数学（江苏苏州A卷）——2022-2023学年数学八年级下册期中综合素质测评卷（含解析）

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2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷
数学·全解全析
1．在日常驾驶过程中，驾驶人要按照标志标线行驶，文明安全出行．下列交通标志是中心对称图形的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形定义可得答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．下列调查中，适合采用普查方式的是（    ）．
A．检测武功县的空气质量 B．了解全国中学生的消防安全意识
C．了解某品牌节能灯的使用寿命 D．对搭乘飞机的乘客进行安全检查
【答案】D
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】A. 检测武功县的空气质量，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
B. 了解全国中学生的消防安全意识，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
C. 了解某品牌节能灯的使用寿命，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
D. 对搭乘飞机的乘客进行安全检查，适合采用全面调查方式，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．下列分式中属于最简分式的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【详解】解：A．该分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故该选项符合题意；
B．该分式的分子、分母中含有公因式（x-1），不是最简分式，故该选项不符合题意；
C．该分式的分子、分母中含有公因式2，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D．该分式的分子、分母中含有公因式（x+3），不是最简分式，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4．对于反比例函数，下列说法不正确的是（    ）
A．图像分布在二、四象限内
B．图像经过点
C．当时，随的增大而增大
D．若点，都在反比例函数的图像上，且时，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质即可求解．
【详解】解：反比例函数，
∴，图像在第二、四象限，选项正确；
当时，，选项正确；
根据图像可知，当时，随的增大而增大，选项正确；
点，都在反比例函数的图像上，因为图像在第二、四象限，当点在第二项，点在第四象限时，时，则，则选项不正确，符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数解析式理解反比例函数图像性质是解题的关键．
5．二次函数y=的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B． C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB=30，则点C的坐标为（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=BD，设BD=t，则OD=t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得2t2=t，得出BD=，OD=，然后根据菱形的性质得出C点坐标．
【详解】解：连结BC交OA于D，如图，

∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=BD，
设BD=t，则OD=t，B（t，t）
把B（t，t）代入y=2x2得2t2=t，解得t1=0（舍去），t2=，
∴BD=，OD= ，
故C点坐标为：（-，）．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD的长是解题关键．
6．关于的分式方程有增根，则增根是(    )
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】A
【分析】分式方程有增根，令最简公分母为0，即可求出增根．
【详解】解：分式方程有增根，
最简公分母，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程增根的问题，解题的关键是掌握分式方程增根的由来．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．
7．正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．
【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．
8．若、都在函数的图象上，且，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．
【详解】解：函数，该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小，
∵、都在函数的图象上，且 ，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
9．将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF．若 AB＝3，则 BC 的长为（    ）

A． B．2 C．1.5 D．
【答案】D
【分析】设，先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，又根据菱形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得点共线，由此可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】设，
四边形ABCD是矩形，
，
由折叠的性质得：，
，
四边形AECF是菱形，
，
在和中，，
，
，即，
点共线，
，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，利用三角形全等的判定定理与性质证出，从而得出点共线是解题关键．
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．则线段BE的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由在菱形ABCD中，∠A=60°，可证得△ABD是等边三角形，又由O为对角线BD的中点，OE⊥AB，可求得OB的长，∠OBE的度数，继而根据30°角直角三角形的性质求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，∠OBE＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝30°，
∵O为对角线BD的中点，
∴OB＝BD＝2，
∴BE＝OB＝1．
故选A．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．证得△ABD是等边三角形是解决此题的关键．

二、填空题
11．不透明的袋子中有除颜色外完全相同的5个红球和3个绿球，从袋子中随机摸出4个球，至少有1个红球是_____________事件．（填随机，必然或不可能）
【答案】必然
【分析】根据事件的分类特点解答即可．
【详解】解：不透明的袋子中有除颜色外完全相同的5个红球和3个绿球，从袋子中随机摸出4个球，至少有1个红球是必然事件，
故答案为：必然事件．
【点睛】此题考查事件分类，正确掌握必然事件，随机事件及不可能事件的定义是解题的关键．
12．当x＝_____时，式子的值为0．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件，进行分析即可求得的值．
【详解】式子的值为0


故答案为：
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0的条件是“分子为0，分母不为0” ．
13．如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为___．

【答案】50°
【分析】根据平行线的性质，可得∠ABE的度数，根据角平分线的定义，可得答案．
【详解】∵EF∥AB,∠CEF=100°，
∴∠ABC=∠CEF=100°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=×100=50°，
故答案为50°
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质定理，熟练掌握性质是解题的关键.
14．如图，等边ABC的边AC经过点O，且OAOC＝21，BC轴，点A在反比例函数第二象限的图象上，已知ABC的面积为9，则的值为 ______．

【答案】-4
【分析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，交ｘ轴于点E，记AB与x轴交于点F．易证OAFCAB，再由OAOC＝21，得OAAC＝23，再根据面积比等于相似比的平方．算出S△OAF＝4，｜k｜＝OE·AE＝2S△OAE＝S△OAF＝4，再结合图像算出k的值．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，交x轴于点E，记AB与x轴交于点F．

∵BCx轴，
∴∠AFO=∠B，∠AOF=∠C
∴OAFCAB，
∵OAOC＝21，
∴
∴＝（）2=
∵ABC的面积为9，
∴S△OAF＝4．
∵BCx轴，△ABC为等边三角形，
∴△OAF为等边三角形，
又∵AE⊥x轴，
∴S△OAE＝S△OAF，
∴｜k｜＝OE·AE＝2S△OAE＝S△OAF＝4，
∵点A在反比例函数y＝第二象限的图象上，
∴k＝－4．
故答案为：-4．
【点睛】此题考查了求反比例函数中的参数k，解题的关键是数形结合．
15．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（2，5），则另一个交点坐标为_________________．
【答案】（﹣2，﹣5）
【详解】∵另一个交点的坐标与点（2，5）关于原点对称，
∴另一交点的坐标为（-2，-5）．
故答案是：(-2,-5) .
16．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，,表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第6棵树种植点为 ________；第2016棵树种植点为_______．
【答案】     2     404
【详解】试题解析：  



…，



当k=6时,  
当k=2016时,
故答案为2，404.
17．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为_______．

【答案】105°
【分析】过点P作PH⊥AB于H，由全等可知∠BAP=∠DAP=45°，从而得到∠APH=45°，然后通过AP可求出HP的长，从而得到∠BPH，即可得到∠APB的度数．
【详解】解：过点P作PH⊥AB于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
在△APB和△APD中

∴△APB≌△APD，
∴∠BAP=∠DAP，
由∠BAD=90°，可知∠BAP=∠DAP=45°，
∴∠APH=90°-45°=45°，
∴PH=AH,
∵PA=1，
在中，由勾股定理可得：，
∵PB=，
∴∠PBA=30°，
∴∠BPH=90°-30°=60°，
∴∠APB=∠APH+∠BPH=45°+60°=105°
故答案为：105°
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
18．如图，△ABC中，∠BCA＝120°，BC＝AC，AB＝6，以边AB为斜边在△ABC形外作Rt△ADB，使得∠ADB＝90°，则四边形ACBD最大面积是________________．

【答案】3+9
【分析】四边形ABCD的面积由两部分组成，一个是△ABC，另一个是△ADB，其中△ABC是固定三角形，先根据已知条件求出△ABC的面积，再根据△ADB是直角三角形，利用勾股定理得，AD2+BD2是定值，设AD＝x，BD＝y，通过完全平方公式，构造不等式，求出S△ABD的最大值．
【详解】解：四边形ABCD的面积由两部分组成，一个是△ABC，另一个是△ADB，
其中△ABC是固定三角形，过点C作CH⊥AB于H，如下图所示：

由∠BCA＝120°，BC＝AC，AB＝6可得，
BH＝HA＝3，∠BCH＝60°，
∴CH＝，
∴S△CAB＝•AB•CH＝×6×＝3，
对于△ABD，
∵△ABD是直角三角形，
∴有AD2+BD2＝AB2，
设AD＝x，BD＝y，
∴S△ABD＝xy，其中 ，
∵ ，
∴，将代入，
，
则 ，
∴S△ABD的最大值为9，
故四边形ABCD的最大面积为：
SABCD＝S△ABC+S△ABD＝3+9，
故答案为：3+9．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，完全平方公式，通过勾股定理和完全平方公式构造不等式是解题的关键．

三、解答题
19．（1）计算：；
（2）利用平方差公式计算．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据实数混合运算法则，零指数幂以及绝对值的定义进行计算即可；
（2）配上原式，连续利用平方差公式即可．
【详解】解：（1）原式


原式





【点睛】本题考查平方差公式，零指数幂以及实数的混合运算，掌握有理数混合运算的方法以及平方差公式、零指数幂的性质是正确解答的前提．
20．解分式方程：
（1）                  （2）
【答案】（1）x＝13；（2）分式方程无解
【分析】（1）通过去分母，去括号，移项，未知数系数化为1，检验，即可求解；
（2）通过去分母，去括号，移项，未知数系数化为1，检验，即可求解．
【详解】（1）去分母，得：5（x+2）＝3（2x﹣1），
去括号，移项，得：x＝13，
经检验：当x＝13时，（x+2）≠0且2x﹣1≠0，
∴x＝13是原方程的解；
（2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4，
解得：x=﹣2，   
经检验x=﹣2是增根，
∴该分式方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，未知数系数化为1，检验，解分式方程，是解题的关键．
21．先化简，再求值：，其中．
【答案】，-1
【分析】把括号内的分式分母进行因式分解并通分计算，然后把分式的除法运算转化为乘法运算，约分后把x的值代入计算即可得解．
【详解】解：




当时
原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
22．随着通信技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只能选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)这次统计共抽查了多少名学生？
(2)通过计算，补全条形统计图；
(3)该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
【答案】(1)100
(2)见解析
(3)600

【分析】（1）先根据电话的人数及其所占百分比求得总人数；
（2）先求出用短信的人数，再根据各方式的人数和等于总人数求得微信的人数即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中“微信”人数所占比例可得．
（1）
解：人，
答：共抽查了100名学生；
（2）
喜欢用短信的人数：100×5%=5人，
喜欢用微信的人数：100-20-30-5-5=40人，
补充图形，如图示，

（3）
人.
即该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生估计有600人.
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点．

（1）请在图中以格点为顶点，画出一个边长分别为，2，5的三角形；
（2）请判断三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理，数形结合的思想画出三角形即可．
（2）利用勾
股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求．

（2）这个格点三角形是直角三角形，理由如下：
∵AB＝，AC＝2，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠A＝90°，
∴这个格点三角形是直角三角形.
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.
24．已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，﹣4）．
（1）求k的值．
（2）若点B（m，﹣6）在这个反比例函数的图象上，则m＝_______．
（3）点A（x1，y1）B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2，比较y1，y2的大小关系．
【答案】（1）k＝9；（2）；（3）当0＜x1＜x2或x1＜x2＜0，y1＜y2；当x1＜0＜x2，y2＜y1．
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，列式求解即可；
（3）分类讨论：当0＜x1＜x2或x1＜x2＜0，则y1＜y2；当x1＜0＜x2，则y2＜y1．
【详解】解：（1）依题意得：1﹣k＝2×（﹣4）＝﹣8，所以k＝9；
（2）∵点B（m，﹣6）在这个反比例函数的图象上，
∴﹣6m＝﹣8，
∴m＝，
故答案为；
（3）∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
当0＜x1＜x2或x1＜x2＜0，y1＜y2；
当x1＜0＜x2，y2＜y1．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、其中涉及反比例函数解析式的求法、反比例函数图象的增减性、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．如图AB，CD相交于点O，AO＝BO，．那么OC与OD相等吗?

说明你的理由．小明的解题过程如下，请你说明每一步的理由．
解：OC＝OD，理由如下：
∵（    ）
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（    ）
在△AOC和△BOD中

∴（    ）
∴∠C＝∠D（    ）
【答案】答案见解析
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，然后利用“角角边”证明△AOC和△BOD全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】解：OC＝OD，理由如下：
∵AC∥DB（已知），
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（两直线平行，内错角相等）
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD（全等三角形对应边相等）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，是逻辑推理训练题，熟练掌握平行线的性质与全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
26．如图，四边形为平行四边形，，分别在和的延长线上，，，，求的长.

【答案】
【分析】根据平行四边形的判定定理证明四边形ABDE是平行四边形可得AB=DE=CD，即D是CE的中点，在直角△CEF中利用勾股定理得到CE的长，则求得CD，进而根据AB=CD求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用，正确得出CE的长是解题的关键．
27．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）过点A作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为8，请直接写出满足条件的直线l的条数．

【答案】（1）y＝，y＝x+1；（2）x＞2或﹣3＜x＜0；（3）满足条件的直线l有两条．
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，可以求得一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据题目中的条件和函数图象可以直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）根据题意可以求出满足条件的直线l，本题得以解决．
【详解】（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，3），B（﹣3，n），
∴3＝，得m＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴n＝＝﹣2，
即点B的坐标为（﹣3，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b过点A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴，得，
即一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，
∴不等式kx+b＞的解集是x＞2或﹣3＜x＜0；
（3）满足条件的直线l有两条，
理由：设直线l的解析式为y＝mx+n，
当x＝0时，y＝n，当y＝0时，x＝，
即直线l与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，n），
∵点A（2，3）在直线l上，
∴2m+n＝3，得n＝3﹣2m，
∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为8，
∴当m＞0时，，
解得，m＝±，
当m＜0时，，此时无解，
故满足条件的直线l有两条．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．
28．已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．．

(1)如图1，若，求的长度；
(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；
(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）先根据等边三角形性质得三角形ABE为直角三角形，再利用勾股定理求解即可；
（2）延长BF交AC延长线于H，先证明△ABE≌△CAD，得到△BGF为等边三角形，BF+GE =BE，再证明△ABG≌△CBF，得CF∥BE，再证明△GCF≌△HCF，得C是EH中点，结合等量代换，完成证明；
（3）先将原式变形为，将三角形BPC绕B顺时针旋转60°得三角形BDE，延长BD至F，使DF=BD，延长BE至G，使EG=BE，连接AG，构造出来，利用两点之间线段最短判断出其最小值为AG的长度，再利用勾股定理进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，边长为4，AE=2，
∴E为AC中点，
∴EB⊥AC，即∠BEA=90°，
由勾股定理得：．
（2）证明：延长BF交AC延长线于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
由三角形外角性质知，∠BGF=∠ABE+∠BAG=∠CAD+∠BAG=60°，
∵∠GBF=60°，
∴△BGF为等边三角形，
∴BF=GF=BG，
∴BF+GE=BG+GE=BE，
∴∠ABG=60°－∠DBG，∠CBF=60°－∠DBG，
∴∠ABG=∠CBF，
∴△ABG≌△CBF，
∴∠BFC=∠AGB=120°，
∴∠CFH=60°=∠GBF，∠GFC=60°，
∴CF∥BE，
∴∠FCH=∠CEG，∠EGC=∠GCF，
∵CE=CG，
∴∠CEG=∠CGE，
∴∠GCF=∠FCH，
∴△GCF≌△HCF，
∴CG=CH=CE，GF=FH=BF，
即C是EH中点，F是BH中点，
∴BE=2CF，
故．

（3）解：原式变形为，
将三角形BPC绕B顺时针旋转60°得三角形BDE，延长BD至F，使DF=BD，延长BE至G，使EG=BE，连接PF，GF，如图所示，

由旋转性质知，△BPD为等边三角形，
∴∠PDB=60°，
∵BD=DF=PD，
∴∠PFB=30°，
∴∠FBP=90°，
∴PF=，
由辅助线知：DE为三角形BFG的中位线，
∴FG=2DE=2PC，
∴=，
故当A、P、F、G共线时，取最小值，最小值为，
过G作GH⊥AH于H，
在直角三角形BGH中，BG=2BC=8，∠GBH=60°，
∴BH=4，GH=，
∴AG=，
∴=，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、旋转、勾股定理、三角形的中位线等知识点，解决问题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．