(新高考)高考数学一轮复习课时练习6.3《平面向量的数量积及应用举例》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习6.3《平面向量的数量积及应用举例》(含解析)，共24页。试卷主要包含了向量的夹角，向量的数量积，平面向量数量积的运算律，平面向量数量积的有关结论，已知向量a＝，b＝等内容，欢迎下载使用。

第3讲　平面向量的数量积及应用举例
最新考纲
考向预测
1.通过物理中的功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
命题趋势
平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍是选择题与填空题.
核心素养
数学运算、逻辑推理


1．向量的夹角
(1)条件：平移两个非零向量a和b至同一起点，
结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．

(2)范围：0°≤θ≤180°.
特殊情况：当θ＝0°时，a与b共线同向．
当θ＝180°时，a与b共线反向．
当θ＝90°时，a与b互相垂直．
2．向量的数量积
(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，
结论：数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．
(2)数量积的几何意义
条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影|b|cos_θ
(或b的长度|b|，a在b方向上的投影|a|cos_θ)，
结论：数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积)．
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝a，b．
结论
几何表示
坐标表示
向量的模
|a|＝
|a|＝
夹角余弦
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．求平面向量的模的公式
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
常见误区
1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．
3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)
(4)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．6
C．3 D．3
解析：选B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.
3．(多选)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，则(　　)
A．a∥b B．(a＋b)·a＝－5
C．b⊥(a－b) D．2|a|＝|b|
解析：选ABD.因为1×4＝－2×(－2)，所以a∥b，又a＋b＝(－1，2)，所以(a＋b)·a＝－5.a－b＝(3，－6)，b·(a－b)≠0，所以C错误，|a|＝，|b|＝2，2|a|＝|b|，故选ABD.
4．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ＝________．
解析：cos θ＝＝＝－，
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.
答案：
5．已知向量a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos ＝，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－＝0，所以λ＝2.
答案：2


　　　　　　平面向量数量积的运算
(1)(2021·内蒙古赤峰二中、呼市二中月考)已知向量a，b的夹角为，若c＝，d＝，则c·d＝(　　)
A.　　　 B．　　　　C.　　　 D．
(2)(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是(　　)
A.在方向上的投影长为－
B.·＝·
C.在方向上的投影长为
D.·＝·
【解析】　(1)c·d＝·＝＝cos ＝.故选B.
(2)由＋＋＝0得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以在上的投影为||cos＝2×＝，故C正确．因为·＝·＝－2，·＝·＝2，故B，D正确．

【答案】　(1)B　(2)BCD

计算向量数量积的三个角度
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．　

1．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为(　　)
A. B．－
C．－ D．－
解析：选D.由a＝(1，2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，所以a·b＝－3，所以向量b在a方向上的投影为＝－.故选D.
2．(2020·重庆第一中学月考)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a，c的数量积为(　　)
A．0 B．－2a2
C．2a2 D．－a2
解析：选A.由非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，可得c＝－(a＋b)，所以a·c＝a·[－(a＋b)]＝－a2－a·b＝－a2－|a|·|b|·cosa，b．由于a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，所以a·c＝－a2－|a|·|b|cos 120°＝－|a|2－2|a|2×＝0.故选A.
3．(一题多解)(2020·武昌区高三调研)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上一点，且BP＝2PA，那么·＋·＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
解析：选D.通解：由已知得||＝||＝2，·＝0，＝(－)，
所以·＋·＝(＋)·＋(＋)·＝||2＋·＋·＋·＝||2＋(－)·(＋)＝||2＋||2－||2＝22＋×22－×22＝4.
优解：

由已知，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)，设P(x，y)．
因为BP＝2PA，所以＝2，所以(x，y－2)＝2(2－x，－y)，所以，所以·＋·＝(，)·(2，0)＋(，)·(0，2)＝4.故选D.

　　　　　　平面向量数量积的应用
角度一　求两平面向量的夹角
(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C. D．
(2)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝(　　)
A. B．
C. D．
【解析】　(1)由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cosa，a＋b＝＝＝，故选D.
(2)因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又因为a·b＝0，c＝a＋b，所以|c|＝＝3，a·c＝a·(a＋b)＝，
所以cos〈a，c〉＝＝.
因为〈a，c〉∈[0，π]，所以sin〈a，c〉＝.故选B.
【答案】　(1)D　(2)B

求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝ .　
角度二　求平面向量的模
(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________．

【解析】　因为M为BC的中点，所以＝(＋)，
所以||2＝(＋)2
＝(||2＋||2＋2·)
＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
所以||＝.
【答案】　

求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝＝，|a±b|＝＝.
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．
[提醒]　(1)求形如ma＋nb的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算．
(2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．　
角度三　两平面向量垂直问题
已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．　
【解析】　因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【答案】　

有关平面向量垂直的两类题型

根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．　

1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|a＋2b|＝(　　)
A．2 B．2
C. D．
解析：选C.因为a－b＝(，)，所以|a－b|＝，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝.故选C.
2．(多选)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是(　　)
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：选ABD.对于A，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|≠0，a与b不垂直，所以A为假命题；
对于B，由A解析可知，若a⊥b，则|a＋b|≠|a|－|b|，所以B为假命题；
对于C，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|，则cos θ＝－1，
则a与b反向，因此存在实数λ，使得b＝λa，所以C为真命题．
对于D，若存在实数λ，使得b＝λa，
则a·b＝λ|a|2，－|a||b|＝λ|a|2，由于λ不能等于0，
因此a·b≠－|a||b|，则|a＋b|≠|a|－|b|，
所以D不正确．
故选ABD.
3．(一题多解)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．
解析：方法一：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cos θ＝＝＝－.
方法二：因为2＝，所以E为BC的中点．

设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝＝＝－.
答案：－

　　　　　　向量数量积的综合应用
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
【解】　(1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.因为0 所以sin A＝＝＝.
(2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.

平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．　
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．　Ｋ
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而∠C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.

核心素养系列4　逻辑推理——平面向量与三角形的“四心”
三角形的“四心”：设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.
类型一　平面向量与三角形的“重心”问题
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A．△ABC的内心
B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心
D．AB边的中点
【解析】　取AB的中点D，则2＝＋，
因为＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]
＝＋，
而＋＝1，所以P，C，D三点共线，
所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
【答案】　C
类型二　平面向量与三角形的“内心”问题
在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A.　　 B．　　　C．4　　 D．6
【解析】　根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍．
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.
设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，
所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.
【答案】　B
类型三　平面向量与三角形的“垂心”问题
已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．重心 B．垂心
C．外心 D．内心
【解析】　因为＝＋λ，
所以＝－＝λ，
所以·＝·λ
＝λ(－||＋||)＝0，
所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
【答案】　B
类型四　平面向量与三角形的“外心”问题
已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为(　　)
A. B．
C. D．
【解析】　取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则⊥，⊥，
＝－＝－(x＋y)＝－y，＝－＝－(x＋y)＝－x.
由⊥，得2－y·＝0，①
由⊥，得2－x·＝0，②
又因为2＝(－)2＝2－2·＋，
所以·＝＝－，③
把③代入①，②得解得x＝，y＝.
故实数对(x，y)为.
【答案】　A

[A级　基础练]
1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)
A．－　　　　 　　　　 B．－
C. D．
解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.
2．若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A. B．2
C. D．
解析：选C.由于F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝＝.
3．(2020·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A.方法一：因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以·＝0，即∠BAC＝90°.所以·＝·＝·(＋)＝2＋2＝，故选A.
方法二：因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以·＝0，即⊥，以A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，1)，E(，)，F(，)，所以·＝(，)·(，)＝＋＝，故选A.

4．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是(　　)
A.－＝
B.＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若·>0，则△ABC为锐角三角形
解析：选BC.由向量的运算法则知－＝；＋＋＝0，故A错，B对；
因为(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
所以||2＝||2，即AB＝AC，
所以△ABC为等腰三角形，故C对；
因为·>0，所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC.
5．(2020·安徽示范高中名校月考)已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为(　　)
A. B．
C．2 D．3
解析：选B.设c与a－2b的夹角为θ.因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝3，所以|a－2b|＝，所以(c＋a)·(c－2b)＝c2＋c·(a－2b)－2a·b＝1＋|c||a－2b|cos θ－1＝cos θ，所以(c＋a)·(c－2b)的最大值为，此时cos θ＝1.故选B.
6．(2020·湖南、河南、江西3月联考)设非零向量a，b满足|a|＝3|b|，cosa，b＝，a·(a－b)＝16，则|b|＝________．
解析：因为|a|＝3|b|，cosa，b＝，所以a·(a－b)＝9|b|2－|b|2＝8|b|2＝16，所以|b|＝.
答案：
7．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
解析：因为|a|＝|a＋2b|，
所以|a|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2，
所以a·b＝－|b|2，
令a与b的夹角为θ.
所以cos θ＝＝＝－.
答案：－
8．(2020·新高考卷改编)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是________．
解析：·＝||·||·cos ∠PAB＝2||·cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)．
答案：(－2，6)
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角是.
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题设知，＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)方法一：由题设知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
方法二：·＝t2，＝(3，5)，
t＝＝－.
[B级　综合练]
11．(多选)(2020·山东九校联考)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(　　)
A.·＝－1
B.＋＝0
C．|＋＋|＝
D.在方向上的投影为
解析：

选BCD.由题意知E为AB的中点，则CE⊥AB，以E为原点，EA，EC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，
设O(0，y)，y∈(0，)，则＝(1，y)，＝，
因为∥，所以y－＝－y，
解得y＝，
即O是CE的中点，则＋＝0，所以选项B正确；
|＋＋|＝|2＋|＝||＝，所以选项C正确；
因为CE⊥AB，所以·＝0，所以选项A错误；
＝，＝(1，)．
故在方向上的投影为＝＝，所以选项D正确．故选BCD.
12．(2020·山东济宁一中月考)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　　)

A. B．
C．3 D．
解析：选D.令＝k(0 所以||·||·＝2，所以||·||＝8，
所以||＝
＝≥，当且仅当||＝4时取“＝”，所以||的最小值为.故选D.
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
解：(1)由题设知＝(n－8，t)，
因为⊥a，所以8－n＋2t＝0.
又因为||＝||，所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
所以＝(24，8)或＝(－8，－8)．
(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，
因为与a共线，所以t＝－2ksin θ＋16，
tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k＋.
因为k>4，所以0<<1，
所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值，
由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4，8)，
所以·＝(8，0)·(4，8)＝32.
14．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．

(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋
＝t2－t＋1＝＋(0≤t≤1)，
所以当t＝时，|＋|有最小值，最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1.
所以当θ＝时，m·n取得最小值，为1－.
[C级　创新练]
15．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆与CA，CB分别切于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若＝x＋y，则x＋y的值可以是(　　)

A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B.设△ABC内切圆的圆心为O，半径为r，连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥BC，所以3－r＋4－r＝5，解得r＝1，故CD＝CE＝1，连接DE，则当x＋y＝1时，P在线段DE上，但线段DE均不在阴影区域内，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM＝2CD，CN＝2CE，连接MN，所以＝＋，则当点P在线段MN上时，＋＝1，故x＋y＝2.同理，当x＋y＝4或x＋y＝8时，点P不在△ABC内部，排除C，D，故选B.
16．定义两个平面向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sina，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；
③若a＝λb，则a⊗b＝0；
④若a＝λb且λ>0，则(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)．
正确的序号是________．
解析：①恒成立，②λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sina，b，
(λa)⊗b＝|λa|·|b|sina，b，当λ<0时，
λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立，③a＝λb，则sina，b＝0，故a⊗b＝0恒成立，④a＝λb，且λ>0，则
a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|1＋λ||b|·|c|sinb，c，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sinb，c＋|b|·|c|sinb，c＝|1＋λ||b|·|c|sinb，c，
故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．
答案：①③④