2021年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷

这是一份2021年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）25的算术平方根是（　　）
A．5 B．±5 C．± D．
2．（3分）如图是棱长为4的正方体截去棱长为2的正方体得到的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）国家卫健委表示，重点人群新冠病毒疫苗接种工作顺利推进，截至2021年2月9日24时，全国累计报告接种4052万剂次．将数字4052万用科学记数法表示为（　　）
A．0.4052×104 B．4.052×103 C．4.052×106 D．4.052×107
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（1+2a）2＝1+2a+4a2 B．a2+a3＝a5
C．（2a3）3＝6a9 D．a3•（﹣a）5＝﹣a8
5．（3分）现在道路上的车辆是越来越多了，如果没有交通规则约束和交通标志指示，那么路上的车辆一定是混杂堵塞，所以开车时一定要看清标志，文明驾车．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠ACB＝40°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π
7．（3分）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β＝180° B．∠β﹣∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．∠α+∠β＝90°
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1 C．k＜且k≠1 D．k＞
9．（3分）函数y＝kx﹣k与y＝在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，锐角△ABC内接于⊙O，I为△ABC内心，已知∠OAB＝50°，则∠AIB的度数为（　　）

A．110° B．125° C．130° D．135°
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，8），OB的垂直平分线分别交BC、OA于点D、E，过点D的反比例函数y＝（x＞0）的图象交AB于点F，连接OD，在反比例函数图象上存在点P，使∠ODP为直角，则点P的坐标为（　　）

A．（2，6） B．（，） C．（3，4） D．（1，12）
12．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣5，最大值为4，则m的取值范围是（　　）
A．1≤m≤3 B．3≤m≤5 C．3≤m≤6 D．m≥3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请直接填写答案）
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
14．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸出白球的概率是，则白球的个数是 　 　．
15．（3分）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的内角和是 　 　．
16．（3分）一个圆锥的侧面积是底面积的5倍，把它的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是 　 　．
17．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为 　 　．
18．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，BC＝4，E是BC的中点．将AB沿AE翻折，使点B落在AD边的B'处，AE为折痕，再将B′D沿B′G翻折，使点D恰好落在线段AC上的点F处，B'G为折痕，则tan∠FB′E＝　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．（8分）（1）+（）﹣1﹣tan45°﹣（2021﹣）0；
（2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a满足|a|＝1．
20．（8分）为了解学生“最喜欢的出行方式”的情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行随机调查，并根据调查统计结果绘制了如下统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）请求出被随机调查的学生中，乘车的有多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）求“骑车”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全年级共有1200名学生，请估计乘车的学生人数．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D．过点D作⊙O的切线交AB于点P．
（1）求证：DP⊥AB；
（2）若⊙O的半径为6.5，BC＝10．求DP的长．

22．（8分）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．
（1）求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；
（2）依据他们测量的数据求出大树BC的高度．
（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）

23．（10分）2020年我国新型冠状病毒肺炎疫情防控工作进入常态化，某社区为检测出入小区人员体温情况，特采购了一批测温枪，已知1支A型号测温枪和2支B型号测温枪共需380元，2支A型号测温枪和3支B型号测温枪共需610元．
（1）两种型号的测温枪的单价各是多少元？
（2）已知该社区需要采购两种型号的测温枪共40支，且A型号的数量不超过B型号的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．（12分）如图1，△OAB和△OMN都是等腰三角形，∠O＝30°．
（1）观察发现
请直接写出：的值是 　 　，的值是 　 　；
（2）问题探究
如图2，△OAB固定不动，将△OMN绕着点O自由旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），连接BN和AM．的值改变吗？请说明理由；
（3）问题拓展
△OAB固定不动，若OA＝2，OM＝3．当△OMN绕着点O在自由旋转过程中，点M、B、N在同一条直线上时，求出线段AM的长度．

25．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；
（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．


2021年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）25的算术平方根是（　　）
A．5 B．±5 C．± D．
【分析】根据算术平方根的定义即可解决问题．
【解答】解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是5，
故选：A．
2．（3分）如图是棱长为4的正方体截去棱长为2的正方体得到的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形的内部右下角是一个较小的正方形．
故选：D．
3．（3分）国家卫健委表示，重点人群新冠病毒疫苗接种工作顺利推进，截至2021年2月9日24时，全国累计报告接种4052万剂次．将数字4052万用科学记数法表示为（　　）
A．0.4052×104 B．4.052×103 C．4.052×106 D．4.052×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：4052万＝40520000＝4.052×107，
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（1+2a）2＝1+2a+4a2 B．a2+a3＝a5
C．（2a3）3＝6a9 D．a3•（﹣a）5＝﹣a8
【分析】分别根据完全平方公式，合并同类项，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．（1+2a）2＝1+4a+4a2，故本选项不合题意；
B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（2a3）3＝8a9，故本选项不合题意；
D．a3•（﹣a）5＝﹣a8，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）现在道路上的车辆是越来越多了，如果没有交通规则约束和交通标志指示，那么路上的车辆一定是混杂堵塞，所以开车时一定要看清标志，文明驾车．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
6．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠ACB＝40°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π
【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB＝80°，可根据扇形面积公式直接求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵在⊙O上，∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°，
∴S阴影＝＝2π，
故选：B．
7．（3分）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β＝180° B．∠β﹣∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．∠α+∠β＝90°
【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，于是得到结论．
【解答】解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠α+180°﹣∠β＝90°，
∴∠β﹣∠α＝90°，
故选：B．

8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1 C．k＜且k≠1 D．k＞
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤且k≠1．
故选：B．
9．（3分）函数y＝kx﹣k与y＝在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分k＞0及k＜0两种情况考虑，根据一次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y＝的图象在二、四象限，
当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象在一、三象限，
∴A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
10．（3分）如图，锐角△ABC内接于⊙O，I为△ABC内心，已知∠OAB＝50°，则∠AIB的度数为（　　）

A．110° B．125° C．130° D．135°
【分析】根据OA＝OB，得∠O＝80°，则∠C＝40°，由I为△ABC内心，得AI、BI为∠CAB、∠CBA的平分线，则有∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝（180°﹣∠C）＝70°，即可解决问题．
【解答】解：连接OB，

∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠O＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝80°，
∴∠C＝40°，
∵I为△ABC内心，
∴AI、BI为∠CAB、∠CBA的平分线，
∴∠IAB＝，∠IBA＝，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝（180°﹣∠C）＝70°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，8），OB的垂直平分线分别交BC、OA于点D、E，过点D的反比例函数y＝（x＞0）的图象交AB于点F，连接OD，在反比例函数图象上存在点P，使∠ODP为直角，则点P的坐标为（　　）

A．（2，6） B．（，） C．（3，4） D．（1，12）
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD＝OD，求得OC＝4，BC＝8．设BD＝OD＝x，则CD＝8﹣x，根据勾股定理列方程求得x＝5．得到点D（4，3）．将点D的坐标代入y＝中，求得k＝12，设P（m，），求得PQ＝4﹣m，DQ＝﹣3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE垂直平分OB，
∴BD＝OD，
∵B（4，8），
∴OC＝4，BC＝8．
设BD＝OD＝x，则CD＝8﹣x，
∵四边形OABC矩形，
∴∠C＝90°．
在Rt△OCD中，OD2＝CD2+OC2．即 x2＝（8﹣x）2+42．
解得x＝5，
∴CD＝8﹣5＝3，．
∴点D（4，3）．
将点D的坐标代入y＝（x＞0）中，
解得：k＝4×3＝12．
∴反比例函数表达式为y＝，
∵P点在反比例函数图象上，
∴设P（m，），
过P作PQ⊥BC于Q，
∴PQ＝4﹣m，DQ＝﹣3，
∵∠ODP＝90°，
∴∠PDQ+∠CDO＝90°，
∵∠CDO+∠COD＝90°，
∴∠PDQ＝∠COD，
∴△DQP∽△OCD，
∴，
∴，
解得：m＝，m＝4（不合题意舍去），
∴P（，），
故选：B．

12．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣5，最大值为4，则m的取值范围是（　　）
A．1≤m≤3 B．3≤m≤5 C．3≤m≤6 D．m≥3
【分析】根据二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个完美点可求出a的值，再根据函数的解析式可求m的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，
设完美点的坐标为（n，n），
∴方程n＝an2+6n﹣即an2+5n﹣＝0有两个相等的实数根，
∴△＝52﹣4a×（﹣）＝0，
∴a＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+6x﹣5的解析式为：y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴当x＝3时，函数有最大值为4，
又∵当0≤x≤m时，函数最小值为﹣5，
令﹣x2+6x﹣5＝﹣5，
则x＝0或6，
∴要使函数最小值为﹣5，最大值为4，
则3≤m≤6，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请直接填写答案）
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥﹣1且x≠0　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
14．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸出白球的概率是，则白球的个数是 　6　．
【分析】设白球有x个，根据概率公式列出方程求得答案即可．
【解答】解：设有白球x个，
根据题意得：，
解得：x＝6，
经检验x＝6是原方程的解，
故答案为：6．
15．（3分）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的内角和是 　1800°　．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以先求出多边形的边数．再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出多边形的内角和．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，
∴多边形的边数为360°÷30°＝12，
∴这个多边形的内角和＝180°×（12﹣2）＝1800°．
故答案为：1800°．
16．（3分）一个圆锥的侧面积是底面积的5倍，把它的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是 　72°　．
【分析】根据圆锥侧面积是底面积的2倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，进而根据圆锥的弧长等于底面周长得到圆锥的侧面展开图的圆心角．
【解答】解：设母线长为a，底面半径为r，则底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积＝πar．
∵侧面积是底面积的5倍，
∴a＝5r．
设圆心角为n．
∴＝2πr＝πa，
∴n＝72°，
故答案为：72°．
17．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为 　m≤1　．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：解不等式＜，得：x＞4，
∵不等式组无解，
∴4m≤4，
解得m≤1，
故答案为m≤1．
18．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，BC＝4，E是BC的中点．将AB沿AE翻折，使点B落在AD边的B'处，AE为折痕，再将B′D沿B′G翻折，使点D恰好落在线段AC上的点F处，B'G为折痕，则tan∠FB′E＝　　．

【分析】延长B′F交EC于点H，连接GH，由翻折可得：四边形ABEB′是正方形，△B′DG≌△B′FG，四边形B′ECD是正方形；通过说明B′G∥AC，得到B′G是△DAC的中位线，可得DG＝GC，进而能证明Rt△GFH≌Rt△GCH，设FH＝HC＝x，则B′H＝2+x，EH＝2﹣x，
由勾股定理可求EH，在Rt△B′EH中利用正切的意义可得结论．
【解答】解：延长B′F交EC于点H，连接GH，如图，

∵矩形纸片ABCD中，BC＝4，E是BC的中点，
∴BE＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．
∵将AB沿AE翻折，使点B落在AD边的B'处，AE为折痕，
∴△AB′E≌△ABE，
∴四边形ABEB′是正方形．
∴B′E＝BE＝2，∠AB′E＝∠B′EC＝90°，AB′＝BE＝2．
∴四边形B′ECD是正方形．
∴B′D＝BE＝2．
∵将B′D沿B′G翻折，使点D恰好落在线段AC上的点F处，B'G为折痕，
∴△B′DG≌△B′FG．
∴∠DB′G＝∠FB′G＝∠DB′F，B′F＝B′D＝2，DG＝GF．
∴AB′＝B′F，
∴∠B′AF＝∠B′FA，
∵∠DB′F＝∠B′AF+∠B′FA，
∴∠DB′G＝∠B′AF．
∴B′G∥AC．
∵AB′＝B′D，
∴DG＝GC＝CD＝1．
∴GF＝CG＝1．
∵△B′DG≌△B′FG，
∴∠B′FG＝∠D＝90°，
∴∠GFH＝90°．
在Rt△GFH和Rt△GCH中，
，
∴Rt△GFH≌Rt△GCH（HL）．
∴FH＝HC．
设FH＝HC＝x，则B′H＝2+x，EH＝2﹣x，
在Rt△B′EH中，
∵B′E2+EH2＝B′H2，
∴22+（2﹣x）2＝（x+2）2．
解得：x＝．
∴EH＝2﹣．
∴tan∠FB′E＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．（8分）（1）+（）﹣1﹣tan45°﹣（2021﹣）0；
（2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a满足|a|＝1．
【分析】（1）先计算立方根、负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣1﹣1
＝2；

（2）原式＝[﹣]÷
＝•
＝﹣•
＝﹣，
∵|a|＝1且a+1≠0，
∴a＝1，
则原式＝﹣＝3．
20．（8分）为了解学生“最喜欢的出行方式”的情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行随机调查，并根据调查统计结果绘制了如下统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）请求出被随机调查的学生中，乘车的有多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）求“骑车”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全年级共有1200名学生，请估计乘车的学生人数．
【分析】（1）根据步行的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它出行的人数求出乘车的人数；
（2）根据（1）求出的乘车的人数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以“骑车”所占的百分比即可；
（4）用全年级的总人数乘以车的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的学生总人数有：30÷15%＝200（人）；
乘车的有：200﹣30﹣80＝90（人）；

（2）根据（1）补图如下：


（3）“骑车”部分所对应的圆心角的度数：360°×＝144°；

（4）1200×＝540（人），
答：乘车的学生人数有540人．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D．过点D作⊙O的切线交AB于点P．
（1）求证：DP⊥AB；
（2）若⊙O的半径为6.5，BC＝10．求DP的长．

【分析】（1）连接AD，连接OD，由圆周角定理得到∠ADC＝90°，由等腰三角形三线合一定理证得BD＝CD，由切线的性质证得∠ODP＝90°，再由三角形中位线定理结合平行线的性质即可推出结论；
（2）先在Rt△ABD中，根据勾股定理求出AD，再根据三角形的面积公式求出DP．
【解答】证明：（1）连接AD，连接OD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD（等腰三角形三线合一），
∵OA＝OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∴∠APD+∠ODP＝180°，
∵DP是⊙O的切线，
∴∠ODP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴DP⊥AB；
（2）解：∵⊙O的半径是6.5，
∴AC＝AB＝13，
∵BC＝10，
∴BD＝CD＝5，
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝12，
∵AB•DP＝BD•AD＝S△ABD，
∴13DP＝5×12，
∴DP＝．

22．（8分）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．
（1）求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；
（2）依据他们测量的数据求出大树BC的高度．
（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）

【分析】（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；
（2）过点D作DG⊥BC于点G，设BC＝x米，用x表示出BG、DG，根据tan∠BDG＝列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）作DH⊥AE于H，如图所示：
在Rt△ADH中，∵＝，
∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴（2DH）2+DH2＝（6）2，
∴DH＝6（米）．
答：乙同学从点A到点D的过程中，他上升的高度为6米；

（2）如图所示：过点D作DG⊥BC于点G，设BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝x米，
由（1）得AH＝2DH＝12米，
在矩形DGCH中，DH＝CG＝6米，DG＝CH＝AH+AC＝（x+12）米，
在Rt△BDG中，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝（x﹣6）米，
∵tan∠BDG＝，
∴≈0.5，
解得：x≈24米，
答：大树的高度约为24米．

23．（10分）2020年我国新型冠状病毒肺炎疫情防控工作进入常态化，某社区为检测出入小区人员体温情况，特采购了一批测温枪，已知1支A型号测温枪和2支B型号测温枪共需380元，2支A型号测温枪和3支B型号测温枪共需610元．
（1）两种型号的测温枪的单价各是多少元？
（2）已知该社区需要采购两种型号的测温枪共40支，且A型号的数量不超过B型号的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A种型号的测温枪的单价是x元，B种型号的测温枪的单价是y元，根据1支A型号测温枪和2支B型号测温枪共需380元，2支A型号测温枪和3支B型号测温枪共需610元，列出关于x，y的二元一次方程组即可；
（2）设购买A型号测温枪的数量为m支，则购买B型号测温枪的数量为（40﹣m）支，购买测温枪的总费用为w元，根据题意列出函数关系式，再根据A型号测温枪的数量不超过B型号测温枪的数量的3倍．得到m的取值范围，根据函数的性质求出购买方案和函数最值．
【解答】解：（1）设A型号测温枪的单价为x元，B型号测温枪的单价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：A型号测温枪的单价为80元，B型号测温枪的单价为150元；
（2）设购进A型号测温枪m支，则购进B型号测温枪（40﹣m）支，
依题意，得：m≤3（40﹣m），
解得：m≤30，
设本次采购所花总金额为w元，则80m+150（40﹣m）＝﹣70m+6000，
∵﹣70＜0，∴w值随m值的增大而减小，
∴当m＝30时，w取得最小值，最小值为3900，
∴当购进30支A型号测温枪、10支B型号测温枪时，所花费用最少，最少费用为3900元．
24．（12分）如图1，△OAB和△OMN都是等腰三角形，∠O＝30°．
（1）观察发现
请直接写出：的值是 　　，的值是 　　；
（2）问题探究
如图2，△OAB固定不动，将△OMN绕着点O自由旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），连接BN和AM．的值改变吗？请说明理由；
（3）问题拓展
△OAB固定不动，若OA＝2，OM＝3．当△OMN绕着点O在自由旋转过程中，点M、B、N在同一条直线上时，求出线段AM的长度．

【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥OB于H，过点M作MT垂直ON于T．利用直角三角形30°角的性质解决问题即可．
（2）的值不变，利用相似三角形的性质证明即可．
（3）分两种情形：第一种情况，当△OMN旋转到图3﹣1位置时，过点B作BH⊥ON于点H．第二种情况，当△OMN旋转到图3﹣2位置时，过点O作OH⊥BN于点H．分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥OB于H，过点M作MT垂直ON于T．

∵AO＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝HB，
∵∠O＝30°，
∴OH＝HB＝OA•cos30°＝OA，
∴OB＝OA，
同法可证，OT＝TN＝OM，ON＝OM，
∴＝，＝＝＝，
故答案为：，．

（2）的值不变，理由如下：
∵OA＝AB，OM＝MN，∠OAOB＝30°，
∴，
∵∠AOB＝∠NOM＝30°，
∴∠AOB+∠AON＝∠NOM+∠AON，
∴∠BON＝∠AOM，
∴△BON∽△AOM，
∴．

（3）第一种情况，当△OMN旋转到图3﹣1位置时，过点B作BH⊥ON于点H．

∵OA＝2，OM＝3，∠AOB＝∠MNO＝30°，
∴OB＝，ON＝，
设BH＝x，则HN＝，
OH＝ON﹣HN＝，
在Rt△BOH中，BH2+OH2＝OB2，
∴，
∴（舍去），，
∴BN＝2BH＝，
∵，
∴AM＝．
第二种情况，当△OMN旋转到图3﹣2位置时，过点O作OH⊥BN于点H．

∵∠ONH＝30°，
∴∠OMH＝2∠N＝60°，
∵OM＝MN＝3，
∴，，
∵OA＝AB＝2，OM＝MN＝3，
∴，
在Rt△OHB中，，
∴BN＝MN+MH+BH＝3+，
∵，
∴，
综上所述：AM的长为或．
25．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；
（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．

【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），将C（0，﹣3）代入，即可求得二次函数解析式；
（2）如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．利用待定系数法求出直线BE的解析式，根据抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T（0，t）旋转180°，可得四边形BEB′E′是平行四边形，运用平行四边形性质即可求得答案；
（3）设P（x，﹣x2﹣4x﹣3），根据以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况分别讨论即可：①当∠BP1C＝90°时，③当∠P3BC＝90°时，③当∠P3BC＝90°时，④当∠BCP4＝90°时．
【解答】解：（1）∵二次函数过点A（﹣1，0），B（﹣3，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），
将C（0，﹣3）代入，得：3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．
由（1）得y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，
∴抛物线顶点E（﹣2，1），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵B（﹣3，0），E（﹣2，1），
∴，
解得：，
∴直线BE的解析式为：y＝x+3，
∴Q（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T（0，t）旋转180°，
∴TB＝TB′，TE＝TE′，
∴四边形BEB′E′是平行四边形，
∴S△BET＝S四边形BEB′E′＝×12＝3，
∵S△BET＝S△BQT﹣S△EQT＝×（3﹣2）×TQ＝TQ，
∴TQ＝6，
∴3﹣t＝6，
∴t＝﹣3；
（3）设P（x，﹣x2﹣4x﹣3），
①当∠BP1C＝90°时，∠N1P1B＝∠P1CE，
∴tan∠N1P1B＝tan∠P1CE，
∴＝，
∵BN1＝﹣x2﹣4x﹣3，P1N1＝x+3，P1E＝﹣x，EC＝﹣x2﹣4x，
∴＝，
化简得：x2+5x+5＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
②当∠BP2C＝90°时，同理可得：x2+5x+5＝0，
解得：x1＝（舍去），x2＝，
∴M点的坐标为（，﹣3）或（，﹣3），
③当∠P3BC＝90°时，由△BM3C是等腰直角三角形，
得：△N3BP3也是等腰直角三角形，
∴N3B＝N3P3，
∴﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，
化简得：x2+5x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3（舍去），
∴M点的坐标为（﹣2，﹣3）；
④当∠BCP4＝90°时，由△BOC是等腰直角三角形，可得△N4P4C也是等腰直角三角形，
∴P4N4＝CN4，
∴﹣x＝﹣3﹣（﹣x2﹣4x﹣3），
化简得：x2+5x＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去），
∴M点的坐标为（﹣5，﹣3），
综上所述：满足条件的M点的坐标为（，﹣3）或（，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣5，﹣3）．



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