专题4 功与能的综合拓展问题（考点精讲）-2022-2023学年高一物理单元复习（人教版2019必修第二册）

专题四  功与能的综合拓展问题

考点01  变力做功的计算

【六大核心方法】

1．W＝Pt

若某个变力做功的功率恒定，则可用W＝Pt求解该变力做的功。

2．微元累积法

当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路。例如，物体在水平面上沿着半径为R的圆周运动一周的过程中，摩擦力做功W＝－μmg·2πR。

3．图像法

根据W＝Flcosθ(或W＝Pt)，利用微元累积思想结合F­l图像(或P­t图像)，可得出另一种求变力做的功的方法——图像法。

若已知F­x图像和P­t图像，则图像与x轴或t轴所围的面积表示功，如图甲所示，在位移x0内力F做的功W＝x0(力与位移同向)。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。

4．平均值法

当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力＝，由W＝lcosα求功。如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2(这就是弹簧弹性势能的表达式)。

若功率P随时间均匀变化，也可用类似的方法计算变力的功。

5．动能定理法

变力做的功还可以根据动能定理间接求解，即根据W恒＋W变＝ΔEk间接求出W变。这是经常用到的一种方法。

6．转化法

若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以将变力做功转换为恒力做功求解。

如图所示，绳子拉物体的力的大小、方向均不断变化，根据功能关系，该力做的功可用作用于绳子末端的力F做的功间接计算。

【典例1】如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力F随位移x变化的情况如图乙所示，运动4 m后撤去推力F，物体与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，g取10 m/s2，则(　　)

A．全程克服摩擦力做功100 J

B．运动过程中推力做的功为200 J

C．物体在运动过程中的加速度一直减小

D．因推力是变力，无法确定推力做的功

【答案】B

【解析】F­x图线与横轴所围图形的面积表示推力做的功，则WF＝×4 J＝200 J，对整个过程根据动能定理有WF－Wf＝0－0，则全程克服摩擦力做功Wf＝WF＝200 J，B正确，A、D错误；物体受到的滑动摩擦力Ff＝μmg＝20 N，当推力大于20 N时，物体做加速度减小的加速运动，当推力减小到20 N时，加速度为零，当推力小于20 N时，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减速运动直至停止，C错误。

【强化训练1】(多选)如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4m，则(　　)

A．A位置船速大小为m/s

B．B位置船速大小为2m/s

C．船从A运动到B的过程中，船受到绳的拉力做的功为20J

D．船从A运动到B的过程中，船受到绳的拉力做的功为40(－1)J

【答案】BD

【解析】绳端速度为v＝1 m/s，根据运动的合成与分解，可得A位置船速大小为vA＝＝ m/s，故A错误；同理可得B位置船速大小为vB＝＝2 m/s，故B正确；船从A运动到B的过程中，船受到绳的拉力做的功等于人的拉力做的功，即W＝F(2·cos30°－)＝10× J＝40(－1) J，故C错误，D正确。

考点02  功能关系的综合问题

【核心方法】

1．功与能的关系：功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，做了多少功，就有多少能量发生转化。

2．常见的功能关系

3.功能关系在图像中的应用

根据功能关系可知：

(1)重力势能与高度的Ep­h关系图像的斜率为－G。

(2)弹簧弹性势能与形变量的Ep­x关系图像的斜率为－F弹。

(3)动能与位移的Ek­x关系图像的斜率为F合。

(4)机械能与位移的E­x关系图像的斜率为F其他。

【典例2】如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为(　　)

A．2mgR  B．4mgR

C．5mgR  D．6mgR

【答案】C

【解析】小球始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，机械能的增量ΔE机＝W水平外力，机械能的增量等于水平外力在从a点开始运动到其轨迹最高点过程做的功。设小球运动到c点的速度为vc，由动能定理有：F·3R－mgR＝mv，解得：vc＝2。小球运动到c点后，根据小球受力情况，可分解为水平方向初速度为零的匀加速运动，加速度为ax＝g，竖直方向的竖直上抛运动加速度也为g，小球上升至最高点时，竖直方向速度减小为零，时间为t＝＝，水平方向的位移为：x＝axt2＝g·2＝2R，综上所述小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为ΔE机＝F·(3R＋x)＝5mgR，正确答案为C。

【强化训练2】从地面竖直向上抛出一物体，其动能Ek随它离开地面的高度h的变化如图所示，重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得(　　)

A．物体的质量为2kg

B．物体初速度大小为20m/s

C．物体落地时速度大小为20m/s

D．物体受到空气阻力的大小为6N

【答案】B

【解析】物体上升高度Δh的过程，由动能定理有－(mg＋Ff)Δh＝ΔEk，物体下降高度Δh′的过程，由动能定理有(mg－Ff)Δh′＝ΔEk′，可知Ek­h图像斜率的绝对值表示物体所受合力的大小，由以上两式对照Ek­h图像有mg＋Ff＝ N＝16 N，mg－Ff＝ N＝4 N，联立两式解得m＝1 kg，Ff＝6 N，A错误，D正确；由图知，物体的初动能Ek0＝mv＝64 J，则物体初速度大小为v0＝8 m/s，物体落地时的动能Ek′＝mv′2＝16 J，则物体落地时速度大小为v′＝4 m/s，B、C错误。

考点03  功能关系、机械能守恒定律在连接体问题中的应用

类型一：轻绳连接的物体系统

(1)常见情景

(2)三点提醒

①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。

类型二：轻杆连接的物体系统

(1)常见情景

(2)三大特点

①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：

a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。

b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。

③对于杆和球组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。

类型三：轻弹簧连接的物体系统

(1)题型特点

由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。

(2)两点提醒

①对于同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。

②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。

【典例3】(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(　　)

A．环到达B处时，环的速度大小是重物的倍

B．环从A到B过程中，环的机械能是减少的

C．环下降的最大高度为

D．环到达B处时，重物上升的高度为d

【答案】BC

【解析】对环到B点的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，可知沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，由题图知θ＝45°，即有v环cos45°＝v绳＝v重物，解得v环＝v重物，所以环的速度大小是重物的倍，故A错误；环下滑过程中只有重力对系统做功，故系统机械能守恒，重物高度增加，速度增大，则重物的机械能增加，所以环的机械能减少，故B正确；环下降到最大高度h时，环和重物的速度均为0，此时重物上升的高度为hmax＝－d，根据系统的机械能守恒有mgh＝2mghmax，联立解得h＝d，故C正确；根据几何关系知，环到达B处时，重物上升的高度h′＝－d＝(－1)d，故D错误。

【强化训练3】(多选)如图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在轻杆连接处固定质量为2m的小球A和质量为m的小球B，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是(　　)

A．A球到达最低点时速度为

B．A球到达最低点时，B球速度为

C．A球到达最低点时，杆对A球做功为－mgL

D．摆动过程中A球机械能守恒

【答案】BC

【解析】当A球到达最低点时，对系统由机械能守恒定律有(2mg－mg)·＝(2m＋m)v2，解得v＝ ，即此时A、B两球的速度均为，A错误，B正确；当A球到达最低点时，设杆对A球做功为W，对A球由动能定理有2mg·＋W＝·2mv2，解得W＝－mgL，C正确；摆动过程中，A、B组成的系统的机械能守恒，A球机械能不守恒，D错误。