5.5　三角函数模型的简单应用

课标要求　1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.

素养要求　通过实际问题构建三角函数数学模型，发展学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.

自 主 梳 理

1.三角函数的周期性

y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；

y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；

y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝.

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质

(1)ymax＝A＋k，ymin＝－A＋k.

(2)A＝，k＝.

(3)ω可由ω＝确定，其中周期T可观察图象获得.

(4)由ωx1＋φ＝0，ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ＝π，ωx5＋φ＝2π中的一个确定φ的值.

3.三角函数模型的应用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的重要数学模型有着广泛的应用.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制.(√)

(2)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：

f(t)＝10－2sin，t∈[0，24).则实验室这一天的最大温差为4 ℃.(√)

2.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流I为________A.

答案　2.5

解析　I＝5sin＝5cos＝2.5(A).

3.振动量y＝sin(ωx＋φ)(φ>0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________.

答案　3πx－π

解析　∵T＝，∴ω＝3π，初相为－π，∴相位为3πx－π.

4.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，则单摆来回摆动一次所需的时间为________s.

答案　1

解析　因为单摆运动的周期为T＝＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1 s.

题型一　三角函数在物理中的应用

例1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋).

(1)画出它一个周期的图象；

(2)回答以下问题：

①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？

②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？

③小球来回摆动一次需要多少时间？

解　(1)周期T＝＝1(秒).

列表：

描点画图：

(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米.

②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米.

③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).

思维升华　在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：

(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；

(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；

(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.

训练1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).

(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

解　(1)由题图知A＝300，设t1＝－，t2＝，

则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.

∴ω＝＝150π.

又当t＝时，I＝0，

即sin＝0，

而|φ|<，∴φ＝.

故所求的解析式为I＝300sin.

(2)依题意，周期T≤，即≤(ω>0)，

∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，

故所求最小正整数ω＝943.

题型二　三角函数在生活中的应用

例2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.

(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0，24))的表达式；

(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？

解　(1)由题意知解得

易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，

易知8sin＋6＝－2，

即sin＝－1，

故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，

又|φ|<π，得φ＝－，

所以y＝8sin＋6(x∈[0，24)).

(2)当x＝9时，y＝8sin＋6

＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.

所以届时学校后勤应该开空调.

思维升华　解三角函数应用问题的基本步骤

训练2 已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16].

(1)求该地区这一段时间内的最大温差；

(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？

解　(1)x∈[4，16]，

则x－∈.

由函数解析式易知，当x－＝，

即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，

当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10  ℃，

所以最大温差为30－10＝20( ℃).

(2)令10sin＋20＝15，

可得sin＝－，而x∈[4，16]，

所以x＝.

令10sin＋20＝25，

可得sin＝，而x∈[4，16]，

所以x＝.

故该细菌在这段时间内能存活－＝(小时).

题型三　建立确定的三角函数模型

例3 如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.

(1)求h与θ间关系的函数解析式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式.

解　(1)由题意可作图

如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.

当<θ≤π时，∠BOM＝θ－.

h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8 sin；

当0≤θ≤，π<θ≤2π时，上述解析式也适合.

则h与θ间的函数解析式为

h＝5.6＋4.8sin.

(2)点B在⊙O上逆时针运动的角速度是＝，

∴t秒转过的弧度数为t，

∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞).

思维升华　面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程.

训练3 如图，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是(　　)

A.h＝8cost＋10 B.h＝－8cost＋10

C.h＝－8sint＋10 D.h＝－8cost＋10

答案　D

解析　由T＝12，排除B；当t＝0时，h＝2，排除A，C.

题型四　三角函数模型的拟合

例4 下表是某地某年月平均气温(华氏)：

以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴.

(1)用正弦曲线去拟合这些数据；

(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；

(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？

①＝cos；②＝cos；③＝cos.

解　(1)如图.

(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，

故＝7－1＝6，所以T＝12.

因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A＝73.0－21.4＝51.6，

所以A＝25.8.

(3)因为x＝月份－1，

所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0.

代入①，得＝>1≠cos，故①不适合；代入②，得＝<0≠cos，故②不适合.所以应选③.

思维升华　处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤

(1)根据原始数据绘出散点图.

(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.

(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.

(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.

训练4 下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：

(1)作出这些数据的散点图；

(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.

解　(1)散点图如图所示，

(2)设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋c，

由表知ymax＝37.4，ymin＝36.6，

则c＝＝37，A＝＝0.4，ω＝＝＝.

由0.4sin＋37＝37.4，

得sin＝1，

即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

∴φ＝2kπ－，k∈Z，取φ＝－，

故可用函数y＝0.4sin＋37来近似描述这些数据.

[课堂小结]

三角函数模型构建的步骤：

(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.

(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.

(3)利用三角函数模型解决实际问题.

(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.

一、基础达标

1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A.5   B.6 

C.8   D.10

答案　C

解析　由题意可知当sin(x＋φ)取最小值－1时，

函数取最小值ymin＝－3＋k＝2，得k＝5，

∴y＝3sin(x＋φ)＋5，当sin(x＋φ)取最大值1时，函数取最大值ymax＝3＋5＝8.

2.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)

A.该质点的振动周期为0.7 s

B.该质点的振幅为5 cm

C.该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大

D.该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大

答案　B

解析　由图形可知振幅为5，故选B.

3.已知简谐运动f(x)＝2sin

的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A.T＝6，φ＝   B.T＝6，φ＝

C.T＝6π，φ＝   D.T＝6π，φ＝

答案　A

解析　由题意知f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|<，所以φ＝，T＝＝6.故选A.

4.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)

答案　C

解析　设所对的圆心角为α，则α＝l，

弦AP的长d＝2·|OA|·sin，

即有d＝f(l)＝2sin .

5.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(　　)

A.ω＝，A＝3   B.ω＝，A＝3

C.ω＝，A＝5   D.ω＝，A＝5

答案　B

解析　由题意知A＝3，ω＝＝.

6.简谐运动y＝sin(x－2)的频率f＝________.

答案　

解析　f＝＝.

7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0，60].

答案　10sin

解析　将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，

当t＝0时，d＝0，得φ＝0；

当t＝30时，d＝10，可得ω＝，

所以d＝10sin .

8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.

答案　20.5

解析　由题意得　∴

∴y＝23＋5cos，

当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.

9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r.

(1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期；

(2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象.

解　(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦线.

∴y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝.

(2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin，

如图，其图象是将y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到.

10.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；

(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.

解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为

h＝10sin  t＋12(t≥0).

(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，

则≤t≤.

故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.

二、能力提升

11.稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)

A.10 000元   B.9 500元

C.9 000元   D.8 500元

答案　C

解析　因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，

即y＝500sin＋9 500.

当x＝3时，y＝9 000.

12.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝

Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定该函数的最小正周期为________，f(x)的解析式为________.

答案　8　2sin＋7，x∈[1，12]且x∈N*

解析　由条件可知

∴B＝7，A＝2.

又T＝2(7－3)＝8，∴ω＝，

令3×＋φ＝，∴φ＝－，

∴f(x)＝2sin＋7，x∈[1，12]且x∈N*.

13.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.

(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

解　(1)由表中数据知周期T＝12，

∴ω＝＝＝，

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.

由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.

∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.

(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴cos t＋1>1，

∴cos t>0，

∴2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，

即12k－3<t<12k＋3，k∈Z.①

由于8≤t≤20，∴令k＝1，得9≤t≤15.

∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.

三、创新拓展

14.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋)＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为________.

答案　

解析　因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，所以A＝20.

当t＝150(天)时达到最低油价，

即sin＝－1，

此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，

因为ω>0，所以令k＝1，

得150ωπ＋＝2π－，

解得ω＝.

故ω的最小值为.