2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习6.2《平面向量基本定理及坐标表示》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习6.2

《平面向量基本定理及坐标表示》

一              、选择题

1.如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　 　)

A.e1与e1＋e2             B.e1－2e2与e1＋2e2

C.e1＋e2与e1－e2         D.e1－2e2与－e1＋2e2

2.如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为(　 　)

A.e1＋e2      B.－2e1＋e2        C.2e1－e2      D.2e1＋e2

3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若=λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于(　 　)

A.          B.         C.1         D.

4.已知向量a=(－1,2)，b=(3，m)，m∈R，则“m=－6”是“a∥(a＋b)”的(　 　)

A.充要条件              B.充分不必要条件

C.必要不充分条件        D.既不充分也不必要条件

5.在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)

A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)       B.e1＝(﹣1,2)，e2＝(5，﹣2)

C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)      D.e1＝(2，﹣3)，e2＝(﹣2,3)

6.设A(0,1)，B(1,3)，C(﹣1,5)，D(0，﹣1)，则＋等于(　　)

A.﹣2        B.2          C.﹣3        D.3

7.已知向量a＝(2,1)，b＝(x，﹣2)，若|a＋b|＝|2a﹣b|，则实数x的值为(　　)

A.         B.        C.          D.2

8.已知向量a＝(,tan α)，b＝(cos α，1)，α∈(,π)，且a∥b，则sin(α﹣)等于(　　)

A.﹣          B.           C.           D.﹣

9.在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a﹣b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x等于(　　)

A.﹣2          B.﹣4         C.﹣3        D.﹣1

10.设向量a=(cosx，－sinx)，b=，且a=tb，t≠0，则sin2x=(　　)

A.1         B.－1        C.±1         D.0

二              、多选题

11. (多选)已知向量m＝(1,0)，n＝(,)，则(　　)

A.|m|＝|n|           B.(m﹣n)∥n

C.(m﹣n)⊥n            D.m与﹣n的夹角为

12. (多选)已知向量a＝(1,3)，b＝(2，﹣4)，则下列结论正确的是(　　)

A.(a＋b)⊥a

B.|2a＋b|＝

C.向量a，b的夹角为

D.b在a方向上的投影向量为a

三              、填空题

13.已知点P(﹣3,5)，Q(2,1)，向量m＝(2λ﹣1，λ＋1)，若∥m，则实数λ＝______.

14.已知向量a＝(2,3)，b＝(﹣1,2)，若ma＋nb与a﹣3b共线，则＝________.

15.已知向量a＝(sin α，2)与向量b＝(cos α，1)互相平行，则tan 2α的值为________.

16.已知m，n均为正数，a＝(1，m)，b＝(2,1﹣n)，且a∥b，则＋的最小值为________.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：D；

2.答案为：B；

解析：以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

由题意可得e1=(1,0)，e2=(－1,1)，a=(－3,1)，

因为a=xe1＋ye2=x(1,0)＋y(－1,1)=(x－y，y)，

则解得故a=－2e1＋e2.

3.答案为：A；

解析：=＋=＋=＋(＋)=－，

所以λ=，μ=－，故λ2＋μ2=，故选A.

4.答案为：A；

解析：由题意得a＋b=(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)=2×2，

所以m=－6，则“m=－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.

5.答案为：B.

解析：对于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立.

6.答案为：C

解析：由题意得＝(1,2)，＝(﹣1,4)，＝(0，﹣2)，

所以＋＝(0,6)＝﹣3(0，﹣2)＝﹣3.

7.答案为：C

解析：∵a＝(2,1)，b＝(x，﹣2)，∴a＋b＝(2＋x，﹣1)，2a﹣b＝(4﹣x,4)，

又|a＋b|＝|2a﹣b|，∴＝，解得x＝.

8.答案为：C

解析：向量a＝(,tan α)，b＝(cos α，1)，且a∥b，则＝tan α·cos α＝sin α，又α∈(,π)，所以cos α＝﹣，所以sin(α﹣)＝﹣cos α＝.

9.答案为：D

解析：∵a﹣b＝(3,1)，a＝(1,2)，∴a﹣(3,1)＝b，解得b＝(﹣4,2).

∴2a＋b＝(﹣2,6).又(2a＋b)∥c，∴﹣6＝6x，解得x＝﹣1.

10.答案为：C；

解析：因为b==(－sinx，cosx)，a=tb，

所以cosxcosx－(－sinx)(－sinx)=0，即cos2x－sin2x=0，

所以tan2x=1，即tanx=±1，所以x=＋(k∈Z)，

则2x=kπ＋(k∈Z)，所以sin2x=±1，故选C.

二              、多选题

11.答案为：ACD.

12.答案为：AC.

解析：对选项A，a＋b＝(3，﹣1)，因为(3，﹣1)·(1,3)＝3﹣3＝0，所以(a＋b)⊥a，故A正确；

对选项B,2a＋b＝(4,2)，所以|2a＋b|＝＝＝2，故B错误；

对选项C，cos〈a，b〉＝＝＝﹣，所以向量a，b的夹角为，故C正确；

对选项D，b在a方向上的投影向量为·＝﹣a，故D错误.

三              、填空题

13.答案为：﹣.

14.答案为：﹣.

解析：因为≠，所以a与b不共线，a﹣3b＝(2,3)﹣3(﹣1,2)＝(5，﹣3)≠0，那么当ma＋nb与a﹣3b共线时，有＝，即得＝﹣.

15.答案为：﹣.

解析：由题意，得sin α﹣2cos α＝0，∴tan α＝2，结合二倍角的正切公式可知，

tan 2α＝＝﹣.

16.答案为：4

解析：因为a＝(1，m)，b＝(2,1﹣n)，且a∥b，所以2m＝1﹣n，即2m＋n＝1，因为m，n均为正数，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时取得最小值.