2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习6.4《数系的扩充与复数的引入》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习6.4

《数系的扩充与复数的引入》

一              、选择题

1.若复数z满足z(1﹣i)＝1＋i，i为虚数单位，则z2 023等于(　　)

A.﹣1         B.1          C.﹣i            D.i

2.z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则复数z对应的点在(　　)

A.第一象限      B.第二象限    C.第三象限      D.第四象限

3.计算(1＋2i)(2＋i)等于(　　)

A.﹣5i         B.5i         C.﹣5         D.5

4.已知(1﹣i)2z＝3＋2i，则z等于(　　)

A.﹣1﹣i         B.﹣1＋i      C.﹣＋i         D.﹣﹣i

5.设2(z＋)＋3(z﹣)＝4＋6i，则z等于(　　)

A.1﹣2i         B.1＋2i        C.1＋i         D.1﹣i

6.设z＝i3＋，则z的虚部是(　　)

A.﹣1      B.﹣i       C.﹣2i        D.﹣2

7.已知＝b＋i(a，b是实数)，其中i是虚数单位，则ab等于(　　)

A.﹣2          B.﹣1         C.1           D.3

8.已知a∈R，i是虚数单位.若与3i－互为共轭复数，则a等于(　　)

A.         B.－          C.－3             D.3

9.设i为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数a的值为(　　)

A.﹣1         B.1          C.﹣2           D.2

10.已知复数z满足(2＋i)z＝2﹣i(i为虚数单位)，则z等于(　　)

A.3＋4i       B.3﹣4i         C.＋i            D.﹣i

11.设复数z＝，f(x)＝x2 022＋x2 021＋…＋x＋1，则f(z)等于(　　)

A.i        B.﹣i          C.1            D.﹣1

12.复数z1，z2满足z1=m＋(4－m2)i，z2=2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围是(　　)

A.[－1,1]       B.    C.         D.

二              、填空题

13.已知i是虚数单位，复数＝________.

14.已知复数z1＝在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量与虚轴垂直，则z2的虚部为________.

15.计算：6＋＝________.

16.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z﹣2|＝1，则的取值范围是________.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：C

解析：由z(1﹣i)＝1＋i，得z＝＝＝i，所以z2 023＝i2 023＝i4×505＋3＝i3＝﹣i.

2.答案为：A

解析：(1＋i)z＝2i(i为虚数单位)，∴z＝＝i＋1，则z在复平面内对应的点(1,1)在第一象限.

3.答案为：B

解析：(1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i﹣2＝5i.

4.答案为：B

解析：z＝＝＝＝﹣1＋i.

5.答案为：C

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a﹣bi，代入2(z＋)＋3(z﹣)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.

6.答案为：D

解析：z＝i3＋＝﹣i＋＝﹣i﹣i＝﹣2i，∴z的虚部为﹣2.

7.答案为：A

解析：由题设可得a＋2i＝bi﹣1，则a＝﹣1，b＝2，故ab＝﹣2，故选A.

8.答案为：D

解析：＝＝＝－i，

3i－＝3i－＝3i－＝1＋i，

∵与3i－互为共轭复数，∴＝1，－＝－1，解得a＝3.故选D.

9.答案为：C

解析：由题意，得＝＋i，则⇒a＝﹣2，故选C.

10.答案为：D

解析：由(2＋i)z＝2﹣i，得z＝＝＝﹣i，故选D.

11.答案为：B

解析：∵z＝＝＝＝﹣i，

∴f(z)＝f(﹣i)＝(﹣i)2 022＋(﹣i)2 021＋…＋(﹣i)＋1.

∵(﹣i)＋(﹣i)2＋(﹣i)3＋(﹣i)4＝﹣i﹣1＋i＋1＝0，

∴f(z)＝505×0﹣i﹣1＋1＝﹣i.

12.答案为：C

解析：由复数相等的充要条件可得

化简得4－4cos2 θ=λ＋3sin θ，

由此可得λ=－4cos2 θ－3sin θ＋4=－4(1－sin2 θ)－3sin θ＋4

=4sin2 θ－3sin θ=42－，因为sin θ∈[－1,1]，

所以4sin2 θ－3sin θ∈.

二              、填空题

13.答案为：4﹣i.

解析：＝＝＝4﹣i.

14.答案为：﹣.

解析：z1＝＝﹣i，所以A(,﹣)，设复数z2对应的点B(x0，y0)，则＝(x0﹣,y0＋)，又向量与虚轴垂直，所以y0＋＝0，故z2的虚部y0＝﹣.

15.答案为：﹣1＋i.

解析：原式＝i6＋＝﹣1＋i.

16.答案为：[﹣，].

解析：复数z＝x＋yi，且|z﹣2|＝1，所以(x﹣2)2＋y2＝1，它表示圆心为(2,0)，半径为1的圆，则表示圆上的点与原点连线的斜率，

由题意设过点O且与圆相切的直线方程为y＝kx，则消去y，整理得(k2＋1)x2﹣4x＋3＝0，由Δ＝16﹣12(k2＋1)＝0，

解得k＝﹣或k＝，由题意得的取值范围是[﹣，].