6.4 求和方法（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

这是一份6.4 求和方法（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考），文件包含64求和方法精讲原卷版docx、64求和方法精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

一．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
1.等差数列的前n项和公式Sn＝ eq \f(n（a1＋an）,2) ＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d．
2.等比数列的前n项和公式Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
二．裂项相消法
1.通项特征
（1）分式：分为可拆成偶数个同类因式相乘
（2）根式：利用平方差公式进行有理化
2.解题思路
三．错位相减法
1.通项特征
或
2.解题思路
四．分组转化求和法
1.通项特征
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)若an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数，)) 且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
2.解题思路
五．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和
1.通项特征
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
2.解题思路
五．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解
1．并项求和时不能准确分组；
2．用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”；
3．在应用裂项相消法求和时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项，后面就剩多少项，且前后对应项的符号相反．
考法一 裂项相消求和
【例1-1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等差数列的公差为正数，且，若分别是等比数列的前三项．
(1)分别求数列、的通项公式；
(2)求数列的前项之和．
【例1-2】（2023·广东广州·统考三模）已知数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求证：．
【例1-3】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)若，求的前n项和，并证明：．
2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明.
4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
考法二 错位相减求和
【例2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【一隅三反】
1．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，满足，数列的前项积为!.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
3．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记正项数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且，数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
考法三 分组转化求和
【例3-1】（2023秋·宁夏银川·高三校考期末）已知数列是等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【例3-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
【一隅三反】
1．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
3．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列的前项和满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
考法四 并项求和
【例4-1】（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【例4-2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列中，，当时，
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，数列的前n项和为，求
【例4-3】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【一隅三反】
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和，其中，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．
(1)求，，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
3．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）记为数列的前项和，已知，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
考法五 倒序相加求和
【例5】（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．