第五章 抛体运动【思维导图+考点通关】-2022-2023学年高一物理单元复习（人教版2019必修第二册）

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第五章 抛体运动
一、思维导图

二、考点通关
考点1物体做曲线运动的条件
1．物体做曲线运动的条件：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
2．曲线运动的轨迹特点：做曲线运动的物体在某一点的速度方向，与它的运动轨迹在该点相切，轨迹曲线向合力方向弯曲，而且处在速度方向与合力方向构成的夹角之间，如图所示，即合力指向轨迹曲线的凹侧。

3．曲线运动中合力F(加速度a)对物体速度的影响
(1)内容：当合力F(加速度a)跟物体速度不在同一直线上时，可以把F(a)在沿速度的方向和垂直速度的方向进行分解，如图a、b所示。其中F1(a1)与速度在同一直线上，只能改变速度的大小，图a中F1(a1)与速度同向，故速度要增大，图b中F1(a1)与速度反向，故速度要减小；F2(a2)与速度垂直，只能改变速度的方向，不能改变速度的大小。

(2)结论：①F(a)与v的夹角为锐角时，物体做加速曲线运动。②F(a)与v的夹角为钝角时，物体做减速曲线运动。③F(a)与v的夹角为直角时，物体做匀速(率)曲线运动。
【典例1】“嫦娥五号”探月卫星在由地球飞向月球时，假设沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的(　　)

【答案】C
【解析】由合力方向指向轨迹凹侧知A、D一定错误。由于探月卫星是从M点向N点飞行，且速度逐渐减小，B中合力与速度的夹角为锐角，速度增加，C中合力与速度的夹角为钝角，速度减小，故选C。
规律点拨
分析物体做曲线运动时受力方向的关键
一要明白做曲线运动的物体所受合力的方向一定指向轨迹曲线凹侧；二要明白当物体所受合力的方向与速度方向的夹角为锐角时，速度增加，当物体所受合力的方向与速度方向的夹角为钝角时，速度减小。
【变式训练1】一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间内风突然停止，则其运动的轨迹可能是(　　)

【答案】C
【解析】物体自由下落到某处突然受一恒定水平向右的风力，此时合力向右下方，则轨迹应向右弯曲，且拐弯点的切线方向应与速度方向相同，即竖直向下；风停止后，物体只受重力，即合力竖直向下，轨迹应向下弯曲，只有C符合，故选C。
考点2运动的合成与分解
1．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：各分运动之间互不相干、彼此独立、互不影响。
(3)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
2．合运动性质的判断
分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0与合加速度a，然后进行判断。
(1)判断是否做匀变速运动
①若a＝0，物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动。
②若a≠0且a恒定，物体做匀变速运动。
③若a变化，物体做非匀变速运动。
(2)判断轨迹的曲直
①若a与v0在同一直线上，物体做直线运动。
②若a与v0不在同一直线上，物体做曲线运动。
3．合位移和合速度的计算
位移和速度的合成与分解都遵循平行四边形定则。例如：上图中蜡块在水平和竖直两个方向均做匀速直线运动时，设速度分别为vx、vy，则经过时间t，蜡块在水平方向的位移x＝vxt，竖直方向的位移y＝vyt，蜡块的合位移为l＝＝ t，设位移与水平方向的夹角为α，则tanα＝＝，蜡块的合速度v＝，合速度方向与vx方向的夹角θ的正切值为tanθ＝。
4．运动的分解：运动的分解是运动合成的逆运算，利用运动的分解可以将曲线运动问题转化为直线运动问题。
【典例2】(多选)如图甲，旋臂式起重机的天车吊着质量为100kg的货物正在沿水平方向以4m/s的速度向右匀速运动，同时又使货物沿竖直方向做向上的匀加速运动，其竖直方向的速度—时间关系图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)

A．2s末货物的速度大小为5m/s
B．货物的运动轨迹可能是一条如图丙所示的抛物线
C．货物所受的合力大小为150N
D．0到2s末这段时间内，货物的位移大小为10m
【答案】AC
【解析】货物水平方向的速度大小为4m/s，2 s末货物竖直方向的速度大小为3m/s，故2s末货物的速度大小为v＝＝5m/s，A正确；由于货物加速度向上，所受合力竖直向上，故运动轨迹向上弯曲，丙图不符合题意，B错误；货物的加速度大小为a＝＝＝1.5m/s2，则所受合力大小为F＝ma＝150N，C正确；0到2s末这段时间内，货物在水平方向的位移大小为x＝vxt＝8m，在竖直方向的位移大小为y＝at2＝3 m，因此位移大小为s＝＝ m，D错误。
【变式训练2】路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，则关于梯子上的工人的描述正确的是(　　)

A．工人相对地面的运动轨迹为曲线
B．仅增大车速，工人相对地面的速度可能不变
C．仅增大车速，工人到达顶部的时间将变短
D．仅增大车速，工人相对地面的速度方向与竖直方向的夹角将变大
【答案】D
【解析】车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，根据运动的合成可知，工人相对地面做匀速直线运动，故A错误；仅增大车速，不影响工人竖直方向的运动，则工人到达顶部的时间不变，故C错误；仅增大车速，工人水平方向速度增大，竖直方向速度不变，依据矢量的合成法则，工人相对地面的速度将变大，速度方向与竖直方向的夹角将变大，故B错误，D正确。
规律点拨 求解合运动或分运动的步骤
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v＝，合位移的大小s＝。
考点3小船渡河与关联速度问题
1．小船渡河问题
(1)三个速度：v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)。
(2)两个问题
①渡河时间
a．船头与河岸成α角时，渡河时间为t＝(d为河宽)。
b．船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)。
②最短航程
a．若v水＜v船，则当合速度v合垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d。船头指向上游与河岸的夹角α满足cosα＝。如图①所示。
b．若v水＞v船，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图②所示，以v水矢量的末端为圆心、以v船矢量的大小为半径画圆弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，由图可知船头指向上游，与河岸的夹角α满足cosα＝，最短航程xmin＝＝d。

2．关联速度问题
(1)对关联速度的理解
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。
(2)关联速度问题的解题步骤
①确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
②分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。常见的模型如图所示：

③沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(图甲)；v∥＝v∥′(图乙、丙)。
【典例3】一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s，船在静水中的速度为v2＝5m/s，则：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？
【答案】(1)船头朝垂直于河岸方向，36 s，90m；(2)船头偏向上游，与河岸夹角为60°，24s，180m；(3)36s，216m
【解析】(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示。
时间t＝＝ s＝36 s，v合＝＝ m/s，位移为x＝v合t＝90 m。

(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有v2cosβ＝v1，得β＝60°。
最小位移为xmin＝d＝180 m，
所用时间t′＝＝＝ s＝24 s。
(3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝＝36 s；
当水流速度变为6 m/s时，v1＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v1矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cosα＝，最小位移为xmin＝＝d＝×180m＝216m。
【变式训练3】如图所示，一条小船位于200 m宽的河的正中A点处，从这里距下游一危险区有100m，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，如果小船行驶过程中船头始终与河岸垂直，则小船在静水中的速度至少是(　　)

A. m/s B． m/s C．2 m/s D．4 m/s
【答案】A
【解析】为了使小船避开危险区到达对岸，且船头始终与河岸垂直，小船在水中运动的最长时间为t＝＝ s＝25 s，则小船在静水中的速度至少为v静＝＝ m/s＝ m/s，故选A。
规律总结
小船渡河的最短时间与最短航程
(1)不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝，且这个时间与水流速度大小无关。
(2)当v水＜v船时，合运动的速度方向可垂直于河岸，最短航程为河宽。
(3)当v水＞v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为xmin＝d。

【典例4】图甲为发动机活塞连杆组，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接A处活塞，另一端与曲柄上B点相连，活塞沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O沿顺时针方向做圆周运动，某时刻OB刚好水平，∠OAB＝θ，活塞的速率为vA，曲柄上B点的速率为vB，则此时(　　)

A．vA·cosθ＝vB B．vB·cosθ＝vA
C．vA＝vB D．vA·sinθ＝vB
【答案】C
【解析】活塞的实际运动沿竖直方向，曲柄上B点的实际运动沿虚线圆的切线方向，当OB刚好水平，曲柄上B点的速率方向刚好竖直时，将vA、vB沿连杆方向和垂直于连杆方向分解如图，则有v1＝vAcosθ＝vBcosθ，可得vA＝vB，故A、B、D错误，C正确。

【变式训练4】如图所示，某救援队利用如下装置转运救灾物资，物资穿在竖直固定光滑杆上，若汽车速度为v1，物资运动速度为v2，定滑轮左右两侧轻绳与竖直方向夹角分别为α、β。不计滑轮质量以及绳与滑轮间的摩擦，下列关系正确的是(　　)

A．v1＝v2 B．v1＝ C．v1＝2v2sinαcosβ D．v1＝
【答案】D
【解析】根据平行四边形定则，对汽车和物资的速度分别沿绳方向和垂直绳方向进行分解，如图所示，有v1sinα＝v绳，v2cosβ＝v绳，解得v1＝，故D正确。
规律总结
关联速度问题，关键是要弄清楚哪个速度是合速度、哪个速度是分速度，然后弄清楚哪个分速度才是我们需要用来解题的。

考点4平抛运动的速度、位移和轨迹
1．平抛运动的研究方法
(1)由于平抛运动是匀变速曲线运动，速度、位移的方向时刻发生变化，无法直接应用运动学公式，因此研究平抛运动问题时采用运动分解的方法，“化曲为直”法是我们解决所有曲线运动问题的一个重要方法。
(2)将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。这是我们解决平抛运动问题的基本方法。
2．平抛运动的特点
(1)速度特点：平抛运动的速度大小和方向都不断变化，故它是变速运动。
(2)轨迹特点：平抛运动的运动轨迹是曲线，故它是曲线运动。
(3)加速度特点：平抛运动的加速度为自由落体加速度，恒定不变，故它是匀变速运动。
综上所述，平抛运动为匀变速曲线运动。
3.平抛运动的速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。公式a＝在曲线运动中仍适用，只是要注意a与Δv的矢量性。

4．平抛运动的时间、水平位移、落地速度的决定因素
(1)运动时间：由y＝gt2得t＝ ，做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关。
(2)水平位移：x＝v0t＝v0，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定。
(3)落地速度：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定。
5．平抛运动的规律
运动
项目
水平分运动
(匀速直线运动)
竖直分运动
(自由落体运动)
合运动
(平抛运动)
速度
vx＝v0
vy＝gt
v＝
tanθ＝＝
位移
x＝v0t
y＝gt2
s＝
tanα＝＝
加速度
ax＝0
ay＝g
a＝g
合成、分解图示

注意：①θ为速度方向与x轴的夹角，α为位移方向与x轴的夹角；②解题时灵活处理，例如平抛运动中，竖直方向的分速度vy＝gt，除该公式外，如果知道高度，还可以根据vy＝计算。
6．平抛运动的轨迹
由水平分位移x＝v0t和竖直分位移y＝gt2可知平抛运动的轨迹方程为y＝x2，其中g、v0是常量，则y­x图线是二次函数图线，即平抛运动的轨迹是一条抛物线。
【典例5】家长与小朋友做沙包抛掷的游戏，游戏时家长与小朋友站在相距3 m的场地两端，家长在离地1.5m处将质量为100 g的沙包水平扔出，正好落入小朋友手中距地面0.7 m高的塑料筐中。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．沙包从抛出至落入筐中用时0.55 s
B．家长水平扔出沙包的速度大小为6.2 m/s
C．沙包即将落入筐中时的速度大小为7.5 m/s
D．沙包从抛出至落入筐中速度的变化量大小为4 m/s
【答案】D
【解析】家长水平扔出的沙包在空中做平抛运动，下落的高度为h＝1.5m－0.7m＝0.8 m，水平位移为x＝3m，根据平抛运动的规律有h＝gt2，x＝v0t，代入数据可得沙包从抛出至落入筐中用时t＝0.4 s，家长水平扔出沙包的速度大小v0＝7.5 m/s，故A、B错误；沙包即将落入筐中时，水平方向的速度大小vx＝v0＝7.5 m/s，竖直方向的速度大小vy＝gt＝4 m/s，合速度大小v合＝>v0＝7.5 m/s，C错误；沙包从抛出至落入筐中，速度的变化量大小为Δv＝gt＝4m/s，D正确。
【变式训练5】如图所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法中正确的是(　　)

A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
【答案】D
【解析】由题意可将水从喷水口中水平喷出后的运动看成平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则竖直方向有：h＝gt2，得t＝，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，水从喷出到落入池中的时间一定，故A错误，D正确。水平方向有：x＝v0t＝v0 ，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远；喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越远，故B、C错误。
规律总结：
平抛运动的飞行时间由竖直高度决定。水平位移由竖直高度和初速度共同决定。
考点5平抛运动的两个重要推论
1．推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
2．推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与水平方向的夹角分别为θ、α，则tanθ＝2tanα。
【典例6】如图所示，从倾角为θ的斜坡上某点先后将同一石子以不同的初速度水平抛出，石子均落在斜坡上，当抛出的速度为v1时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α1；当抛出速度为v2时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α2，则(不计空气阻力)(　　)

A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1