专题3 等效思维——割补法-2022-2023学年高一物理单元复习（人教版2019必修第二册）

专题三  思维方法

思维方法01  等效思维——割补法

1．概述

万有引力定律适用于质点间、质点与均匀球体间、两均匀球体间的相互作用力，若出现大球内某个区域被挖去一个小球，无法直接应用公式求残缺球与另外质点或另外球体的万有引力，此时可以采用“先补后挖”的方法，应用万有引力定律间接求万有引力。

2．分析方法

根据等效思维，可以把完整的大球看作残缺的空心球与被挖去的小球的组合，质量为m的质点受到的引力变成整个球体对质点的引力与挖去的小球体对质点的引力之差。

注：必修第三册还会遇到类似的均匀带电体问题，分析方法与此处相同。

【典例1】有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R、球心为O′的球体，且O、O′与质点m位于同一直线上，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为(　　)

A．  B．      C．  D．

【答案】A

【解析】质量为M的球体对质点m的万有引力F1＝G＝G，挖去的球体的质量M′＝M＝，质量为M′的球体对质点m的万有引力F2＝G＝G，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝G－G＝，故A正确，B、C、D错误。

【强化训练1】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　)

A．  B．      C．  D．

【答案】C

【解析】利用填补法来分析此题。原来半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，设原球体的质量为M，挖去的半径为的球体的质量M′＝M＝M，根据万有引力定律，挖去的球体对质点P的万有引力为，故原球体剩余部分对质点P的万有引力变为F－＝，C正确。

【自我检测】

1．（2022·黑龙江·哈九中高一阶段练习）随着国际石油供应日趋紧张，各国对石油的勘探也在进一步加强，在探测的过程中，遇到空腔或存在其他物质时，引力会发生变化，引起该地区重力加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置。可以将模型简化为一质量为M、半径为R的密度均匀的球体，在距离球外表面为R的地方有一质量为m的质点，此时大球体对质点的万有引力为F，如图所示，现在从M中挖去一半径为0.5R的球体，则剩下部分对m的万有引力为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】质点与球体的球心相距，万有引力为F，则有

大球的质量

挖去的球体的质量

挖去的球体的球心与质点相距，与质点间的万有引力为

剩余部分对质点的万有引力

所以有

故选C。

2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R处时，该处的重力加速度大小为（　　）

A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g

【答案】B

【详解】设地球的密度为，则在地球表面

地球的质量为

联立可得，地表重力加速度表达式为

由题意可知，地面以下深0.5R处的重力加速度相当于半球为0.5R的球体表面的重力加速度，即

对比可得

B正确。

故选B。

3．（2022·全国·高一课时练习）地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg（k＜1），已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】万有引力定律的适用条件：（1）公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为，根据万有引力定律求解。

【详解】如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为，由万有引力定律有

解得球形空腔的体积

故选D。

4．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，地球半径为R，O为球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的中点．设想在地球内部挖掉一以B为圆心，半径为的球，忽略地球自转影响，将地球视为质量分布均匀的球体．则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】挖前，质量为m的物体在A点受到的重力

挖去后质量为的球体后在A点受到的重力

联立各式解得

故选A．

5．（山东省百校大联考2022-2023学年高三上学期12月物理试题）如图所示，有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的Р点有一质量为m的质点，从M中挖去一个半径为的球体，设大球剩余部分对m的万有引力为F1。若把质点m移放在空腔中心点，设大球的剩余部分对该质点的万有引力为F2。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，万有引力常量为G，O、、P三点共线。下列说法正确的是（　　）

A．F1的大小为

B．F2的大小为

C．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2相同

D．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2不同

【答案】AC

【详解】A．设半径为的小球体的质量为，球体的密度为，则有

联立可得

由补偿法可知，其余部分对P处质点的引力等于大球对该点的引力减去挖走的小球对该点的引力，则大球剩余部分对m的万有引力为

代入数据解得

A正确；

B．由质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0可知，大球不挖走小球时，大球对点的质点的引力等于以O点为圆心为半径的小球对该点的引力，即

由补偿法可知，其余部分对处质点的引力等于大球对该点的引力减去挖走的小球对该点的引力。因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，故挖走的小球对该点的引力为0，所以其余部分对该点的引力等于实心大球对该点的引力。B错误；

CD．半径为、的小球质量分别为

由B选项分析可知，若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力等于以O点为圆心为半径的小球对该点的引力，即

同理挖走的小球对该点的引力为以点为圆心，为半径的小球对该点的引力

故其余部分对该点的引力为

C正确，D错误。

故选AC。

6．（2022·福建·模拟预测）作为2020夏季奥运会的主办国，日本的“东京8分钟”惊艳亮相里约奥运闭幕式。地理位置上，东京与里约恰好在地球两端，片中，日本首相化身马里奥，通过打穿地球的管道，从东京一跃到达里约现场，带来了名为“东京秀”的表演环节。现代理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质分布均匀的实心球体，O为球心。不考虑空气阻力，关于人在地球管道中的运动，下列说法正确的是（　　）

A．通过O点前后分别做匀加速和匀减速运动，不需要动力装置和刹车装置

B．通过O点前后分别做加速和减速运动，加速度先变小后变大

C．到达O点时的速度最大，加速度为零

D．在沿管道运动过程中不受引力作用，处于完全失重状态，所以需要动力装置和刹车装置

【答案】BC

【详解】通过O点前，人受到的引力指向地心O，故做加速运动，且球壳厚度越来越大，中间球体体积越来越小，则人所受引力越来越小，则加速度越来越小，当到达O点时，所受引力为零，则加速度为零，速度达到最大，通过O点后，所受引力越来越大且方向指向O点，故人做减速运动，且加速度变大。

故选BC。

7．（2022·北京·清华附中高一期末）如图所示，半径为R的薄球壳质量均分分布，其单位面积的质量为，已知引力常量为G。

（1）若在球壳上A点挖去半径为r的小圆孔（，挖去的部分可看做质点），求：球壳对位于球心O处的质量为m的物体的万有引力；

（2）如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为，石油的密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏差，重力加速度在原竖直方向（即方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G。则：

①若在P点附近测量这种由于球形空腔而引起的“重力加速度反常”，那么反常的最大值出现在何处？

②设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常的大小。

【答案】（1）；（2）P点；（3）

【详解】（1）根据“填补法”，若将挖去的小孔补上，则在球壳中心O处的物体受球壳的引力为零，则挖去小孔后剩余部分对物体的引力与挖去的部分对物体的引力等大反向，而挖去部分的质量为

根据万有引力定律可得球壳对位于球心O处的质量为m的物体的万有引力

（2）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力

来计算，式中的m是Q点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV，而r是球形空腔中心O至Q点的距离

△g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小．很明显x值越小，则△g越大，则反常的最大值出现在P点；

（2）Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g′是这一改变在竖直方向上的投影

联立以上式子得

8．（2022·湖南·长沙市南雅中学高一期中）如图所示，质量为、半径为、密度均匀的球体表面处有一质量为的质点，此时对的万有引力为，从中挖去一半径为的球体后，剩下部分对质点的万有引力为，求的值？

【答案】

【详解】质点与的球心相距，万有引力为，则有

的质量

的质量

的球心与质点相距，与质点间的万有引力为

剩余部分对质点的万有引力

所以有