2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.10《圆锥综合问题-取值范围问题》(含详解)

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2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.10《圆锥综合问题-取值范围问题》1.如图，以P(0，-1)为直角顶点的等腰直角△PMN内接于椭圆＋y2＝1(a＞1)，设直线PM的斜率为k.(1)试用a，k表示弦长|MN|；(2)若这样的△PMN存在3个，求实数a的取值范围.        2.已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e＝，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-， 直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．      3.已知方向向量为的直线l过点(0，﹣2)和椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若已知点D(3，0)，点M，N是椭圆C上不重合的两点，且，求实数λ的取值范围.        4.已知椭圆E：＋=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.              5.已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．(1)求向量与的数量积；(2)设＝λ，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．      6.已知圆M：(x＋2)2＋y2＝64及定点N(2,0)，点A是圆M上的动点，点B在NA上，点G在MA上，且满足，，点G的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线y＝x和y＝﹣x分别交于P、Q两点.当|k|>时，求△OPQ(O为坐标原点)面积的取值范围.      
0.答案详解 1.解：(1)不妨设直线PM所在的直线方程为y＝kx-1(k＜0)，代入椭圆方程＋y2＝1，整理得(1＋a2k2)x2-2ka2x＝0，解得x1＝0，x2＝，则|PM|＝|x1-x2|＝-，所以|MN|＝|PM|＝-.(2)因为△PMN是等腰直角三角形，所以直线PN所在的直线方程为y＝-x-1(k＜0)，同理可得|PN|＝-＝.令|PM|＝|PN|，整理得k3＋a2k2＋a2k＋1＝0，k3＋1＋a2k(k＋1)＝0，(k＋1)(k2-k＋1)＋a2k(k＋1)＝0，即(k＋1)[k2＋(a2-1)k＋1]＝0.若这样的等腰直角三角形PMN存在3个，则方程k2＋(a2-1)k＋1＝0有两个不等于-1的负根k1，k2，则因为a＞1，所以a＞. 2.解：(1)由条件知a﹣c＝1-，∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y2＋2x2＝1．(2)设l：y＝kx＋m与椭圆C交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)联立得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2﹣1)＝0△＝(2km)2﹣4(k2＋2)(m2﹣1)＝4(k2﹣2m2＋2)＞0 (*)x1＋x2，x1x2 ∵3，∴﹣x1＝3x2∴x1＋x2＝﹣2x2，x1x2＝﹣3x22，消去x2，得3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，∴3()2＋40,整理得4k2m2＋2m2﹣k2﹣2＝0                         m2时，上式不成立；m2时，k2，因λ＝3，∴k≠0，∴k20，∴﹣1＜m＜-或＜m＜1容易验证k2＞2m2﹣2成立，所以(*)成立即所求m的取值范围为(﹣1，-)∪(，1)． 3.解:(1)∵直线l的方向向量为 
∴直线l的斜率为k＝，又∵直线l过点(0，﹣2)
∴直线l的方程为y＋2＝x
∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点
∴椭圆的焦点为(2，0)
∴ ，又∵ 
∴  ，∴ 
∴椭圆方程为 
(2)设直线MN的方程为x=ay＋3
由 ，得
设M，N坐标分别为
则(1)(2)
＞0∴，
∵，显然，且
∴∴ 
代入(1) (2)，得
∵，得 ，即 
解得5﹣2＜λ＜5＋2且λ≠1. 4.解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0.当t=4时，E的方程为＋=1，A(－2,0).由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.由此直线AM的方程为y=x＋2.将x=y－2代入＋=1得7y2－12y=0.解得y=0或y=，所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(2)由题意知，t＞3，k＞0，A(－，0).将直线AM的方程y=k(x＋)代入＋=1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t=0.由x1·(－)=得x1=，故|AM|=|x1＋|=.由题设知，直线AN的方程为y=－(x＋)，故同理可得|AN|=.由2|AM=|AN|得=，即(k3－2)t=3k(2k－1).当k=时上式不成立，因此t=.t＞3等价于=＜0，即＜0.由此得或解得＜k＜2.因此k的取值范围是(，2). 5.解：(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1.由得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，由根与系数的关系得∴·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－4＝－3.∴向量与的数量积为－3.(2)由(1)知∵＝λ，∴y2＝－λy1.将y2＝－λy1代入得∴∴＝－4m2，∴4m2＝＝λ＋－2.令f(λ)＝λ＋－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，∴4m2∈，∴m2∈，∴m∈∪.∴l在y轴上的截距－的取值范围为∪. 6.解:(1)为的中点，且是线段的中垂线，，又，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，设椭圆方程为()，则，，，所以曲线C的方程为.(2)设直线l：()，由消去y，可得.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以，.①又由可得；同理可得.由原点O到直线PQ的距离为和，可得.②将①代入②得，当时，，综上，△OPQ面积的取值范围是(8,＋∞).