40，
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意，
∴x+20=60元，
答：第一批服装的购进单价是40元，第二批服装的购进单价是60元；
(2)第二批购进数量为：9000÷60=150(件)，
设第二批服装的售价定为m元，
由题意得：(150−40)m+40×0.8m−9000≥5200，
解得：m≥100，
答：第二批服装售价至少定为100元．
【解析】(1)设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是(x+20)元，根据第二次的服装数量是第一次服装数量的54，列出分式方程，解方程即可；
(2)设第二批服装的售价定为m元，根据第二批服装的利润不低于5200元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)将(−2,0)代入y=12x+b，得0=−1+b，
解得b=1，
将E(a,2)代入y=12x+1，
解得a=2，
∴E(2,2)，
将(2,2)代入y=kx，
解得k=4，
∴D(4,1)，
将x=4代入y=12x+1，
解得y=3，
∴B(4,3)；
(2)S△AED=S△ABC−S△BED−S△ACD=6×32−2×22−6×12=9−2−3=4；
(3)∵B(4,3)，D(4,1)，E(2,2)，
∴BD=2，BC=3，BE= 5，
①当△BCP∽△BDE时，BDBC=BEBP，
∴23= 5BP，
解得BP=3 52，
∵AB= 32+62=3 5，
∴AP=AB−BP=3 52，
∴yP=AP⋅sin∠BAC=3 52×1 5=32，
∴P(1,32)，
②当△BCP∽△BED时，BDBP=BEBC，
∴2BP= 53，
解得BP=6 55，
∴AP=3 5−6 55=9 55，
∴yP=AP⋅sin∠BAC=9 55×1 5=95，xP=85，
∴P(85,95)，
综上，当△BCP与△BDE相似时，P(1,32)或P(85,95)．
【解析】(1)将(−2,0)代入y=12x+b求得b=1，将E(a,2)代入y=12x+1，得到E(2,2)，将E(2,2)代入y=kx，求得D(4,1)，将x=4代入y=12x+1，即可得到结论；
(2)根据三角形 打麻将公式即可得到结论；
(3)①当△BCP∽△BDE时，列比例式求得BP=3 52，根据勾股定理得到AB= 32+62=3 5，求得AP=AB−BP=3 52，于是得到P(1,32)，②当△BCP∽△BED时，列比例式得到BP=6 55，求得AP=3 5−6 55=9 55，于是得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】PC=MQ
【解析】解：(1)∵当α=60°时，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵NQ//BA，
∴∠CQN=∠A=∠CNQ=∠B=60°，
∴△CNQ是等边三角形，
∴NC=NQ，
∵线段MN绕点M顺时针旋转60°，得到线段MP，
∴△MNP是等边三角形，
∴NP=NM，∠MNP=60°，
∵∠MNP=∠CNQ=60°，
∴∠MNQ=∠CNP，
在△NMQ和△NPC中，
NP=NM∠MNQ=∠CNPNC=NQ，
∴△NMQ≌△NPC(SAS)，
∴PC=MQ；
故答案为：PC=MQ；
(2)PC= 3MQ；
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，NQ//BA，
∴NQ=QC，∠NQC=∠BAC=120°，∠QNC=∠QCN=30°，
∵线段MN绕点M顺时针旋转α度，得到线段MP，α=120°，
∴MN=MP，∠MNP=∠MPN=30°，
∴∠MNP−∠QNP=∠QNC−∠QNP，
∴∠MNQ=∠PNC，NQNC=MNNP=1 3，
∴△MNQ∽△PNC，
∴PCMQ= 3，
即PC= 3MQ；
(3)∵∠B′A′C′=∠MA′N=90°，∠B′A′C′=90°，∠A′B′C′=60°，A′B′=6，
∴∠NA′B′=∠MA′C′，
∵A′B′=6，∠A′B′C′=60°，
∴∠C′=30°，A′C′=6 3，在线段A′C′上截取A′P=A′B′，连接MP，
∴△NA′B≌△PAM(SAS)，
∴B′N=MP，
∴当MP的值最小时，B′N的值最小，
作PH⊥B′C′于H，
在Rt△PHC′中，
∵∠C′=30°，PC′=A′C′−A′P=6 3−6，
∴PH=3 3−3，
根据垂线段最短可知，
当点M与H重合时，PM的值最小，
即B′N的值最小，
∴B′N的最小值为3 3−3．
(1)根据条件判定△ABC、△MNP、△NCQ都是等边三角形，易证△NMQ≌△NPC，根据全等三角形的性质即可求出线段PC与MQ的数量关系；
(2)根据已知条件和旋转的性质推出判定MNQ∽△PNC的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出线段PC与MQ的数量关系；
(3)在线段A′C′上截取A′P=A′B′，连接MP，易得△NA′B≌△PAM，当MP的值最小时，B′N的值最小，作PH⊥B′C′于H，根据垂线段最短可知当点M与H重合时，PM的值最小，即B′N的值最小，求出最小值即可．
本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线过点(6,0)，对称轴为直线x=2，
∴与x轴另一个交点为(−2,0)，
设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−6)，
将A(0,4)代入，−12a=4，
解得：a=−13，
∴y=−13(x+2)(x−6)，
∴抛物线的解析式为y=−13x2+43x+4；
(2)∵B(4,4)，A(0,4)，D(4,0)，
∴AB=4，BD=4，AD=4 2，
∴AD2=AB2+BD2，AB=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=45°，
∵EF⊥AB，
∴△AFE是等腰直角三角形，
由题意得AE=2m，则AF=EF=m，
连接HG与EF交于I，在正方形EGFH中，FI=GI=12EF=12m，
则xG=32m，yG=4−12m，
∴G(32m,4−12m)，
将G点坐标代入y=−13x2+43x+4中，
整理得：3m2−10m=0，
解得：m=0(舍)或m=103，
∴m=103时，G点能到达抛物线；
(3)存在以B，G，C为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵B(4,4)，C(6,0)，G(32m,4−12m)，
∴BC2=20，BG2=52m2−12m+16，CG2=52m2−22m+52，
①当BG2+BC2=CG2时，52m2−12m+16+20=52m2−22m+52，
解得：m=85，
此时G(125,165)，
②当BG2+CG2=BC2时，52m2−12m+16+52m2−22m+52=20，
整理得：5m2−34m+48=0，
解得：m=2或m=245，
此时G(3,3)或(365,85)；
③当CG2+BC2=BG2时，52m2−22m+52+20=52m2−12m+16，
解得：m=285，
此时G(425,65)
综上所述：点G的坐标是(125,165)或(3,3)或(365,85)或(425,65).
【解析】(1)根据题意求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−6)，将点A代入求出a的值即可求函数的解析式；
(2)利用勾股定理逆定理判定出△ABD是等腰直角三角形，则可得△AFE是等腰直角三角形，由题意得AE=2m，则AF=EF=m，连接HG与EF交于I，在正方形EGFH中，FI=GI=12EF=12m，从而确定G(32m,4−12m)，将G点坐标代入y=−13x2+43x+4中，求出m的值即可；
(3)根据题意求出BC2=20，BG2=52m2−12m+16，CG2=52m2−22m+52，再根据斜边分三种情况讨论建立方程求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理及逆定理的应用，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
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