第七章 万有引力与宇宙航行【思维导图+考点通关】-2022-2023学年高一物理单元复习（人教版2019必修第二册）

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第七章 万有引力与宇宙航行
一、思维导图

二、考点通关
考点1行星的运动
项目
定律
内容
图示
意义
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化。解决了行星绕太阳运动的速度大小问题
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等

表明了行星公转周期与轨道半长轴间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短
2．行星运动的近似处理
实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。这样就可以说：
(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
(3)所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k。
注：处理行星绕太阳(恒星)的运动问题时，根据题意判断行星轨道是需要按椭圆轨道处理，还是按圆轨道处理，当题中说法是轨道半径时，则可按圆轨道处理。
【典例1】“墨子号”是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国在量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球E运动的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上。轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔的位置。则下列说法正确的是(　　)

A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于其在B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
【答案】C
【解析】根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，A错误；根据开普勒第二定律，卫星在A点、B点经过很短的时间Δt，卫星与地球连线扫过的面积SA＝SB，由于时间Δt很短，则这两个图形均可看作扇形，则vAΔt·rA＝vBΔt·rB，且知rAvB，B错误；根据开普勒第三定律：所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即＝k，整理可得T2＝a3＝Ca3，其中C＝，为常数，a为椭圆半长轴，故C正确，D错误。
规律点拨
(1)行星绕太阳运行的轨道严格来说不是圆而是椭圆，行星与太阳间的距离是不断变化的。不同行星轨道半长轴不同，即各行星的椭圆轨道不同，但太阳是所有椭圆轨道的共同焦点。
(2)同一行星，当其离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小。近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，同一行星在近日点时速度最大，在远日点时速度最小。
(3)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于行星绕其他恒星的运动，还适用于卫星绕行星的运动。其中公式＝k，对于同一中心天体，k的数值相同；对于不同的中心天体，k的数值不同。
【变式训练1】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】C
【解析】根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，A错误；根据开普勒第二定律可知，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，可推知行星的运行速度大小是变化的，B、D错误；根据开普勒第三定律可知，火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，C正确。
考点2万有引力定律
1．万有引力定律
F＝G，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。
测定G值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。
2．万有引力的特点
普适性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在彼此上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力的作用不可忽略
3．应用公式F＝G的注意事项
(1)求两个质点间的万有引力，或者当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，此时公式中的r表示两质点间的距离。
(2)求两个质量分布均匀的球体间的万有引力时，公式中的r为两个球心间的距离。
(3)求一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力时，r指质点到球心的距离。
(4)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。
【典例2】（多选）下列说法正确的是(　　)
A．万有引力定律F＝G适用于两质点间的作用力计算
B．据F＝G，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大
C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝G
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离
【答案】AD
【解析】万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力，故A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B错误；若大小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m的引力合力为零，故C错误。
【变式训练2】如有两艘轮船，质量都是1.0×107 kg，相距10 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则它们之间的万有引力的大小为(　　)
A．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略
B．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略
C．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略
D．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略
【答案】A
【解析】根据万有引力定律可得两艘轮船之间的万有引力
F＝＝6.67×10－5N，相比于船自身重力G＝Mg＝1.0×107×9.8N＝9.8×107N，该引力可以忽略，A正确，B、C、D错误。
考点3万有引力与重力的关系
1．万有引力和重力的关系
如图，地球对物体的万有引力F＝G可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。所以重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg≤G，重力的方向可能偏离地心。

2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上，F＝Fn＋mg，即G＝mω2r＋mg，所以mg＝G－mω2r。地球上任何一点自转的角速度都相等，同一物体赤道上的转动半径最大，需要的向心力最大，故物体在赤道上的重力是最小的。
(2)两极处：因为向心力为零，所以mg＝F＝G，故物体在两极处的重力是最大的。
3．重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G。若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝＝g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
【典例3】火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)，
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
【答案】(1)222.2N；(2)3.375m
【解析】(1)在地球表面有mg＝G
在火星表面上有mg′＝G
代入数据，联立解得g′＝ m/s2
则宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50× N≈222.2N。
(2)宇航员在地球表面能跳起的高度H＝
宇航员在火星表面能跳起的高度h＝
联立并代入数据解得h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。
【变式训练3】某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由万有引力定律得物体在“两极”处有G＝1.1mg，在赤道处有G－mg＝mω2R，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝，B正确，A、C、D错误。
考点4天体质量和密度的计算
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
G＝m
M＝
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)绕中心天体运动的线速度、角速度和周期
G＝mω2r
M＝
G＝mr
M＝
2．天体密度的计算
方法一：若天体的半径为R，由“重力加速度法”可知天体的质量为M＝，那么由ρ＝及V＝πR3求得天体的密度ρ＝。
方法二：若中心天体的半径为R，由“环绕法”可知中心天体的质量M＝(r、T为环绕天体的轨道半径和公转周期)，那么由ρ＝及V＝πR3求得中心天体的密度ρ＝。当行星(或卫星)环绕中心天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。ρ＝给出了一种简单地求中心天体密度的方法，但是要注意这里的T是环绕中心天体表面运动时对应的周期，而不是在其他轨道上运动时的周期，也不是随中心天体自转的周期。
　注意区分R、r、h的意义，一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星(或卫星)的轨道半径，h指卫星距离行星表面的高度，r＝R＋h。
【典例4】土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)(　　)
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg
【答案】BD
【解析】土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：G＝mr，解得M＝。其中r为外缘颗粒的轨道半径，大小为1.4×105 km，T为外缘颗粒绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得：M≈6.4×1026 kg，D正确。

【变式训练4】(多选)2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)(　　)

A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
【答案】ACD
【解析】
由ρ＝，V＝π3，得ρ＝，D正确；由G＝mg0，ρ＝，V＝π3，联立解得ρ＝，A正确；根据万有引力定律得G＝mR，可得火星质量M＝，又火星的体积V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝＝，C正确。
规律总结：
利用环绕法只能求中心天体质量，而不能求环绕中心天体运行的卫星(或行星)的质量。
考点5天体运动中各物理量与轨道半径的关系
1．天体运动的分析与计算
(1)基本思路：行星绕太阳的运动和卫星绕地球的运动一般情况可看作匀速圆周运动，所需向心力由太阳或地球这样的中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向。
(2)常用关系：①G＝ma＝m＝mω2r＝mr。②忽略自转时，G＝mg(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：GM＝gR2，该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM不知道时，可以用gR2来代换GM。
2．天体运动中的各物理量与轨道半径的关系
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由G＝m得v＝，r越大，v越小。
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。
(3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大。
(4)由G＝ma得a＝，r越大，a越小。
以上结论可总结为：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越远越慢(即：r越大，v、ω、a越小，T越大)”。
【典例5】人造地球卫星在运行中，由于受到稀薄大气的阻力作用，其运动轨道半径会逐渐减小，在此进程中，以下说法中正确的是(　　)
A．卫星的速率将变小
B．卫星的周期将增大
C．卫星的向心加速度将增大
D．卫星的角速度将变小
【答案】C
【解析】当卫星的轨道半径逐渐变小时，在较短时间内卫星仍可看作做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有Fn＝G＝man＝m＝mr＝mrω2，解得v＝ 、T＝ 、an＝、ω＝ 。由此可知，当卫星的轨道半径逐渐变小时，卫星的速率将变大，周期将减小，向心加速度将增大，角速度将增大，故A、B、D错误，C正确。
【变式训练5】(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是(　　)
A．若v2∝R，则外层的环是土星的卫星群
B．若v∝R，则外层的环是土星的一部分
C．若v∝，则外层的环是土星的一部分
D．若v2∝，则外层的环是土星的卫星群
【答案】BD
【解析】若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，则由G＝m，得v2∝，故A错误，D正确。
规律总结：
(1)由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化时，因半径变化缓慢，故卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。
(2)环绕同一中心天体运动的行星(或卫星)的线速度v、角速度ω、周期T、加速度a均由中心天体的质量及行星(或卫星)的轨道半径r确定。中心天体质量给定时，已知v、ω、T、a、r中的一个，即可求解出其他四个量。
考点6双星及多星问题
1．双星系统的特点
(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图)，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2。

(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
2．多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
【典例6】(多选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)

A．太阳的轨道半径为R＝L
B．木星的轨道半径为r＝L
C．这个“双星系统”运行的周期为T＝2πL
D．若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为T＝2πL
【答案】CD
【解析】双星角速度相等，运动周期相同，根据万有引力提供向心力，对太阳有＝m1R，对木星有＝m2r，其中L＝R＋r，联立解得R＝L，r＝L，T＝2πL ，故A、B错误，C正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，由万有引力提供向心力，有＝m2L，解得T＝2πL ，故D正确。
【变式训练6】双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成，科学家发现，该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设两恒星的质量均为m，两恒星之间的距离为l，根据万有引力提供向心力，则有＝m·，解得T理论＝πl ；设黑洞的质量为m′，同理有＋＝m·，解得T观测＝πl，又因为T理论＝kT观测，联立解得＝，故A正确，B、C、D错误。
规律总结：
木星的质量为M木＝1.8982×1027 kg，木星与太阳的平均距离为d木＝7.78×108 km，而太阳的质量为M日＝1.9891×1030 kg，半径为R日＝6.955×105 km，由此可算出木星与太阳组成的双星系统中，太阳的轨道半径为r日＝d木＝7.4×105 km≈R日≪d木，木星的轨道半径r木＝d木＝7.77×108 km≈d木，该双星系统的环绕中心几乎在太阳上，所以木星与太阳组成的系统可看成以太阳为中心的单星系统。由上述分析可知，双星系统中质量越大其轨道半径越小，因为木星的质量是太阳系其他行星质量之和的2.5倍，所以一般上可认为太阳系是单星系统。
考点7宇宙速度
1．对三种宇宙速度的理解
(1)第一宇宙速度：是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是人造地球卫星的最小发射速度，其大小为7.9 km/s。
(2)第二宇宙速度：在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球的最小发射速度，其大小为11.2 km/s。
(3)第三宇宙速度：在地面附近发射飞行器，使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其大小为16.7 km/s。
2．第一宇宙速度的推导
已知地球的质量为m地＝5.98×1024 kg，近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R＝6.4×106 m，重力加速度g＝9.8 m/s2。
思路一：万有引力提供向心力，由G＝m得v＝ ＝7.9 km/s。
思路二：由mg＝m得v＝＝7.9 km/s。
说明：由第一宇宙速度的两种表达式可知，第一宇宙速度的大小由地球决定。其他天体的第一宇宙速度可以用v＝ 或v＝表示，式中G为引力常量，M为天体的质量，g天体为天体表面的重力加速度，R为天体的半径。
3．发射速度与环绕速度
(1)当v发＝7.9km/s时，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动。
(2)当7.9 km/s