高考第44讲以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题练习

这是一份高考第44讲以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题练习，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第四十四讲 以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题
一、选择题
1．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝π3，则e12+e22的最小值是
A． 2+32 B． 2＋3 C． 1+232 D． 2+34
【答案】A
【解析】
根据题意，可知PF1+PF2=2a,PF1-PF2=2m，
解得PF1=a+m,PF2=a-m，
根据余弦定理，可知(2c)2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos60∘，
整理得c2=a2+3m24，
所以e12+e22=c2a2+c2m2=a2+3m24a2+a2+3m24m2 =1+14(3m2a2+a2m2)≥1+32=2+32，
故选A.
2．已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上.在ΔEFP中，若sin∠EFP=μ⋅sin∠FEP，则μ的最大值为（ ）
A． 22 B． 32 C． 2 D． 3
【答案】C
【解析】
由题意得，准线l:x=-p2，E-p2,0，Fp2,0，过P作PH⊥l，垂足为H，则由抛物线定义可知PH=PF，于是μ=sin∠EFPsin∠FEP=PEPF =PEPH=1cos∠EPH=1cos∠PEF，∵y=cosx在(0,π)上为减函数，∴当∠PEF取到最大值时（此时直线PE与抛物线相切），计算可得直线PE的斜率为1，从而∠PEF=45°，∴μmax=122=2,故选C.

3．过y2=4x上任一点作x-32+y2=1的切线切于P,Q两点，则PQ的最小值为（ ）
A． 142 B． 1 C． 73 D． 423
【答案】A
【解析】

根据题意，设Mm,n为抛物线y2=4x上任一点，则n2=4m，
圆x-32+y2=1的圆心C为3,0,
设MC=t，则PM=t2-1，
又由SΔPMC=12×PM×CP=12×PQ2×MC,
变形可得PQ=21-1t2，
所以当t最小时，PQ最小，
又由MC2=m-32+n-02=m2-2m+9=m-12+8≥8，
则当M的坐标为1,4或1,-4时，MC=t取得的最小值8，
此时PQ最小，且PQ的最小值为2×1-18=142，故选A.
4．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F(3,0)为椭圆C的右焦点，则 OP⋅PF的取值范围为（ ）
A． (-16,-10) B． (-10,-394] C． (-16,-394] D． (-∞,-394]
【答案】C
【解析】
因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列
所以2a+2c=4b ，即a+c=2b
F(3,0)为椭圆C的右焦点，所以c=3
在椭圆中，a2=c2+b2
所以a2=c2+b2a+c=2bc=3，解方程组得a=5b=4c=3
所以椭圆方程为x225+y216=1
设P(m,n) 0 则m225+n216=1，则n2=16-1625m2
OP⋅PF=m,n3-m,-n
=3m-m2-n2
=3m-m2-16-1625m2
=-925m2+3m-16
=-925m-2562-394
因为0 当m趋近于0时，OP⋅PF的值趋近于-16
所以OP⋅PF的取值范围为(-16,-394]
所以选C
5．P是双曲线x29-y216=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=4上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（ ）
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
【答案】D
【解析】
双曲线a=3,b=4,c=5，故焦点为F1-5,0,F25,0，圆心分别为-5,0,5,0，半径分别为1,2.画出图像如下图所示. 要求PM-PN的最大值，也即是求PM的最大值减去PN的最小值.由图可知PM的最大值为PF1+1，PN的最小值为PF2-2，故PM-PN的最大值为PF1+1-PF2-2=PF1-PF2+3=6+3=9.故选D.

6．已知椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则kPBkQF的取值范围是(　　) ．
A． [1,+∞] B． [23,+∞) C． -∞,43 D． （-∞，0）∪（0，1）．
【答案】D
【解析】
椭圆C：x24+y23=1焦点在x轴上，a=2，b=3，c=1，右焦点F（1，0），
由P在圆x2+y2=4上，则PA⊥PB，
则kAP⋅kPB=-1 ，则kPB=-1kAP ，kPBkQF=-1kAPkQF=-1kAPkQF，
设Q（2cosθ，3sinθ），
则kAP⋅kQF=3sinθ2cosθ+2⋅3sinθ2cosθ-1=3sin2θ4cos2θ+2cosθ-2=3(1-cos2θ)4cos2θ+2cosθ-2 ，
设t=cosθ，t∈（-1，1）， 则f（t）=3(1-t2)4t2+2t-2，∴kPBkQF=4t2+2t-23(t2-1)=43+23⋅1t-1∈（-∞，1）， 且不等于0．
故选D：
7．已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，若在右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则离心率e的取值范围是（ ）
A． [2,+∞) B． (2,+∞) C． (1,2) D． (1,2]
【答案】B
【解析】
设AF1:y=k(x+c),(|k|2
选B.
8．已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（ ）
A． 0,52 B． 1,52 C． -52,52 D． 1,52
【答案】D
【解析】
由x2-y2=4得双曲线的渐近线方程为y=±x，
根据图象可得当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，
当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，
把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，
令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=52或k=﹣52（舍）．
∴1＜k＜52时直线与双曲线的右支有2个交点.
故选：D．
9．设椭圆x2a2+y2b2=1 （a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点N(c,a2)在椭圆的外部，点M是椭圆上的动点，满足MF1+MN<32F1F2恒成立，则椭圆离心率e的取值范围是
A． (0，22) B． (22，1) C． (22，56) D． (56,1)
【答案】D
【解析】
∵点N(c,a2)在椭圆的外部，∴c2a2+a24b2＞1，b2a2＜12 ，
由椭圆的离心率e=ca=1-b2a2＞1-12=22 ，
|MF1+MN=2a-MF2+MN|， 又因为-|MF2+MN| ≤ |NF2|，且|NF2|=a2，要MF1+MN<32F1F2恒成立，即2a-MF2+MN ≤ 2a+a2<32×2c，则椭圆离心率的取值范围是(56,1)．故选：D．
10．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，Ρ是它们的一个公共点，且∠F1ΡF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1e2的最大值是（ ）
A． 3 B． 433 C． 2 D． 233
【答案】D
【解析】

如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，
则根据椭圆及双曲线的定义PF1+PF2=2a1,PF1-PF2=2a2，
∴PF1=a1+a2,PF2=a1-a2，
设F1F2=2c,∠F1PF2=π3，
则在ΔPF1F2中由余弦定理得
4c2=a1+a22+a1-a22-2a1+a2a1-a2cosπ3，
∴化简a12+3a22=4c2，该式变成1e12+3e22=4，
∴1e12+3e22=4≥23e1e2，
∴1e1e2≤233，1e1e2的最大值是233，故选D.
11．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆C2:x2+y2-4x+3=0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则PN+9QM的最小值为

A． 36 B． 42
C． 49 D． 50
【答案】B
【解析】
设抛物线方程为y2=2px
由抛物线过定点2,4得2p=8，抛物线方程y2=8x，焦点为C22,0，
圆的标准方程为x-22+y2=1,∴圆心为2,0，半径r=1，
由于直线过焦点，可设直线方程为y=kx-2，设Px1,y1,Qx2,y2,
y=kx-2y2=8x⇒kx2-4k+8x+4k=0，∴x1x2=4
又PN+9QM=PC2+1+9QC2+9=PC2+9QC2+10
=x1+2+9x2+2+10=x1+9x2+30≥2x1⋅9x2+30=12+30=42，
x1=x2时等号成立，
∴PN+9QM的最小值为42，故选B.
12．已知抛物线M:y2=2x，圆N:x-12+y2=r2 （r>0），过点1,0的直线l交圆N于C,D两点，交抛物线M于A,B两点，且满足AC=BD的直线l恰有三条，则r的取值范围为(    )
A． r∈(0，32] B． r∈（2，+∞） C． r∈（2，+∞） D． r∈(1，2]
【答案】B
【解析】
由题意，当l⊥x轴时，过x=1与抛物线交于(1,±2)，与圆交于(1,±r)，满足题设；
当l与x轴不垂直时，设直线l:x=my+1,m≠0，
代入抛物线的方程y2=2x，得y2-2my-2=0，则Δ=4m2+8，
把直线l:x=my+1代入圆的方程(x-1)2+y2=r2，整理得y2=r2m2+1，
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
因为AC=BD，所以y1-y3=y2-y4，即y1-y2=y3-y4
可得2m2+2=2rm2+1，则r=(m2+2)(m2+1)=m4+3m2+2，
设t=m2>0，则r=t2+3t+2，此时t2+3t+2>2，
所以r>2，即实数r的取值范围是(2,+∞)，故选B.
13．已知F1-c,0,F2c,0是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，若椭圆上存在一点P使得PF1•PF2=c2，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． 33，53 B． 33,22 C． 3-1,32 D． 22,1
【答案】B
【解析】
设Px0,y0, 则x02a2+y02b2=1a>b>0,∴y02=b21-x02a2 ，由题PF1•PF2=c2。
∴-c-x0,-y0⋅c-x0,-y0=c2, 化为x02-c2+y02=c2, ∴x02+b21-x02a2=2c2,
整理得∴x02=a2c23c2-a2,∵0≤x02≤a2,
∴0≤a2c23c2-a2≤a2, 解得33≤e≤22 ，
故选B.
14．已知椭圆C1:x23+y22=1的左、右焦点为F1,F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2，若A(1,2)，且B(x1,y1),C(x2,y2)是曲线C2上不同的点，满足AB⊥BC，则y2的取值范围为( )
A． (-∞,-6)∪[10,+∞) B． [10,+∞) C． (-∞,-10]∪[6,+∞) D． [6,+∞)
【答案】A
【解析】
∵椭圆C1：x23+y22=1的左右焦点为F1，F2，
∴F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l1：x=﹣1，
设l2：y=t，设P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），
则y=t，且由|MP|=|MF2|，
∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，
∴曲线C2：y2=4x．
∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，
∴AB→=(x1-1，y1-2)，BC→=(x2-x1，y2-y1)，
∵AB⊥BC，
∴AB→⋅BC→=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，
∵x1=14y12，x2=14y22，
∴（y12﹣4）（y22﹣y12）+(y1-2)(y2-y1)16=0，
∵y1≠2，y1≠y2，
∴(y1+2)(y1+y2)16+1=0，
整理，得y12+(2+y2)y1+(2y2+16)=0，
关于y1的方程有不为2的解，
∴△=(2+y2)2-4(2y2+16)≥0，且y2≠﹣6，
∴y22-4y2-60≥0，且y2≠﹣6，
解得y2＜﹣6，或y2≥10．
故选：A．
15．已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2=2PF2,设C1与C2的离心率分别为e1,e2，则e2-e1的取值范围是( )
A． 13，+∞ B． 13，+∞ C． 12，+∞ D． 12，+∞
【答案】D
【解析】
如图所示：

设椭圆与双曲线的焦距为F1F2=2c,|PF1|=t,由题意可得
∵      t+c=2a1,t-c=2a2
∴       t=2a1-c,t=2a2+c ，∴    2a1-c=2a2+c ，即a1-a2=c
∴    1e1-1e2=1，即e1=e2e2+1
∴   e2-e1=e2-e2e2+1=e22e2+1=11e22+1e2，
由e2>1可知0<1e2<1，令x=1e2∈(0,1)，∴    y=x2+x∈(0,2)，
所以e2-e1>12，故选D.
16．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且∠OPA=90°，则椭圆的离心率的取值范围为
A． (32,1) B． (22,1) C． (0,22) D． (0,32)
【答案】B
【解析】
∵∠APO=90°，∴点P在以AO为直径的圆上，
∵O(0,0),A(a,0)，
∴以AO为直径的圆方程为x-a22+y2=a24,即x2+y2−ax=0，
由x2a2+y2b2=1x2+y2-ax=0消去y,得(b2−a2)x2+a3x−a2b2=0.
设P(m,n)，
∵P、A是椭圆x2a2+y2b2=1与x2+y2−ax=0两个不同的公共点，
∴m+a=-a3b2-a2,ma=a2b2a2-b2,可得m=ab2a2-b2.
∵由图形得0 即b2 ∴a<2c,解得椭圆离心率e=ca>c2c=22，
又∵e∈(0,1)，
∴椭圆的离心率e的取值范围为22,1.
本题选择B选项.
17．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[π6,π4]，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )
A． [22,1] B． [22,3-1] C． [22,32] D． [33,63]
【答案】B
【解析】
椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，
BF1，
∴四边形AFF1B为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，
∠ABF=α，则：∠AF1F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα
椭圆的离心率e=2c2a=1sinα+cosα=12sin(α+π4)，α∈[π6，π4]，
∴5π12≤α+π4≤π2，
则：2(3+1)4≤sin（α+π4）≤1，
∴22≤12sin(α+π4)≤3﹣1，
∴椭圆离心率e的取值范围：[22，3-1]，
故答案为：B

18．抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（ ）
A． 118 B． 54 C． 32 D． 1
【答案】A
【解析】

由题意设Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，直线AB的方程为y=kx+b，
联立方程y=kx+by=2x2，整理得2x2-kx-b=0
∴Δ=k2+8b>0，x1+x2=k2，x1x2=-b2，AB=1+k2⋅k24+2b
点M的纵坐标y0=y1+y22=x12+x22=k24+b，(y0>0)
∵弦AB的长度为3
∴1+k2⋅k24+2b=3，即(1+k2)⋅(k24+2b)=9
∴ (1+4y0-4b)⋅(y0+b)=9，
整理得(1+4y0-4b)⋅(y0+b)=9，即(1+4y0-4b)⋅(4y0+4b)=36
根据基本不等式，(1+4y0-4b)+(4y0+4b)≥2(1+4y0-4b)⋅(4y0+4b)=12，当且仅当b=18，y0=118时取等，即1+8y0≥12，
∴y0≥118，点M的纵坐标的最小值为118.
故选A.
19．已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则9e12+e22的最小值是（ ）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 16
【答案】C
【解析】
由题意设焦距为2c，椭圆长轴长2a1，双曲线实轴长为2a2，取椭圆与双曲线在一象限的交点为P，由椭圆和双曲线定义分别有
PF1+PF2=2a1，①PF1-PF2=2a2，②∵PF1⊥PF2,∴PF12+PF22=4c2③
①2+②2，得PF12+PF22=2a12+2a22，④
将④代入③得a12+a22=2c2
则9e12+e22=9c2a12+c2a22=5+9a222a12+a122a22≥8，
故9e12+e22最小值为8.
20．已知抛物线x2=4y的焦点为F，双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F1(c,0)，过点F,F1的直线与抛物线在第一象限的交点为M，且抛物线在点M处的切线与直线y=-3x垂直，则ab的最大值为（ ）
A． 32 B． 32 C． 3 D． 2
【答案】B
【解析】
∵抛物线x2=4y的焦点F为(0,1)，双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F1(c,0)
∴过点F，F1的直线方程为y=-1cx+1
∵抛物线在点M处的切线与直线y=-3x垂直
∴抛物线在点M处的切线的斜率为33
∵抛物线方程为y=14x2
∴y'=12x
设点M的坐标为(x0,y0)，则12x0=33，即x0=233.
∴y0=14x02=13
∴M(233,13)
∴13=-1c×233+1，则c=3.
∵c2=a2+b2
∴a2+b2=3≥2ab，当且仅当a=b=62时取等号.
∴ab的最大值为32
故选B.
21．过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆x-12+y2=r2交于C，D两点，若有三条直线满足AC=BD，则r的取值范围为（ ）
A． 32,+∞ B． 2,+∞ C． 1,32 D． 32,2
【答案】B
【解析】
由题意，（1）当l⊥x轴，过x=1与抛物线交于(1,±2)，与圆交于(1,±r)，满足题设；
（2）当l不与x轴垂直时，设l:x=my+1，代入y2=4x联立得y2-4my-4=0，
把直线l:x=my+1代入圆的方程(x-1)2+y2=r2，得y2=r2m2+1，
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),C(x4,y4)，
因为AC=BD，所以y1-y3=y2-y4,y1-y2=y3-y4，可得4m2+1=2rm2+1，
所以r=2(m2+1)>2，当r>2时，仅有三条，故选B．
22．（2017·海口市调研）在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈π6,π4，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． 0,63 B． 0,32 C． 63,32 D． 63,223
【答案】A
【解析】
因为OPMN是平行四边形，因此MN//OP且MN=OP，
故yN=a2，代入椭圆方程可得xN=3b2，所以kON=3a3b=tanα．
因α∈π6,π4，所以33<3a3b<1即33<3a3b<1，
所以a<3b即a2<3a2-c2，解得0 23．又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了.已知直线l:kx-y-2k+1=0与椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A、B两点，与圆C2:x-22+y-12=1交于C、D两点．若存在k∈-2,-1，使得AC=DB，则椭圆C1的离心率的取值范围是
A． 0,12 B． 12,1 C． 0,22 D． 22,1
【答案】C
【解析】
直线l：kx-y-2k+1=0，即kx-2-y+1=0
∵直线l恒过定点2，1
∴直线l过圆C2的圆心
∵AC=DB，∴AC2=C2B
∴C2的圆心为A、B两点中点
设Ax1，y1，Bx2，y2
x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1
上下相减可得：x1+x2x1-x2a2=-y1+y2y1-y2b2
化简可得-x1+x2y1+y2∙b2a2=y1-y2x1-x2=k
-2∙b2a2=k
b2a2=-k2∈-12，1
e=b2a2∈0，22
故选C
24．已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，且AF=3FB，抛物线的准线l与x轴交于C，AA1⊥l于点A1，且四边形AA1CF的面积为63，过K(-1,0)的直线l'交抛物线于M,N两点，且KM=λKN(λ∈(1,2])，点G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，则点G的横坐标x0的取值范围为（ ）
A． (3,134] B． (2,94] C． (3,92] D． (112,7]
【答案】A
【解析】
过B作BB1⊥l于B1，设直线AB与l交点为D，

由抛物线的性质可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，
设BD=m，BF=n，则BDAD=BB1AA1=BFAF=13，
即mm+4n=13，
∴m=2n．
又BB1CF=BDDF，∴np=mm+n=23，∴n=2p3，
∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，
又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=23p，CD=3p，
∴A1C=3p，
∴直角梯形AA1CF的面积为12（2p+p）•3p=63，
解得p=2，
∴y2=4x，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵KM→=λKN→，
∴y1=λy2，
设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=4，
∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，
由①②可得4m2=(1+λ)2λ=λ+1λ+2，
由1＜λ≤2可得y=λ+1λ+2递增，即有4m2∈（4，92]，即m2∈（1，98]，
又MN中点（2m2﹣1，2m），
∴直线MN的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），
令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，134]，
故选：A．
25．已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）有相同的焦点F，点A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）
A． (0 ，  π6) B． (π3 ，  π2) C． (π4 ，  π3) D． (π6 ，  π4)
【答案】B
【解析】
：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以p=2c，因为AF与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为(p2,p)，将其代入双曲线方程可得：p24a2-p2b2=1，
因为b2=c2-a2，代入上式可得：c2a2-4c2c2-a2=1，
化简得：c4-6c2a2+a4=0，两边同时除以a4得：e4-6e2+1=0，
解得e2=3+22或3-22（舍），设渐近线斜率为k，
由e2=c2a2=1+b2a2=1+k2，解得k2=2+22>3，所以倾斜角应大于60∘，
所以区间可能是(π3,π2)，
故选B.


二、填空题
26．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），圆M：(x-a)2+y2=b24．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当b2+1a2-472lna取得最小值时，C的实轴长为________．
【答案】4
【解析】
设渐近线方程为y=bax，即bx-ay=0，
∵bx-ay=0与x-a2+y2=b24相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
∴aba2+b2=b2⇒b2=3a2，
b2+1a2-472lna=3a2+1a2-472lna=fa，
∴f'a=6a-2a3-472a=12a4-47a2-42a3
=12a2+1a2-42a3=12a2+1a+2a-22a3，
∵a>0,∴a>2时，f'a>0；a<2时，f'a<0，
fa在0,2上递减，在2,+∞上递增，
∴a=2时，fa有最小值，
此时长轴2a=4，故答案为4.
27．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为e，直线AB的斜率为k，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF、BF的中点分别为M、N，以线段MN为直径的圆过原点O.若0 【答案】[2-2,1)
【解析】
设F(c,0)，直线AB的方程为y=kx，
联立椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，可得(b2+a2k2)x2=a2b2，
解得x=±abb2+a2k2，
设A(abb2+a2k2,kabb2+a2k2)，B(-abb2+a2k2,-kabb2+a2k2)，
可得M(c2+12⋅abb2+a2k2,12⋅kabb2+a2k2)，N(c2-12⋅abb2+a2k2,-12⋅kabb2+a2k2)，
由线段MN为直径的圆过原点O，
可得OM⊥ON，即OM⋅ON=0，
即有c24-14⋅a2b2b2+a2k2-14⋅k2a2b2b2+a2k2=0，
可得k2=a2b2-b2c2a2c2-a2b2=a4-2a2c2+c42a2c2-a4=1-2e2+e42e2-1，
由0 解得2-2≤e<1，
故填：[2-2,1).
28．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为22，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q.记λ=AP+BQPQ，若直线l的斜率k≥3，则λ的取值范围为______．
【答案】(2,263]
【解析】
因为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为22，
所以2b=2ca=22a2=b2+c2，解得a=2,b=c=1，所以椭圆C:x22+y2=1，
因为过右焦点的直线l过椭圆C交于不同的两点A,B，
设直线的方程为y=k(x-1)，
联立y=k(x-1)x22+y2=1，得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0，
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>y2，则x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1，
λ=AP+BQPQ=2-x1+2-x2y1-y2=4-(x1+x2)k(x1-1)-k(x2-1)=4-4k22k2+1k(x1+x2)2-4x1x2
=4-4k22k2+1k(4k22k2+1)2-4×2k2-22k2+1=2k2+2k=2+2k2，
因为k≥3，所以当k=3时，λmax=2+23=263；
当k→+∞时，λmin→2，
所以实数λ的取值范围是(2,263].
29．已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.
【答案】433
【解析】
设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,
∵∠F1PF2=π3，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cosπ3，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，
所以1e12+3e22=4，
由柯西不等式得（1+13）（1e12+3e22）≥（1e1+3e2×13）2
所以1e1+1e2≤433
故答案为：433
30．设F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1b>a>0左右焦点，P是双曲线上一点，ΔPF1F2内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与y轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____.
【答案】e∈23+25,+∞
【解析】
根据题意，不妨设P在第一象限，M,N,A分别为ΔPF1F2内切圆与ΔPF1F2三边的切点， 如图所示：

∵2a=PF1-PF2=PM+MF1-PN+NF2=MF1-NF2=AF1-AF2
∴A在双曲线上，故ΔPF1F2内切圆圆心为a,a，半径为a
∴圆心到渐近线bx-ay=0的距离是d=ba-a2b2+a2=ab-ac
∴弦长BC=2a2-d2=2a2-a2b-ac22=2a1-b-ac22
依题得2a1-b-ac22≤a，即b-ac22≥34.
∴b-a≥32c
∴b2≥32c+a2
∵b2=c2-a2
∴c2-43ac-8a2≥0，同时除以a2得e2-43e-8≥0
∴e≥23+25
故答案为e∈23+25,+∞
31．已知O为坐标原点，过点Pa,-2作两条直线与抛物线C：x2=4y相切于A，B两点，则△AOB面积的最小值为__________．
【答案】42.
【解析】
设Ax1,y1,Bx2,y2，∵y=14x2,y'=12x，
∴以A为切点的切线方程为y-y1=12x1x-x1，
即y-14x12=12x1x-12x12,∴y=12x1x-14x12，
同理B为切点的切线方程为y=12x2x-14x22，代入Pa,-2，
可得-2=a2x2-y2,-2=a2x1-y1，
∴过AB的直线方程为a2x-y+2=0，联立x2=4ya2x-y+2=0，
可得x2-2ax-8=0，∴4a2+32>0,x1+x2=2a,x1x2=-8，
∴AB=1+a24x1-x2=1+a24x1+x22-4x1x2=a2+4⋅a2+8
又O到直线AB的距离为d1=21+a24=4a2+4，
S=12a2+4⋅a2+8⋅4a2+4=2a2+8≥28=42，
当a=0时，等号成立，故答案为42.
32．已知O为坐标原点，过点Pa,-2作两条直线与抛物线C：x2=4y相切于A，B两点，则△AOB面积的最小值为__________．
【答案】42
【解析】
设Ax1,y1,Bx2,y2，∵y=14x2,y'=12x，
∴以A为切点的切线方程为y-y1=12x1x-x1，
即y-14x12=12x1x-12x12,∴y=12x1x-14x12，
同理B为切点的切线方程为y=12x2x-14x22，代入Pa,-2，
可得-2=a2x2-y2,-2=a2x1-y1，
∴过AB的直线方程为a2x-y+2=0，联立x2=4ya2x-y+2=0，
可得x2-2ax-8=0，∴4a2+32>0,x1+x2=2a,x1x2=-8，
∴AB=1+a24x1-x2=1+a24x1+x22-4x1x2=a2+4⋅a2+8
又O到直线AB的距离为d1=21+a24=4a2+4，
S=12a2+4⋅a2+8⋅4a2+4=2a2+8≥28=42，
当a=0时，等号成立，故答案为42.
33．设点M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P、Q，若ΔPMQ为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
【答案】6-22 【解析】
：因为圆M与x轴相切于焦点F，
所以圆心与F的连线必垂直于x轴，不妨设M(c,y)，
因为M(c,y)在椭圆上，则y=±b2a(a2=b2+c2)，所以圆的半径为b2a，
由题意y>c>22y，所以c2<(1-e2)2<2e2，所以6-22 值范围)．
34．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1b>a>0的右焦点为F,O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A,B两点，使OA⋅OB=0，则双曲线离心率的取值范围是__________．
【答案】5+12,3
【解析】
由OA⋅OB=0得OA⊥OB．
（1）当直线l与x轴垂直时，则有AB⊥OF，
∴AF⊥OF，即b2a=c，
∴b2=c2-a2=ac，
∴e2-e-1=0，解得e=1+52．
（2）当直线l与x轴不垂直时．
若直线l平行于渐近线时，直线l的斜率为k=ba，直线方程为y=ba(x-c)，
代入双曲线方程可得点A的坐标为(a2+c22c,-b32ac)，
∴OA的斜率为k'=-b3a(a2+c2)，
又此时有OA⊥l，
∴kk'=-b4a2(a2+c2)=-1，
整理得c2=3a2，解得e=3．
但此时直线与双曲线的右支只有一个交点，不合题意．
∴双曲线离心率的取值范围是5+12,3．
35．已知双曲线Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，P是Γ右支上的一点，Q是PF2的延长线上一点，且QF1⊥QF2，若sin∠PF1Q=35，则Γ的离心率的取值范围是______________．
【答案】(1,2)
【解析】
设PF1=m，则PF2=m-2a，PQ=35m，QF2=2a-25m，QF1=45m，
∴2c2=1625m2+2a-25m2，即m2-2ma+5a2-5c2=0，

又QF1+QF2>F1F2
即45m+2a-25m>2c，得：m>5c-a
∴方程m2-2ma+5a2-5c2=0有大于5c-a的根
∴25c-2-2×5×c-a×a+5a2-5c2<0
得e<2，又e>1
∴e∈(1,2)
故答案为：(1,2)
36．已知A,B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA,PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是______.
【答案】[32,1)
【解析】
不妨设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0,Px,y,Ax1,y1,则B-x1,-y1，
所以x2a2+y2b2=1，x12a2+y12b2=1，,两式相减得x2-x12a2=-y2-y12b2，所以y2-y12x2-x12=-b2a2，所以直线PA,PB斜率的绝对值之和为y-y1x-x1+y+y1x+x1≥2y2-y12x2-x12=2ba，由题意得，2ba≤1，所以a2≥4b2=4a2-4c2，即3a2≤4c2，所以e2≥34，所以32≤e<1.
故答案为：[32,1)
37．已知抛物线C:x2=8y的焦点为F，准线为l1，直线l2与抛物线C相切于点P，记点P到直线l1的距离为d1，点F到直线l2的距离为d2，则d2d1+2的最大值为__________．
【答案】12
【解析】
依题意，得点F0,2，因为y=x28，所以y'=x4,不妨设点Px0，y0,
则直线l2：y-y0=x04x-x0，即x04x-y-y0=0，故点F到直线l2的距离，
d2=-2-y0x0216+1=2+y0y02+1=22+y0，而点P到直线l1的距离d1=PF=2+y0，
∴t=2×2+y0y0+4=2×12+y0+22+y0≤2×122+y0∙22+y0=12，
当且仅当2+y0=22+y0，即y0=0时取等号，
∴t的最大值为12.
故答案为：12
38．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的3倍，则1e1+1e2的最大值为_______.
【答案】103
【解析】
设椭圆的短半轴长和双曲线虚半轴长分别为b1、b2，椭圆的长半轴长和双曲线实半轴长分别为a1、a2，则b1=3b2⇒a12+9a22=10c2，令a1=10csinθ，a2=103ccosθ，∴1e1+1e2=103(3sinθ+cosθ)=103sin(θ+φ)≤103.
故答案为：103.
39．已知抛物线： 的焦点为，准线为，过点作直线交于， 两点，过， 分别作的垂直交于， 两点，设， 的斜率分别为， ，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】由已知可设，代入得： ．
设，则
由，得． 　
设，则当且仅当即取到最小值为．
故答案为：2
40．已知正ΔABC的边长为23，在平面ABC中，动点P满足AP=1，M是PC的中点，则线段BM的最小值为__________．
【答案】52
【解析】
如图所示，以A点为原点，建立坐标系，则：
A0,0,B-3,-3,C3,-3,Px',y',Mx,y，
M为PC的中点，则：x'=2x-3y'=2y+3，得x-322+y+322=14，
即点M的轨迹满足圆的方程，圆心坐标N32,-32，
所以BMmin=BN-12=3-12=52.

41．抛物线y2=8x的焦点为F，点A6,3,P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则ΔPAF周长的最小值为__________．
【答案】13
【解析】
由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长
l=PA+PF+AF=PA+AF+d=PA+d+5≥13，填13.
42．若双曲线上存在一点满足以为边长的正三角形的内切圆的面积等于（其中为坐标原点， 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】 由题意以为边长的正三角形内切圆的半径为，
所以内切圆的面积为，
又为双曲线上一点，从而，所以，
又以为边长的正三角形的内切圆的面积等于，所以，
得，即，所以双曲线的离心率的取值范围是.
43．已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P在双曲线的右支上，如果PF1=tPF2t∈1,3，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是__________．
【答案】0,3
【解析】
渐近线的斜率为ba=e2-1=ca2-1.设PF1=m,PF2=tm,根据双曲线的定义有tm-m=t-1m=2a,且tm+m=t+1m≥2c,两式相除得到t+1t-1≥ca即ca≤1+2t-1min由于t∈1,3,所以ca≤1+2t-1min=2,所以ba=e2-1=ca2-1≤3,即斜率的取值范围是0,3.
44．已知椭圆Γ： x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A,B在椭圆Γ上， AF1⋅F1F2=0且AF2=λF2B，则当λ∈2,3时，椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】55,33
【解析】因为AF1⋅F1F2=0，所以可设A-c,b2a,Fc,0,Bx,y，由AF2=λF2B，得2c,-b2a=λx-c,y，即B1+2λc,-b2λa，因为B1+2λc,-b2λa在椭圆x2a2+y2b2=1上，所以1+2λ2c2a2+-b2λa2b2=1，即λ+22c2+b2=λ2a2，即λ+22c2+b2=λ2a2，即λ2+4λ+3c2=λ2-1a2，即ca=λ2-1λ2+4λ+3=λ-1λ+3=1-4λ+3在区间2,3上为增函数，所以ca∈55,33，即椭圆的离心率的取值范围为55,33.
45．过圆M:x+12+y2=79的圆心M的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点，且MB=3MA，则点A到圆M上任意一点的距离的最小值为__________．
【答案】73
【解析】设A(y124,y1),B(y224,y2),由题得y2=3y1kMA=kMB∴y2=3y1y1-0y124+1=y2-0y224+1,∴y1=±233.
不妨设y1>0,∴y1=233,∴A(13,233),∴|MA|=(13-(-1))2+(233-0)2=237.
所以点A到圆M上任意一点的距离的最小值为237-r=237-137=137.故填73.