浙江省宁波市江北区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

2022学年第一学期九年级学业质量检测（数学试题）

试 题 卷 Ⅰ

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．若，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．下列事件是必然事件的是（    ）

A．足球运动员在罚球区射门一次，射中    B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇

C．将实心铅球投入水中，下沉      D．雨后见彩虹，幸运

3．如图所示，，，，则AC的长为（    ）

A．    B．2     C．3   D．4

4．如图，在中，，，，则（    ）

A．    B．    C．4    D．

5．关于二次函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数图象的开口向下     B．函数图象的顶点坐标是

C．该函数的最大值是5     D．当时，y随x的增大而增大

6．如图，在中，，若，则的度数为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．如图，点P为外一点，连结OP，作以OP为直径的圆，两圆交于点Q，连结PQ，可得PQ是的切线，则判定其为切线的依据是（    ）

A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线

B．垂线段最短

C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等

8．如图，点G是的重心，于点H，若，，则△ABC的面积为（    ）

A．2     B．3     C．4     D．6

9．定义:在，D，E分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧．如图1，是的一条中内弧，如图2，在中，，D，E分别是AB，AC的中点。则所有中内弧所组成的图形（图中阴影部分表示）为（    ）

A．   B．

C．   D．

10．已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（    ）

A．    B．  C．   D．

试 题 卷 Ⅱ

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．请写出一个主视图、左视图、俯视图都相同的几何体:______．

12．淘宝某商户为了解新商品主图是否吸引人，对该商品的点击量和展现量进行了监测，得到商品点击率如下表所示:（注：）

根据上表，估计该商品展现量为30000时，点击率约为______．

13．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，则侧面展开图的圆心角的度数为______．

14．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图:作正六边形ABCDEF内接于，取的中点G，OG与AB交于点H；连结AG、BG；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为，正六边形的面积为，则______．

15．有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值．

若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当时，x的取值范围是____________．

16．如图，AB是半圆的直径且．P为半圆上一点（不与点A、B重合），D为AB延长线上一点，、的角平分线相交于点C．在点P移动的过程中，线段AC扫过的面积为____________．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）

17．（本题6分）

（1）计算:．

（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标．

18．（本题8分）甲、乙、丙三名同学玩石头剪刀布游戏，规则如下:若其中两人出的手势相同，另一人不同，则按以下方式分胜负：石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头；其他情况则为平局．

（1）甲同学决定随机出一个手势，则他出的手势为剪刀的概率为______．

（2）若甲同学出的是剪刀，请用画树状图或列表的方法，求甲同学获胜的概率．

19．（本题8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图．（保留作图痕迹）

（1）在图1中，画出的中线CD．

（2）在图2中，标出圆心P，并画出的角平分线CE．

（3）在图3中，画出的AC边上的高线BF．

20．（本题10分）图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到，参考数据:，，）

（1）求点D到FG所在直线的距离．

（2）求BC的长度．

21．（本题10分）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为的中点，过D作，交OC的延长线于点E．

（1）求证：DE是半圆O的切线．

（2）若，，求AC的长．

22．（本题12分）用长为8米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形AEFB，矩形EDHG，矩形GHCF的面积均相等，设AB的长为x米．

（1）请用含x的代数式表示AD的长．

（2）设矩形ABCD的面积为y，出于实际考虑，我们要求窗框的高度（AD）至少为1米，宽度（AB）至少为1.5米，则当x取何值时，透光面积y最大，并求出面积的最大值．

23．（本题12分）

【基础巩固】

（1）如图1，和都是等边三形，点B、D、E在同条直线上，AC与BE交于点F．求证：．

【尝试应用】

（2）如图2，在（1）的条件下，若，求CF的长度．

【拓展提高】

（3）如图3，在平行四边形ABCD中，，，，求的值．

24．（本题14分）如图1，C、D是以AB为直径的上的点，且满足，点P在上，PD交AC于点M，交AB于点G，PC交BD于点N，交AB于点H．

（1）求的度数．

（2）如图2，当点P是的中点时，

①求证：是等腰三角形．

②求的值．

（3）如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式．

2022学年第一学期九年级学业质量检测（数学）

参考答案与评分参考

一、选择题（每小题4分，共40分）

10．解：二次函数对称轴为，

由题意得，二次函数经过点，，

结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；

②当时，最小值为，最大值为5；

③当时，最小值为，最大值为时y的值；

∴m的取值范围是

二、填空题（每小题5分，共30分）

15．解：注意到时y的值小于、1、2时y的值，∵抛物线开口向下，∴抛物线必为先递增再递减，∴时y的值错误数据；又∵和2时y的值相等，∴抛物线对称轴为，∴和3时y的值相等，为-1∴当时，或．

16．

解：如图，作半圆AB的中点E，

∵AB是直径，∴，

∵AC、BC是角平分线，

∴，以E为圆心作弧，可知C在上运动，

注意到AF是的直径，因此，

三、解答题（本大题有8个小题，共80分）

17．（6分）解：

（）原式

（2）当时，

∴，

∴与x轴的交点为和

18．（8分）解：

（1）

（2）

∴

∴

19．（8分）解：

20．解：（1）

如图，过点D作于点N，

交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P．在中，

∵，，∴．

在中，∵，，

∴．易证四边形ABPM和四边形CHNP为矩形，

∴

（2）在中，

∵，，∴．

在中，∵，，

∴．

∴

21．（10分）解：

（1）连结OD交AC于点F．∵D是的中点，

∴，∵，∴，∴DE是半圆O的切线．

（2）∵，，∴，，

∴在中，，

∴，∵，∴

∴，∴

∵

∴

22．（12分）（1）设，则，

（2）

解得

∵对称轴为直线，

∴当时，y随x增大而减小，∴当时，

答：当时，透光面积最大，最大面积为．

23．（12分）

（1）

∵和都是等边三角形

∴

∴A，B，C，E四点共圆

∴

∴

∵

∴

（2）

∵是等边三角形

∴

∵

∴，

∵

∴，∴

易证

∴

设，

易证

∴，，解得

∴

（3）

∵，

∴是正三角形，

构造以AB为边的等边，连结DH，易证

∴，

∴

∴

∴

∴

设，∴

∴   解得，

∴

过点B作交AE的延长线于点M，

在中，，

∴，

∴

24．（1）

∵

∴

∵AB是直径

∴

∴

∴

（2）

①∵P是的中点，AB是直径

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴是等腰三角形

②∵

∴

∵

又∵

∴

∴

（3）

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵，

∴

∵

∴，

∵

∴