2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.11《圆锥综合问题-定值问题》(含详解)

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2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.11《圆锥综合问题-定值问题》1.已知△ABC的顶点A(1,0)，点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上.(1)求点C的轨迹T的方程；(2)已知过P(0，－2)的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q(1,2)与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值.          2.已知椭圆D：＋=1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点).(1)求椭圆D的标准方程；(2)过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x=2交于点M，直线l与椭圆D的另一交点为P，证明：·为定值.           3.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)，F为C的焦点，点A(xA，0)为x轴正半轴上的动点，直线l过点A且与C交于P，Q两点，点B(xB，0)为异于点A的动点.当点A与点F重合且直线l垂直于x轴时，|PQ|＝4.(1)求C的方程；(2)若直线l不垂直于坐标轴，且∠PBA＝∠QBA，求证：xA+xB为定值.          4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为4，椭圆的一个焦点为圆x2＋y2﹣2x＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为k1,k2，当k1k2＝﹣时，△MON的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．           5.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(,﹣)，且它的焦距是短轴长的倍.(1)求椭圆C的方程.(2)若A，B是椭圆C上的两个动点(A，B两点不关于x轴对称)，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1k2＝λ时，△AOB的面积S为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.       6.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的焦距为4，P是椭圆C上的点.(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设=＋.证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值.      
0.答案详解1.解：(1)设C(x，y)(y≠0)，因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B(－x,0)，由|AB|=|AC|，得(x＋1)2=(x－1)2＋y2，化简得y2=4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y2=4x(y≠0).(2)直线l的斜率显然存在且不为0，设直线l的方程为y=kx－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得ky2－4y－8=0，所以y1＋y2=，y1y2=－，kMQ====，同理kMQ=，kMQ·kNQ=·==4，所以Q(1,2)与M，N两点连线的斜率之积为定值4. 2.解：(1)因为|OA|=|OF|，所以b=c，而△AOF的面积为1，所以bc=1，解得b=c=，所以a2=b2＋c2=4，所以椭圆D的标准方程为＋=1.(2)由题意可知直线MC的斜率存在，设其方程为y=k(x＋2)，代入＋=1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4=0，所以P.又M(2,4k)，所以·=(2,4k)·=4，为定值. 3.解：(1)由题意得：，当点A与F重合且直线l垂直于x轴时，l方程为：，代入得：，，解得：，C的方程为：.(2)证明：可设直线的方程为，，，将代入中得：，则，，由得：，即，即，，又直线不垂直于坐标轴，，，为定值. 4.解：(1)由题意可知，2ab＝4，圆x2＋y2﹣2x＝0的圆心为(1,0)，所以c＝1，因此，联立，解之，故椭圆的方程为. (2)设，当直线MN的斜率存在时，设方程为，由，消可得， 则有，即，，所以.     点到直线的距离，所以.    又因为，所以，化简可得，满足， 代入， 当直线的斜率不存在时，由于，考虑到关于轴对称，不妨设，则点的坐标分别为,此时，综上，的面积为定值.  法二：设，由题意，可得， 所以，而 因为，所以，故为定值. 5.解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(,﹣)所以又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以 从而 联立方程组 解得 所以 (2)设存在这样的常数使 的面积为定值.因为A，B两点不关于x轴对称，故斜率存在，设直线的方程为点点 则由知即即所以  ①联立方程组 消去得由韦达定理有代入①得 化简得 ②，点到直线的距离△AOB的面积将②代入上式，再平方得要使上式为定值, 只需即需 从而 此时 所以存在这样的常数 此时为定值. 6.解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C的方程为＋=1，因为点P在椭圆C上，所以＋=1，解得a2=5或a2=(舍去)，所以椭圆C的方程为＋y2=1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由＋=得，D(x1＋x2，y1＋y2)，所以直线AB的斜率kAB=，直线OD的斜率kOD=，由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)=0，即·=－，所以kAB·kOD=－.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.