浙江省宁波市江北区2023届九年级上学期期末学业质量检测数学试卷(含解析)

2022学年第一学期九年级学业质量检测

数学试题

试 题 卷 Ⅰ

一、选择题

1. 若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列事件是必然事件的是（    ）

A. 足球运动员在罚球区射门一次，射中 B. 从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇

C. 将实心铅球投入水中，下沉 D. 雨后见彩虹，幸运

3. 如图所示，，，，则的长为（    ）

A.  B. 2 C. 3 D. 4

4. 如图，在中，，，，则（    ）

A.  B.  C. 4 D.

5. 关于二次函数，下列说法正确的是（    ）

A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是

C. 该函数的最大值是 D. 当时，y随x的增大而增大

6. 如图，在中，，若，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（    ）

A. 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线

B. 垂线段最短

C. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

D. 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等

8. 如图，点G是的重心，于点H，若，，则△ABC的面积为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

9. 定义：在，D，E分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧．如图1，是的一条中内弧，如图2，在中，，D，E分别是AB，AC的中点．则所有中内弧所组成的图形（图中阴影部分表示）为（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（    ）

A.  B.  

C.  D.

试 题 卷 Ⅱ

二、填空题

11. 请写出一个主视图、左视图和俯视图完全一样的几何体_____．

12. 淘宝某商户为了解新商品主图是否吸引人，对该商品的点击量和展现量进行了监测，得到商品点击率如下表所示：（注：）

根据上表，估计该商品展现量为30000时，点击率约为______．

13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，则侧面展开图的圆心角的度数为______．

14. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于，取的中点G，与交于点H；连接、；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为，正六边形的面积为，则______．

15. 有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值．

若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当时，x的取值范围是____________．

16. 如图，是半圆的直径且．P为半圆上一点（不与点A、B重合），D为延长线上一点，、的角平分线相交于点C．在点P移动的过程中，线段扫过的面积为____________．

三、解答题

17. （1）计算：．

（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标．

18. 甲、乙、丙三名同学玩石头剪刀布游戏，规则如下：若其中两人出的手势相同，另一人不同，则按以下方式分胜负：石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头；其他情况则为平局．

（1）甲同学决定随机出一个手势，则他出的手势为剪刀的概率为______．

（2）若甲同学出的是剪刀，请用画树状图或列表的方法，求甲同学获胜的概率．

19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图．（保留作图痕迹）

（1）在图1中，画出的中线．

（2）在图2中，标出圆心，并画出的角平分线．

（3）在图3中，画出的边上的高线．

20. 图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到，参考数据：，，）

（1）求点D到所在直线的距离．

（2）求长度．

21. 如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接，点D为的中点，过D作，交的延长线于点E．

（1）求证：是半圆O的切线．

（2）若，，求长．

22. 用长为米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米．

（1）请用含代数式表示的长．

（2）设矩形的面积为，出于实际考虑，我们要求窗框的高度()至少为米，宽度()至少为米，则当取何值时，透光面积最大，并求出面积的最大值．

23.

【基础巩固】

（1）如图1，和都等边三形，点B、D、E在同条直线上，与交于点F．求证：．

【尝试应用】

（2）如图2，在（1）的条件下，若，求的长度．

【拓展提高】

（3）如图3，在平行四边形ABCD中，，，，求的值．

24. 如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H．

（1）求的度数．

（2）如图2，当点P是的中点时，

①求证：是等腰三角形．

②求的值．

（3）如图1，设，与面积差为y，求y关于x的函数表达式．

答案

1. D

解：

故选：D

2. C

∵足球运动员在罚球区射门一次，射中是随机事件，

∴A不符合题意；

∵从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇是不可能事件，

∴B不符合题意；

∵将实心铅球投入水中，下沉是必然事件，

∴C符合题意；

∵雨后见彩虹，幸运是随机事件，

∴D不符合题意；

故选C．

3. D

∵，

∴，

∵，，

∴，

解得．

故选D．

4. B

解：在中，，，，

，

，

解得：，

，

故选：B．

5. D

解：由可知：

，

开口向上，

A选项错误；

根据的顶点坐标为可知：

的顶点坐标为，

B选项错误；

图像开口向上，顶点坐标为，

在顶点坐标处由最小值，

C选项错误；

图像开口向上，对称轴为直线，

当时，y随x的增大而增大，

D选项正确.

故选D

6. C

解：在中，

，

，

，

，

，

，

故选：C．

7. A

解：如图：连接，

作以为直径的圆，两圆交于点Q，

，

又是的半径，

是的切线，依据是：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线，

故选：A．

8. B

解：连接并延长交于点D，过A点作于点E，

由重心性质可得：，

∵，

∴，

∴

∴，

又∵

∴

∴

故选B．

9. C

连接，过点A作交于点O，如图，

∵，

∴

∵D，E分别是AB，AC的中点， ，

∴，，

∴，．

∵，

∴，

∴，

∴以为直径的圆与相切，即此条弧是最下方符合题意的弧．

连接．

∵，，

∴，

∴以点F为圆心，以为半径的圆与相切，即此条弧是最上方符合题意的弧，

故选C．

10. D

解：二次函数对称轴为，

由题意得，二次函数经过点，，，

结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；

②当时，最小值为，最大值为5；

③当时，最小值为，最大值为时y的值；

∴m的取值范围是．

故选：D．

11. 球或正方体

解：球的三视图都为圆；正方体的三视图为正方形；所以应填球或正方体．

12.

根据表中信息，当该商品展现量足够大时，点击率逐渐接近于．

根据频率的稳定性可知，当该商品展现量为30000时，点击率约为．

故答案为：．

13. ##90度

解：圆锥的侧面积公式为

将，代入公式得：

代入数据解得：

故答案为

14.

解：设半径r，

由条件可得：为等边三角形，且面积为正六边形的，

易求得：，

．

由条件可得：中为底，为高，且面积为正十二边形的，

，，

，

，

．

故答案为：

15. 或

解：由表可知：时y的值小于当、1、2时y的值，

∵抛物线开口向下，

∴抛物线必为先递增再递减，即函数值随x的增大先增大再减小，

∴时y的值错误数据；

又∵和2时y的值相等，

∴抛物线对称轴为，

∴根据对称性可知：和3时，函数值相等，为，

∴当时，或，

故答案为：或．

16.

解：如图，作半圆弧的中点E，

∵是直径，

∴，

∵、是角平分线，

∴，

∴，

以E为圆心为半径作弧，

可知C在上运动，

注意到是的直径，因此，

，

故答案为：．

17. （1）原式；

（2）当时，，

∴，，

∴与x轴的交点为和．

18. （1）

解：由题意得：他出的手势为剪刀的概率为；

故答案为；

（2）

解：画树状图如下：

由树状图可知总共有9种情况，其中甲获胜的有3种情况，故概率为．

19. （1）

解：根据题意，，

∴的中点在的位置，如图所示，

∴即为所求的中线．

（2）

解：根据题意，，，，

∴，

∴是直角三角形，

∴的圆心在线段的中点上，如图所示，

∵点，分别是的中点，连接并延长，交于点，如图所示，

连接交于，

∵是的中位线，

∴，则，

∵是圆周角，是的圆心角，所对弧相同，

∴，

∴，

∴是的角平分，即是的角平分线．

（3）

解：由（2）可知是直角三角形，，，，

为的高，则点在斜边上，

∵，

∴，

在中，，

如图所示，过点作，连接交于，

∵，

∴，

∴直角三角形，即，

∴如图所示，即为所求的边上的高线．

20. （1）

解：如图，过点D作于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作于点H．

中，

 ，，

．

在中，

，，

．

，，

四边形和四边形为矩形，

；

（2）

解：在中，

，，

．

，

在中， ，，

．

．

21. （1）

如图，连接交于点F．

∵D是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴是半圆O的切线．

（2）

∵，，

∴，，

∴在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

22. （1）

解：设，则，

∴

解得：

∴

（2）

，

解得

∵对称轴为直线，

∴当时，随增大而减小，

∴当时，

答：当时，透光面积最大，最大面积为．

23. （1）证明：和都是等边三角形，

，

A，B，C，E四点共圆，，

，

，

，

（2）解：是等边三角形，

，

，

，，

，

，，

，

，

在和中，，

，

，

，，

，

设，，

，，解得，

．

（3）解：如图添加辅助线，构造以为边的等边，连接，过点B作交的延长线于点M，

，

是正三角形，

,

,

在和中， ,

，

，，

，

，

，，

设，，

则，

解得，

，

在中，，

，，

．

24. （1）

∵，

∴，

∴，

∵是直径，

∴，

∴，

∴．

（2）

①∵P是的中点，是直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形．

②∵，

∴，

∵是直径，

∴，

∴，

∴．

∴，

∵，

又∵，

∴，

∴．

（3）

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，，

∵

∴．