2025年高考数学一轮复习-考点突破练13-圆锥曲线中的最值、范围、证明问题-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-考点突破练13-圆锥曲线中的最值、范围、证明问题-专项训练【含解析】，共11页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知椭圆C，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.
2.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为63,且经过点P(1,3).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)A,B为椭圆C上两点,直线PA与PB的倾斜角互补,求△PAB面积的最大值.
3.已知P是平面上的动点,且点P与F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值为22.设点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设不与y轴垂直的直线l过点F1且与曲线E交于M,N两点,曲线E与x轴的交点为A,B,当|MN|≥42时,求AM·NB+AN·MB的取值范围.
4.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,F是椭圆E的右焦点,点Q在椭圆E上,且|QF|的最大值为3,椭圆E的离心率为12.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B),与直线x=2交于一点M,∠PFB的角平分线与直线x=2交于点N,求证:N是线段BM的中点.
5. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A,B两点,过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA,OB,l于点P,Q,N.
(1)判断线段PM与NQ长度的大小关系,并证明你的结论;
(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO为半径的圆内或圆上,求直线AB斜率的取值范围.
6.已知椭圆C的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,A(-3,0),B(0,3),D(2,1)中恰有两点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)P,Q两点在C上,且直线DP,DQ的斜率互为相反数,直线DP,DQ分别与直线AB交于M,N两点,证明:|DP|·|DN|=|DQ|·|DM|.
考点突破练13 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1.解 (1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x.
(2)(方法一 最优解)
设点P(x1,y1),Q(x2,y2).
又F(1,0),则PQ=(x2-x1,y2-y1),QF=(1-x2,-y2).
因为PQ=9QF,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10x2-9,y1=10y2.
又因为点P在抛物线C上,所以y12=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=25x-925.
易知直线OQ的斜率存在.
设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,斜率取得最值.
由y=kx,y2=25x-925,得k2x2=25x-925,
即k2x2-25x+925=0,(*)
当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即-252-4k2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ斜率的最大值为13.
(方法二)同方法一得到点Q的轨迹方程为y2=25x-925,易知x2≠0,
所以直线OQ的斜率kOQ=y2x2=y225y22+910=10y225y22+9,
当y2=0时,kOQ=0.当y2≠0时,kOQ=1025y2+9y2;
当y2>0时,因为25y2+9y2≥225y2·9y2=30,
此时0