新高考数学一轮复习考点练习考向41 双曲线（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习考点练习考向41 双曲线（含详解），共24页。

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】A
【分析】
易得 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
然后由a，b，c的关系求得 SKIPIF 1 < 0 ，最后求得离心率即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（理））已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据双曲线的定义及条件，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ,由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【点睛】
关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 SKIPIF 1 < 0 间的等量关系是求解的关键.
1.待定系数法求双曲线方程最常用的设法：
(1)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)；
(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)；
(3)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b2(4)过两个已知点的双曲线方程可设为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn<0)；
(5)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,k－b2)＝1(b2合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解题过程，提高解题速度．
SKIPIF 1 < 0 3.求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
二、双曲线的几何性质：
三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
四、直线与圆锥曲线的位置关系
2.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
若，设。
.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
【知识拓展】
弦长问题：
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则
==
==
1．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则此双曲线的离心率e为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
2．（2021·全国·模拟预测）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点和右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 右支上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2021·广西南宁·模拟预测（文））已知双曲线C的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，则其标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
4．（2021·上海·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为___________.
1．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（理））若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2021·浙江宁波·高三月考）设直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 两条渐近线分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2021·广东·高三月考）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（ ）
A．m<0，n<0B．m>0，n>0C．m<05．（2021·内蒙古宁城·高三月考（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点， SKIPIF 1 < 0 为该双曲线上任一点（与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不重合），已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上一点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中错误的是（ ）
A．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 B．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点距离是 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
7．（2021·云南师大附中高三月考（文））双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为___________.
8．（2021·云南师大附中高三月考（理））双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，若x轴上存在点Q使得 SKIPIF 1 < 0 的角平分线过F2，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为__________.
9．（2021·浙江金华第一中学高三月考）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 经过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
10．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））方程 SKIPIF 1 < 0 表示的曲线即为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，有如下结论：
① SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
②函数 SKIPIF 1 < 0 不存在零点；
③函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 的图象不经过第一象限.
其中正确的命题是_______________________．（填写命题序号）
11．（2021·广东·高三月考）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．
（1）求C的离心率；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到 SKIPIF 1 < 0 的距离相等．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线离心率 SKIPIF 1 < 0 的最值，并写出此时双曲线的渐近线方程.
1．（2021·江苏·高考真题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·北京·高考真题）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2021·全国·高考真题（文））点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2010·全国·高考真题（文））中心在原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2020·天津·高考真题）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点和点 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与 SKIPIF 1 < 0 平行，另一条渐近线与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= SKIPIF 1 < 0 图像上的点，则|OP|=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2021·全国·高考真题（文））双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为________．
8．（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的焦距为_________．
9．（2021·全国·高考真题）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________．
10．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过 SKIPIF 1 < 0 的两条直线分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和.
1．【答案】A
【分析】
根据题意渐近线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 即可得解.
【详解】
∵双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴该渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
2．【答案】C
【分析】
根据双曲线的方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值，由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数的单调性即可求得最小值.
【详解】
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 可得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的性质可知： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的右顶点 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
3．【答案】D
【分析】
根据给定条件结合 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再按焦点位置即可写出标准方程.
【详解】
设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a、b，半焦距为c，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当焦点在x轴上时，双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，当焦点在y轴上时，双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
4．【答案】 SKIPIF 1 < 0 或
【分析】
根据双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则可设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案.
【详解】
解：因为双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则可设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
1．【答案】D
【分析】
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，代入即得解
【详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
故选：D
2．【答案】C
【分析】
根据焦距可得 SKIPIF 1 < 0 的值，根据右焦点到渐近线距离可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的值，再由 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】
因为焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以右焦点到它的一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
3．【答案】A
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，用点差法可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 结合点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，可得出 SKIPIF 1 < 0 的关系，从而可得答案.
【详解】
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 得到渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0
即双曲线的两条渐近线合并为 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 …………… ①
又点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ……… ②
由 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 …………… ③
联立②，③可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 代入①可得 SKIPIF 1 < 0
所以渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0
故选：A
4．【答案】C
【分析】
根据双曲线的标准方程，即可得出结论.
【详解】
双曲线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
5．【答案】D
【分析】
先求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，代入后得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为该双曲线上任一点，代入后得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关系.即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 斜率之积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为该双曲线上任一点（与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不重合）
SKIPIF 1 < 0
故可知 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0
所以双曲线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．【答案】C
【分析】
求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，可判断AB选项的正误；求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，可判断CD选项的正误.
【详解】
在双曲线 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，该双曲线的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项，点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点距离是 SKIPIF 1 < 0 ，C错；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：C.
7．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
画出图形，利用 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形的条件，得到各边之间的关系，再用余弦定理，找到a和c的关系，进而求出离心率.
【详解】
如图所示，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，在等边三角形 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，因为 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ②，由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用角平分线定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，再结合双曲线定义得到一个关于m，a的方程，在 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理得到另一个m，c的方程，两个方程联立消元即可得到答案.
【详解】
如图所示，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
由角平分线的性质定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ②，由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
双曲线的焦点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，代入圆的方程，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．【答案】①②③④
【分析】
根据题意作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，由图可知，轨迹是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，结合图形可判断①②③④的正误.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，如下图所示：
对于①，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，①对；
对于②，由于直线 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的一条公共渐近线，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 无交点，即函数 SKIPIF 1 < 0 不存在零点，②对；
对于③，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，③对；
对于④， SKIPIF 1 < 0 的图象不经过第一象限，④对.
故答案为：①②③④.
11．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析.
【分析】
(1)求出双曲线的渐近线方程，利用给定条件借助点到距离公式计算即得；
(2)结合(1)的结论设出直线MN的方程，并与双曲线方程联立，借助韦达定理探讨直线AM，AN斜率关系即可推理作答.
【详解】
(1)双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由(1)知，双曲线C的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，显然直线MN不垂直于y轴，设直线MN： SKIPIF 1 < 0 ，
因直线MN与双曲线右支交于两点，则直线MN与双曲线的两条渐近线 SKIPIF 1 < 0 在y轴右侧都相交，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
直线AM的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，同理，直线AN的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，直线AM与AN的倾斜角互补，则直线AM与AN关于x轴对称，而点F在x轴上，
所以点F到直线AM与AN的距离相等.
12．【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为2， SKIPIF 1 < 0 无最小值.
【分析】
（Ⅰ）根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用数量积为0可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据双曲线的定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 两种情况求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，即可根据定义求出离心率，利用三角函数求取值范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意知， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 .
由双曲线定义得: SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 所求双曲线的方程为: SKIPIF 1 < 0
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 .
(2)当 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得:
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，但 SKIPIF 1 < 0 无最小值.
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 此时双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
1．【答案】D
【分析】
写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
【详解】
双曲线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．【答案】B
【分析】
分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，再将点 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线的方程，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入双曲线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．【答案】A
【分析】
首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
结合对称性，不妨考虑点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．【答案】D
【详解】
由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=- SKIPIF 1 < 0 x,
∴-2=- SKIPIF 1 < 0 ×4,
∴a=2b.设b=k,则a=2k,c= SKIPIF 1 < 0 k,
∴e= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
5．【答案】D
【分析】
由抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即得直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据双曲线的渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到双曲线的方程．
【详解】
由题可知，抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
又双曲线的渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
6．【答案】D
【分析】
根据题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 既在双曲线的一支上，又在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，即可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，得到 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的右支上，由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线的右支方程为 SKIPIF 1 < 0 ，而点 SKIPIF 1 < 0 还在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，所以，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
7．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
由已知， SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以右焦点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．【答案】4
【分析】
将渐近线方程化成斜截式，得出 SKIPIF 1 < 0 的关系，再结合双曲线中 SKIPIF 1 < 0 对应关系，联立求解 SKIPIF 1 < 0 ，再由关系式求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】
由渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同时平方得 SKIPIF 1 < 0 ，又双曲线中 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，故焦距 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4.
【点睛】
本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
9．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据离心率结合 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 关系即可求出.
【详解】
由题离心率 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故此双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）利用双曲线的定义可知轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为左、右焦点双曲线的右支，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程，列出韦达定理，求出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，由 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 无公共点，
不妨直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
因此，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
，越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程