2021年浙江省宁波市江北区九年级学业质量检测数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年浙江省宁波市江北区九年级学业质量检测数学试题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省宁波市江北区九年级学业质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．在－2，，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．－2 B． C．0 D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．接种疫苗是防控新冠疫情最有效的手段，截至2021年3月23日，我国各地累计报告接种新冠病毒疫苗8284.6万剂次，这也是人类疫苗接种史上首次启动日报制度．其中8284.6万用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示的几何体是由4个大小相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）

A． B． C． D．
6．能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
7．从一盒写有“鲜肉3只、蛋黄2只、豆沙2只、排骨3只”的端午粽子（所有粽子的形状大小都一样）礼盒中，随机取出一只粽子，正好是蛋黄粽子的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点、、在⊙O上，，，则的度数是（ ）

A．110° B．125° C．135° D．165°
9．如图，在菱形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点，同时动点也从点出发，以每秒个单位的速度沿运动到点，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
10．如图，矩形，分别以、为边向内作等边三角形（图1）；分别以、为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则的值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．－3的绝对值等于______________．
12．二次根式中字母的取值范围是____．
13．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为______．
14．已知一组数据1，，5，，8，10的平均数是6，众数是5，则这组数据的中位数是______．
15．如图，⊙O的半径为1，弦，，点为劣弧上一个动点，延长至点，使，当点由点运动到点时，点的运动路径长为______．


16．如图，直线与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，轴于点，轴于点，点是线段的中点，连结、，已知的面积是面积的2倍，且，则的值是______．


三、解答题
17．（1）计算：
（2）化简：．
小江的解答如下：
①
②
③
小江的解答过程从第______步（填“①”或“②”或“③”）开始出错，请你写出正确的解答过程．
18．如图，在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按下列要求画图．

（1）在图1中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形．
（2）在图2中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形．
19．某校春日郊游就“最想去的宁波市江北区旅游景点”，随机调查了本校2000名学生中的部分学生，提供四个景点选择：A．达人村；B．慈城古镇；C．保国寺；D．荪湖．要求每位学生选择一个最想去的景点．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共随机调查了学生______名．
（2）请补全条形统计图．
（3）请估计全校“最想去景点D（荪湖）”的学生人数．
20．如图，已知二次函数的图象经过点与点，且与轴交于点、．

（1）求该二次函数的表达式，以及与轴的交点坐标．
（2）若点在该二次函数图象上，
①求的最小值；
②若点到轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出的取值范围．
21．如图，机器上使用的螺丝钉，它上面的螺纹以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进．一颗底面为圆且直径为6毫米的螺丝钉，如果螺纹的初始角为4°，那么每转一圈向前推进的距离约为多少毫米？（参考数据：，，，结果精确到0.01毫米）

22．周末傍晚，小北从家出发步行去电影院看电影，出发一段时间后，妈妈发现小北忘了带口罩，于是骑上自行车沿小北行进的路线去追赶，在小北到达电影院之前，妈妈追上小北，然后立即沿原路返程回家，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只有原来的，小北继续以原速度步行前往并到达电影院．妈妈与小北之间的距离（米）与小北从家出发后步行的时间（分）之间的关系如图所示（假设小北步行与妈妈骑车的过程均视为匀速，妈妈将口罩交给小北耽搁的时间忽略不计）．

（1）求小北的步行速度；妈妈追赶小北时的速度．
（2）求出图中点的坐标，并描述说明其表达的实际意义．
23．图1，点是内的一点，连结、，，将绕点顺时针旋转得，射线交线段于点，射线交线段于点．
（1）求证：．
（2）如图2，若，且，，求四边形周长的最小值．
（3）如图3，若为等边三角形，，=，求与的一边平行时的长．

24．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在和中，若，且，则和是余等三角形．
（1）如图2，等腰直角，其中，，点是上任意一点（不与点、重合），则图中______和______是余等三角形，并求证：．
（2）如图3，四边形是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且，
①求证：和是余等三角形．
②图4，连结交于点，连结，为上一点，连结并延长交于点，若，，设，，求关于的函数关系式．



参考答案
1．B
【分析】
根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
∵-2＜0＜＜π，
∴最大的数是π，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了实数大小比较，熟记实大小比较方法是解答本题的关键．
2．C
【分析】
根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、幂的乘方运算法则分别求出各项的结果再进行判断即可得到结果．
【详解】
解：A. ，原选项计算错误，故不符合题意；
B. ，原选项计算错误，故不符合题意；
C. ，原选项计算正确，故符合题意；
D. ，原选项计算错误，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
3．C
【分析】
根据科学记数法的方法，可以将题目中的数据用科学记数法表示出来，本题得以解决．
【详解】
8284.6万=82846000=8.2846×
故正确的选项是：C
【点睛】
本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的方法．
4．A
【分析】
先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】
根据“小大大小中间找”的原则可知，A选项正确，
故选A．
【点睛】
把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
5．A
【分析】
找到几何体从左面看所得到的图形即可．
【详解】
从左面可看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6．A
【分析】
写出一个a的值，不满足即可．
【详解】
命题“对于任何实数a，”是假命题，反例要满足a≤0，如a=-2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．D
【分析】
蛋黄2只，一共10只，根据概率公式计算即可．
【详解】
一共有3+2+2+3=10只，蛋黄有2只，
所以随机取出一只粽子，正好是蛋黄粽子的概率是2÷10=，
故选：D．
【点睛】
本题考查概率计算的公式，正确理解题意，筛选信息是关键．
8．B
【分析】
连接OB，分别经计算∠ABO和∠CBO的度数即可．
【详解】
解：连接OB，如图所示．

∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=70°．
∵AB∥OC，
∴∠BOC=∠OBA=70°．
∵OC=OB，
∴．
∴．
故选：B
【点睛】
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，熟知同圆的半径相等的性质是解题的关键．
9．A
【分析】
分点P在AD上运动、点P在CD上运动两种情况，分别求出对应的函数表达式，即可求解．
【详解】
解：∵∠ABC=120°，
∴∠DAB=60°，则∠HAQ=30°.
①当点P在AD上运动时，如下图.

过点Q作QH⊥AD于点H，
由题意得：AP=2t， ,
∴y==为开口向上的抛物线.
②当点P在CD上运动时.
同理可得y= 为开口向下的抛物线.
故选：A．
【点睛】
本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
10．B
【分析】
将阴影部分分别分割成两个规则图形，图一可以分为两个梯形，图二可分成两个三角形，设设=m，令AB=1,则AD=m，利用相似求出图形面积，结合面积比即可求出．
【详解】

设=m，令AB=1,则AD=m，
∵两个正三角形以AD、BC为底，所得图形是对称图形，
∴EF所在直线平行AD与BC，
∴AM=BM=，
∵∠HBE=90°-60°=30°，
∴AH=，
∴ME=
根据对称性关系可知EF=m-2×=m-，HG=m-
∴梯形EFGH面积=
∴S1=，
同理根据图二可知
AK=，△ABR的高为，
∴△QPR的高为，
根据△QPR∽△ABR，

求得PQ=
∴三角形PQR面积=，
∴S2=，
∵，
整理得到：，
∴化简求得m=或（舍弃），
∴=，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查相似三角形、等边三角形有关知识，对知识的灵活运用要求较高，注重培养学生的分析问题和知识综合运用能力．
11．3.
【详解】
试题分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
试题解析：-3的绝对值是3．
考点：绝对值．
12．x≥1
【分析】
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：由题意得，x-1≥0，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的意义，被开方数是非负数是解题的关键．
13．
【分析】
根据平移的规律：抛物线平移不改变a的值，左加右减，上加下减可得答案．
【详解】
解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，2）．
可设新抛物线的解析式为y=（x-h）2+k，
代入得y=（x+1）2+2．
故填：．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
14．6
【分析】
先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=12，即可得出结论．
【详解】
解：∵一组数据1，，5，，8，10的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据1，，5，，8，10的平均数为6，
∴
∴x+y=12，
∴x，y中一个是5，另一个是7，
∴这组数为1，5，5，7，8，10，
∴这组数据的中位数是 ，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了众数、平均数、中位数等概念，熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出x，y中至少有一个是5是解本题的关键.
15．
【分析】
连接，根据知道，进而得出，则点的路径是经过A点的线段，再根据相似三角形的性质求出即可．
【详解】
解：如图：


连接，
当时，
即，
∵，
∴，
∴，
∴点Q的路径是经过A点的线段，
∴当点P在点C时，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴点的运动路径长为
【点睛】
此题利用圆考查了垂径定理，涉及到相似三角形的判定和性质，有一定难度．
16．
【分析】
设出直线AB的解析式，联立反比例函数的解析式，确定一元二次方程，设出交点的坐标，则交点的横坐标就是方程的两个根，利用根与系数关系定理，点的横坐标分别表示三角形的面积，构造求解即可.
【详解】
设直线AB的解析式为y=mx+n，则点F（-，0），
根据题意，得mx+n=，整理，得m+nx-k=0，
设A（，），B（，），根据题意，得、是方程m+nx-k=0的两个根，
∴+=-，= -，
∵点是线段的中点，
∴点E的横坐标为=-，
∴点E的纵坐标为m×（-）+n=，
∵,
∴,
∴,
过点C作CM⊥AE，垂足为M，过点D作DN⊥AE，垂足为N，
则MC=2DN，
∵BD∥AC
∴∠DBN=∠CAM，
∴△DBN∽△CAM，
∴AC：BD= MC：DN，

∴AC=2BD，
∴= -2，
∴= -2×，
∴= -2，
∴=，= -，
∵,
∴（-+）=
∴=
∵= -，
∴=，
∴=k，
∴=8，
∴k=或k=-（舍去）
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式，一次函数的解析式，联立方程求交点坐标，中点坐标公式，图形面积分割，三角形的相似，一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握反比例函数的性质，灵活求解方程，活用根与系数关系定理，三角形的相似是解题的关键．
17．（1）0；（2）①，过程见解析．
【分析】
（1）根据绝对值、负指数幂的运算法则和锐角三角函数值进行计算；
（2）先通分，再按同分母分式相加减的法则运算．
【详解】
解：（1）原式=2+1-3．
（2）第 ① 步；
原式


．
【点睛】
本题考查了绝对值、负指数幂、三角函数值、分式的化简等知识点，熟知相应的运算法则是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：①、②、③、④处涂黑都可以使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形；

（2）如图所示：①、②使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形．

【点睛】
本题考查了利用中心对称设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题的关键．
19．（1）100；（2）见解析；（3）800人
【分析】
（1）由A景点的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用总人数乘以C景点人数所占的百分比，求出C景点的人数，再用总人数减去其他景点的人数，求出D景点的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以“最想去景点D（荪湖）”的学生人数所占的百分比即可．
【详解】
被调查的总人数为15÷15%=100（名）．
故答案为：100；
（2）C景点人数为：100×25%=25（人），
D景点人数为100-（15+20+25）=40（人），
补全条形统计图如下：


（3）2000× =800（人），
答：全校“最想去景点D（荪湖）”的学生人数有800人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（1），，；（2）①-4，②或
【分析】
（1）用待定系数法求函数的表达式，进而求解；
（2）①由，即可求解；
②令，解得或，即可求解．
【详解】
（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为，
令，解得或，
故抛物线与轴的交点坐标为、；
（2）①，
故的最小值为；
②令，解得x=0、或，
故的取值范围的或．
【点睛】
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
21．1.32毫米
【分析】
AB的长是圆的展开图即圆的周长，后用正切函数计算即可．
【详解】
解：由题意得
∵tan∠CAB=BC：AB，
∴．
答：转一圈向前推进的距离是1.32毫米.
【点睛】
本题考查了圆的展开图，解直角三角形，准确理解题意，明白ＡＢ的意义，选择适当的三角函数是解题的关键．
22．（1）40米/分，120米/分；（2）小明从家出发22.5分时，离家900米，此时妈妈刚好返回到家
【分析】
（1）由图象可知，总路程为1600米，小北40分到达电影院．可求小北的步行速度；妈妈15分时追上小北可求出妈妈的速度；
（2）根据“妈妈返回时骑车的速度只有原来的”，得速度为80米/分，可得返回时又用了7.5分钟，此时小北已经走了22.5分，即可求解．
【详解】
解：（1）小北的步行速度：1600÷40=40（米/分）；
妈妈追赶小北时的速度：40×15÷（15-10）=120（米/分）；
答：小北的步行速度为40米/分，妈妈追赶小北时的速度为120米/分；
（2）妈妈返回时骑车的速度：120×=80（米/分），
妈妈返回用时：120×5÷80=7.5（分），
此时，小北从家出发15+7.5=22.5（分），
22.5×40=900（米），
∴点A的坐标（22.5，900），其表达的实际意义是小北从家出发22.5分时，离家900米，此时妈妈刚好返回家．

【点睛】
本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程=速度×时间之间的关系的运用，分别求小北和妈妈的速度是解题的关键．
23．（1）见解析；
（2）四边形周长的最小值为14；
（3）或1．
【分析】
（1）根据旋转的选择得到，求得，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图2，过作于，于，求得，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）此题分两种情况：与，①如图3，延长交于，②如图4，，根据平行线的性质得到，，推出为等边三角形，，根据平行线的性质得到，求得为等边三角形；于是得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）将绕点顺时针旋转得，
，
，
即，
，
；
（2）当时，，
，，
如图2，过作于，于，

则，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
当点与点重合时周长最小，
四边形周长的最小值为14；
（3）此题分两种情况：与，
①如图3，延长交于，

，
，，
为等边三角形，，
，
，
，
，
为等边三角形；
，，
，
，
，
解得：；
；
②如图4，，同理可得，，，

，
，
根据得，，
解得：，
，
，
综上所述，或1．
【点睛】
本题考查了相似形的综合题，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（1）和是余等三角形，见解析；（2）①见解析，②
【分析】

【详解】
（1）∵为等腰直角三角形，
∴，，，
∴和是余等三角形，
作交于点，设，，

则，
∴，
∴，
∴；
（2）①连结并延长交于点，连结、，

在中，，
根据已知，可得：，所以，
又∵，，
∴，
∴，
由，可得，
同理可得，，
∴和是余等三角形．
②连结，，作于点，于点，

由①得，而，
∴，即，
∵，
∴为等腰直角三角形，易得，
∵，
∴，
∴，，
∴
在和中，
，
∴()，
设，，则，，
在中，，化简得，
在中，，化简得，
∴，
∴可以表示为：∴．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，勾股定理，二次函数，新定义等知识点，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识点解答．