专题1　平抛运动及一般曲线运动规律的拓展应用（考点精讲）-2022-2023学年高一物理单元复习（人教版2019必修第二册）

专题二  常见的圆周运动模型及其临界问题

考点01  圆锥摆模型及水平面内圆周运动的临界问题

【核心方法】1．圆锥摆模型

(1)常见的圆锥摆模型

物体受重力、斜向上的拉力或支持力等(也可能受斜面的摩擦力)在水平面内做匀速圆周运动，称为圆锥摆模型。常见的圆锥摆模型如下表：

(2)圆锥摆问题的分析思路

①对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。

②确定圆心和半径。

③应用相关规律列方程求解。在竖直方向根据平衡条件列式，在水平方向根据向心力公式和牛顿第二定律列式。

2．两类常见模型的临界情况分析

(1)水平转盘模型

①如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。

②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。

(2)圆锥摆模型

①绳上拉力的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力或绳上的拉力恰好达到最大值。

②接触或脱离的临界条件是：物体与物体间的弹力恰好为零。

(3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：摩擦力的方向发生改变；发生相对滑动。

【典例1】如图所示，A和B两物块(可视为质点)放在转盘上，A的质量为m，B的质量为2m，两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l，两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求：

(1)角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力；

(2)角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)开始时两物块都靠静摩擦力提供向心力，转动半径更大的B先达到最大静摩擦力，此时绳子开始出现弹力，根据牛顿第二定律有μ·2mg＝2mω·2l

解得ω1＝

故角速度为时，绳上刚好出现拉力。

(2)当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B开始相对于转盘滑动，根据牛顿第二定律，

对A有μmg－T＝mωl

对B有μ·2mg＋T＝2mω·2l

联立解得ω2＝

故角速度为时，A、B开始与转盘发生相对滑动。

【强化训练1】如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长L＝2 m的细绳悬挂一质量m＝1 kg的小球，圆锥顶角2θ＝74°(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。求：

(1)当小球以ω＝1 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小；

(2)当小球以ω＝5 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小。

【答案】(1)8.72N；(2)50N

【解析】(1)设小球刚要离开锥面时的角速度为ω0，此时锥面对它的支持力为零，根据牛顿第二定律，得mgtanθ＝mωLsinθ

代入数据解得ω0＝2.5rad/s

当ω＝1 rad/s<2.5 rad/s时，小球没有离开锥面，如图1，水平方向根据牛顿第二定律，得

FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ

竖直方向根据平衡条件，得

FTcosθ＋FNsinθ＝mg

联立并代入数据解得FT＝8.72N。

(2)当ω＝5rad/s>2.5rad/s时，小球离开锥面，设细绳与竖直方向的夹角为β，如图2，根据牛顿第二定律，得

FT1sinβ＝mω2Lsinβ

解得FT1＝mω2L＝1×25×2 N＝50 N。

考点02  竖直面内的圆周运动模型及其临界问题

【核心方法】1．竖直平面内的圆周运动模型

在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型：一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。

2．三种模型对比

模型拓展——斜面内的圆周运动

1．概述

在斜面上做圆周运动的物体，根据受力情况的不同，可分为以下三类：

(1)物体在静摩擦力作用下做圆周运动。

(2)物体在绳的拉力作用下做圆周运动。

(3)物体在杆的作用下做圆周运动。

这类问题的特点是重力的分力和其他力的合力提供向心力，运动和受力情况比较复杂。

2．分析方法

与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。

【典例2】长度为L＝0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到(　　)

A．6.0N的拉力  B．6.0 N的压力

C．24 N的拉力  D．24 N的压力

【答案】B

【解析】设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg＝m，得v0＝＝m/s＝ m/s。由于v＝2.0 m/s<m/s，可知过最高点时，球对细杆产生压力，细杆对小球有支持力，如图所示，为小球的受力情况图。由牛顿第二定律有mg－FN＝m，得FN＝mg－m＝3.0×10N－3.0× N＝6.0N，由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0 N的压力，B正确。

【强化训练2-1】杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)(　　)

A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零

C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用

D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N

【答案】B

【解析】水流星”在最高点的速度v＝4 m/s＝，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，处于完全失重状态，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。

【强化训练2-2】如图所示，一个半径为R的实心圆盘，其中心轴与竖直方向的夹角为θ。开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰尘，没有掉落。现使圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增大至ω，此时圆盘表面上的灰尘有75%被甩掉，设灰尘与圆盘面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则ω的值为____________________。

【答案】

【解析】由于灰尘随圆盘做圆周运动，其向心力由灰尘受到的指向圆心的合力提供，灰尘在最下端时指向圆心的摩擦力最大。当75%的灰尘被甩掉时，剩余灰尘所在圆的半径r＝，如图所示。根据牛顿第二定律，有μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r，解得ω＝。