2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习6.3《平面向量的数量积及应用举例》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习6.3

《平面向量的数量积及应用举例》

一              、选择题

1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a﹣b)等于(　　)

A.2        B.﹣1        C.﹣6       D.﹣18

2.已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)

A.3          B.           C.2          D.

3.已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a﹣b|＝1，则|a|等于(　　)

A.         B.1           C.         D.2

4.已知|a|＝，|b|＝4，当b⊥(4a﹣b)时，向量a与b的夹角为(　　)

A.          B.         C.          D.

5.向量a＝(1,2)，b＝(x,1).若(a＋b)⊥(a﹣b)，则x等于(　　)

A.﹣2        B.±        C.±2        D.2

6.在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝2，M是CD的中点.若·＝3，则∠BAD等于(　　)

A.          B.          C.          D.

7.已知平面向量a，b满足b＝(，1)，|2a﹣b|＝1，则|a|的取值范围为(　　)

A.[,]        B.(1,3)      C.[,]        D.(2,4)

8.向量a与向量b的向量积仍是向量，记作a×b，它的模是|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉，则(a×b)2＋(a·b)2等于(　　)

A.a2·b2        B.a·b        C.a4·b4        D.0

9.设向量a＝(3，)，b＝(x，)，若a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围是(　　)

A.(﹣,+∞)   B.(,+∞)    C.(﹣,)∪(,+∞)    D.(﹣∞,)∪(,+∞)

10.已知△ABC中，AB=6，AC=3，N是边BC上的点，且=2，O为△ABC的外心，

则·的值为(　  　)

A.8        B.10              C.18        D.9

二              、多选题

11. (多选)已知向量a＝(，1)，b＝(t，)，则下列说法正确的是(　　)

A.若a∥b，则t＝3

B.若a⊥b，则t＝﹣1

C.若a与b的夹角为120°，则t＝0或t＝﹣3

D.若a与b的夹角为锐角，则t>﹣1

12. (多选)对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是(　　)

A.≤

B.≤||a|﹣|b||

C.2＝2

D.·＝a2﹣b2

三              、填空题

13.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1﹣e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.

14.在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，||＝，||＝，则·＝_____.

15.已知平面向量a与b的夹角为120°，e为与a同向的单位向量，b在a上的投影向量为﹣e，且满足(2a＋b)⊥(a﹣3b)，则|a＋2b|＝________.

16.已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，圆M为△ABC的外接圆，＝，则·＝______；若P为圆M上的动点，则·的最大值为______.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：D

解析：由题意知cos〈a，b〉＝sin ＝sin(6π﹣)＝﹣sin ＝﹣，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×(﹣)＝﹣3，b·(2a﹣b)＝2a·b﹣b2＝﹣18.

2.答案为：B

解析：设a与b的夹角为θ，∵|a|·cos  θ＝b，∴|a|·cos θ＝，

∴|a|·cos θ＝，∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.

3.答案为：A

解析：由题意得a·b＝|a|×1×＝，又|2a﹣b|＝1，∴|2a﹣b|2＝4a2﹣4a·b＋b2＝4|a|2﹣2|a|＋1＝1，即4|a|2﹣2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝.

4.答案为：B

解析：根据题意，设向量a与b的夹角为θ，若b⊥(4a﹣b)，则b·(4a﹣b)＝4a·b﹣b2＝16cos θ﹣16＝0，变形可得cos θ＝，又0≤θ≤π，则θ＝.

5.答案为：C

解析：方法一　a＋b＝(1＋x,3)，a﹣b＝(1﹣x,1)，因为(a＋b)⊥(a﹣b)，所以(a＋b)·(a﹣b)＝0，即(1＋x)(1﹣x)＋3＝0，解得x＝±2.方法二　因为(a＋b)⊥(a﹣b)，所以(a＋b)·(a﹣b)＝0，所以a2﹣b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2.

6.答案为：B

解析：·＝(＋)·＝·＋||2＝1×2×cos∠BAD＋×4＝3.∴cos∠BAD＝，∵∠BAD∈(0，π)，∴∠BAD＝.

7.答案为：C

解析：由已知可得|b|＝＝2，∵a＝(2a﹣b)＋b，∴由三角不等式可得||b|﹣|a﹣b||≤|a|≤|b|＋|a﹣b|，即≤|a|≤.

8.答案为：A.

解析：(a×b)2＋(a·b)2＝a2·b2sin 2〈a，b〉＋a2·b2cos2〈a·b〉＝a2·b2(sin 2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉)＝a2·b2.

9.答案为：C

解析：因为a与b的夹角为锐角，所以a·b＞0，即3x＋5＞0，解得x＞﹣.

当a与b同向时，设a＝λb(λ＞0)，则(3，)＝λ(x，)，

所以解得x＝，所以实数x的取值范围是(﹣,)∪(,+∞).

10.答案为：D；

解析：由于=2，则=＋，取AB的中点为E，连接OE，

由于O为△ABC的外心，则⊥，∴·=·=2=×62=18，

同理可得·=2=×32=，

所以·=·=·＋·=×18＋×=6＋3=9，故选D.

二              、多选题

11.答案为：AB

解析：由a∥b，得×﹣1×t＝0⇒t＝3，故A正确；由a⊥b，得t＋1×＝0⇒t＝﹣1，故B正确；当a与b的夹角为120°时，cos 120°＝＝﹣，即t2＋3t＝0，解得t＝0或t＝﹣3.代入验证t＝0为增根，则t＝0舍去，故t＝﹣3，故C错误；当a与b的夹角为锐角时，有则解得t>﹣1且t≠3，故D错误.

12.答案为：ACD

解析：＝··|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正确；由向量的数量积的运算法则知C，D正确；|a﹣b|≥||a|﹣|b||，故B错误.

三              、填空题

13.答案为：.

解析：由题意得＝＝，所以﹣λ＝，解得λ＝.

14.答案为：﹣.

解析：∵＝，＝，∴＝＋＝＋，＝＋＝＋，而||＝，||＝，∴|＋|＝，|＋|＝，∴2＋·＋2＝2，2＋·＋2＝6，两式相减得2﹣2＝﹣4，∴2﹣2＝﹣.∴·＝(＋)·(﹣)＝2﹣2＝﹣.

15.答案为：.

解析：因为平面向量a与b的夹角为120°，b在a上的投影向量为﹣e，所以|b|cos 120°·e＝﹣e，所以|b|＝2，因为(2a＋b)⊥(a﹣3b)，即(2a＋b)·(a﹣3b)＝0，即2a2﹣5a·b﹣3b2＝0，所以2|a|2＋5|a|﹣12＝0，解得|a|＝，所以(a＋2b)2＝＋4××2×(﹣)＋4×4＝，

所以|a＋2b|＝.

16.答案为：2，2＋.

解析：由题意得，M为BC的中点，E为AB的中点，以圆心M为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则C(﹣1,1)，E(0，﹣1)，M(0,0)，

∴＝(0，﹣1)，＝(1，﹣2)，∴·＝2.

设MP与x轴正半轴的夹角为θ(θ∈[0,2π])，则P(cos θ，sin θ).

∴＝(﹣cos θ，﹣sin θ)，＝(﹣cos θ，﹣1﹣sin θ)，

∴·＝2cos2θ＋sin θ(1＋sin θ)＝2＋sin θ，

∴2﹣≤·≤2＋.