2020-2021学年1.2 常用逻辑用语教学ppt课件

1.2.3　全称量词和存在量词

第1课时　含有量词的命题

知识点1　全称量词与全称命题

(1)“任意”“所有”“每一个”等量词叫作全称量词，数学上用符号“∀”表示．

(2)“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称命题，用符号简单地表示为∀x∈M，p(x)．

全称命题含有全称量词，有些全称命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．

1．命题“自然数是正整数”是全称命题吗？它的量词是什么？

[提示]　是全称命题．它的量词是“所有的”(“每一个”等)．即所有的自然数都是正整数．

1．下列命题中是全称命题的有________．(填序号)

①任意一个偶数都能被2整除；

②有的矩形是正方形；

③三角形的内角和是180°.

[答案]　①③

2.“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“∀”可表示为________．

∀x∈R，x2≥0　[命题“任意一个实数的平方都大于等于0”，用“∀”符号可以表示为∀x∈R，x2≥0.]

知识点2　存在量词与特称命题

(1)“有一个”“存在某个”“至少有一个”等量词叫作存在量词，数学上用符号“∃”表示．

(2)“存在M的某个元素x，使p(x)成立”是命题，叫作特称命题，用符号简单地表示为∃x∈M，p(x)．

2.“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．

[提示]　是特称命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．

3.命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________. (填“全称量词”或“存在量词”)

[答案]　有些　存在量词

类型1　全称命题与特称命题的识别

【例1】　判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题．

(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；

(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；

(4)某个四边形不是平行四边形．

[解]　(1)全称命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0.

(2)全称命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．

(3)特称命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．

(4)特称命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．

判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路

提醒：全称命题可以省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．

1．下列语句中，是全称命题的是________，是特称命题的是________．(填序号)

①菱形的四条边相等；

②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；

③负数的立方根不等于0；

④至少有一个负整数是奇数；

⑤所有有理数都是实数吗？

①②③　④　[①②③是全称命题；④是特称命题；⑤不是命题．]

类型2　全称命题与特称命题的真假

【例2】　判断下列命题的真假．

(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；

(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(4)∀x∈N，x2>0.

[解]　(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．

(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，

所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

全称命题与特称命题真假的判断方法

(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．

2．判断下列命题的真假．

(1)∀x∈R，x2＋1> ；

(2)∃α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2；

(3)存在一个数既是偶数又是负数；

(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；

(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．

[解]　(1)真命题，因为x2≥0，

所以x2＋1≥1，x2＋1>恒成立．

(2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意．

(3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数．

(4)假命题，如边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．

(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．

类型3　依据含量词命题的真假求参数的取值范围

【例3】　命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．

判断方程ax2＋2x－1＝0是否为关于x的一元二次方程，由此思考命题为真的情况.

[解]　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；

当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.

综上可得a≥－1．

即实数a的取值范围是{a|(a≥－1)}.

利用含量词的命题的真假求参数的取值范围

(1)含参数的全称命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．

(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．

3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．m≥1 B．m＞1　　　

C．m＜1　　　 D．m≤1

B　[命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1．]

1．(多选题)下列是全称量词的是(　　)

A．任意一个 B．所有的

C．每一个 D．很多

ABC　[很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．故选ABC．]

2．下列命题中是特称命题的是(　　)

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．任意一个负数都比零小

C．每一个正方形都是矩形

D．一定存在没有最大值的二次函数

D　[D选项是特称命题．]

3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　　)

A．每个二次函数的图象都开口向上

B．存在一条直线与已知直线不平行

C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b

D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立

C　[B，D是特称命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C．]

4．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．

特称命题　假　[命题p是特称命题，

因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0，

即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．]

5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________．

∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0　[“有些”是存在量词．所以命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”可表述为∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．常见的全称量词有那些？用符号怎么表示？

[提示]　全称量词有：“所有的”“任意一个”等，并用符号“∀”表示．

2．常见的存在量词有那些？用符号怎么表示？

[提示]　存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“∃”表示．

3．全称命题如何用符号表述？特称命题呢？

[提示]　全称命题用符号简记为“∀x∈M，p(x)”，特称命题用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．