第二课时　含量词命题的否定

课标要求　1.能正确使用存在量词对全称命题进行否定.2.能正确使用全称量词对特称命题进行否定.

素养要求　通过对全称命题与特称命题的否定的学习，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.

自 主 梳 理

1.命题的否定

一般地，命题“∀x∈I，p(x)”的否定是“∃x∈I，綈p(x)”；命题“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，綈p(x)”.即：

綈(∀x，p(x))⇔∃x，綈p(x)；綈(∃x，p(x))⇔∀x，綈p(x).

2.常见正面词语的否定

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)∃x∈M，x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反.(√)

(2)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.(×)

(3)全称命题与它的否定真假性相反.(√)

2.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.

答案　对任意的x∈R，2x>0

解析　特称命题的否定是全称命题.

3.已知命题p：∀x>2，x－2>0，则綈p是________.

答案　∃x>2，x－2≤0

4.若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为________.

答案　{a|－2≤a≤2}

解析　法一　由题意，知命题“对任意实数x，使x2＋ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝a2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.

法二　由题意，知命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是假命题.

若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”是真命题，则Δ＝a2－4×1×1>0，

解得a>2或a<－2，

故所求实数a的取值范围是

{a|－2≤a≤2}.

题型一　全称命题的否定

例1 写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)任何一个圆都是轴对称图形；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

解　(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.

(2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形.

(3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.

(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.

思维升华　全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.

训练1 写出下列全称命题的否定：

(1)每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)所有自然数的平方都是正数；

(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)对任意实数x，x2＋1≥0.

解　(1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.

(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.

(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.

(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0.

题型二　特称命题的否定

例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形.

解　(1)綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假).

(2)綈p：所有的素数都不是奇数(假).

(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形(假).

思维升华　特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.

训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.

解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.

(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.

(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.

题型三　根据全称命题、特称命题的否定求参数

例3 已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.

解　因为綈p为假命题，

所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，

m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，

即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，

故实数m的取值范围为{m|m>－4}.(说明：本题也可利用二次函数y＝x2－2x＋5＋m的图象恒在x轴上方，转化为对应方程Δ<0进行解题)

思维升华　1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.

2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.

训练3 已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.

解　因为綈p为假命题，

所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，

m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，

即∃x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，

故实数m的取值范围为{m|m>4}.(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)

[课堂小结]

1.命题p与其否定綈p的真假性只能一真一假，解决问题时两者可以相互转化.

2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.

(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.

(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.

(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.

一、基础达标

1.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A.∀x∈R，|x|＋x2<0 B.∀x∈R，|x|＋x2≤0

C.∃x∈R，|x|＋x2<0 D.∃x∈R，|x|＋x2≥0

答案　C

解析　此全称命题的否定为：∃x∈R，|x|＋x2<0.

2.下列命题中，为真命题的全称命题是(　　)

A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0

B.菱形的两条对角线相等

C.∃x∈R，x2＝x

D.一次函数y＝kx＋b(k>0)，y随x的增大而增大

答案　D

解析　A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；

B，D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；

C是特称命题，所以选D.

3.命题“∃x>0，x2＝x－1”的否定是(　　)

A.∀x>0，x2≠x－1 B.∀x≤0，x2＝x－1

C.∃x>0，x2≠x－1 D.∃x≤0，x2＝x－1

答案　A

解析　特称命题的否定是全称命题.

4.下列特称命题是假命题的是(　　)

A.存在实数a，b，使ab＝0

B.有些实数x，使得|x＋1|<1

C.有些直角三角形，其中一条直角边长度是斜边长度的一半

D.有些实数x，使得x2<0

答案　D

解析　任意实数x，x2≥0，故选D.

5.下列命题中的假命题是(　　)

A.∀x∈R，|x|＋1>0 B.∀x∈N＋，(x－1)2>0

C.∃x∈R，|x|<1 D.∃x∈R，＋1＝2

答案　B

解析　A中命题是全称命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；

B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；

C中命题是特称命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；

D中命题是特称命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题.

6.命题“任意x∈R，3x≥0”的否定是________.

答案　存在x∈R，3x<0

解析　全称命题的否定是特称命题，

故“任意x∈R，3x≥0”的否定是“存在x∈R，3x<0”.

7.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________________.

答案　存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

解析　由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.

8.命题“每个函数都有最大值”的否定是______________.

答案　有些函数没有最大值

解析　命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有最大值.

9.写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0.

解　(1)綈p：∃x∈R，x2－x＋＜0，假命题.

∵∀x∈R，x2－x＋＝≥0，

∴綈p是假命题.

(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题.

(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题.

∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，

∴綈r是真命题.

10.已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且命题p的否定是假命题，求实数a的取值范围.

解　因为命题p的否定是假命题，所以p是真命题，

又∀x∈{x|－3≤x≤2}，

都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，

所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，

则解得－3≤a≤1，

即实数a的取值范围是－3≤a≤1.

二、能力提升

11.将“x2＋y2≥2xy对任意实数x，y恒成立”改写成符号形式为(　　)

A.∀x，y∈R，x2＋y2≥2xy

B.∃x，y∈R，x2＋y2≥2xy

C.∀x>0，y>0，x2＋y2≥2xy

D.∃x<0，y<0，x2＋y2≥2xy

答案　A

解析　由全称命题的形式，知选A.

12.若命题“∃x∈R，x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________.

答案　[2，6]

解析　由已知得“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，

则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，

即实数m的取值范围是[2，6].

13.已知命题p：∀x∈[1，3]，都有m≥x，命题q：∃x∈[1，3]，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围.

解　由题意知命题p，q都是真命题.

由∀x∈[1，3]，都有m≥x都成立，

只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.

由∃x∈[1，3]，使m≥x成立，

只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，

因为两者同时成立，

故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.

三、创新拓展

14.一学校开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围，你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种).

答案　是

解析　两位同学题中m的取值范围是一致的，

∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，

而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，

则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，

∴两位同学题中m的取值范围是一致的.