2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习6.1《平面向量的概念及线性运算》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习6.1

《平面向量的概念及线性运算》

一              、选择题

1.已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　)

A.A，B，D三点共线        B.A，B，C三点共线

C.B，C，D三点共线        D.A，C，D三点共线

2.如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)

A.0        B.           C.        D.

3.如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则等于(　　)

A.－      B.＋     C.－      D.＋

4.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)

A.a与λa的方向相反      B.a与λ2a的方向相同

C.|－λa|≥|a|           D.|－λa|≥|λ|a

5.已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋=0，则向量等于(　 　)

A.－    B.－＋   C.2－     D.－＋2

6.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，=3，F为AE的中点，则=(　 　)

A.－    B.－   C.－＋     D.－＋

7.在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且=＋，则=(　 　)

A.         B.          C.　       D.

8.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足=2a，=2a＋b，则下列结论正确的是(　　)

A．|b|=1           B．a⊥b           C．a·b=1          D．(4a＋b)⊥

9.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②λa=0(λ为实数)，则λ必为零；

③λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线．

其中错误的命题的个数为(　　)

A．0           B．1          C．2          D．3

10.如图，在△ABC中，已知D为边BC的中点，E，F，G依次为线段AD从上至下的3个四等分点，若＋=4，则(　　)

A．点P与图中的点D重合        B．点P与图中的点E重合

C．点P与图中的点F重合        D．点P与图中的点G重合

二              、多选题

11. (多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)

A.若＝＋，则点M是边BC的中点

B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上

C.若＝－－，则点M是△ABC的重心

D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的

12. (多选)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是(　　)

A.若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上

B.若＋＋＝0，则P为△ABC的重心

C.若·>0，则△ABC为锐角三角形

D.若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2

三              、填空题

13.设e1与e2是两个不共线向量，=3e1＋2e2，=ke1＋e2，=3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为        .

14.已知△ABC和点M满足＋＋=0，若存在实数m使得＋=m成立，则m=      .

15.已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，若存在实数t使C，D，E三点在一条直线上，则t＝________.

16.在△ABC中，点D，E是线段BC上的两个动点，且＋＝x＋y，则xy的最大值为______.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：A

解析：由题意得＝＋＝a＋5b＝，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线.

2.答案为：D

解析：根据正六边形的性质，易得，＋＋＝＋＋＝＋＝.

3.答案为：A

解析：由题意及图得＝＋＝＋＝－＝－.

4.答案为：B

解析：当λ>0时，a与λa的方向相同，A错；a与λ2a的方向相同，B正确；当|λ|<1时，|－λa|<|a|，C错；|－λa|＝|λ||a|，D错.

5.答案为：C；

解析：因为=－，=－，

所以2＋=2(－)＋(－)=－2＋=0，所以=2－.

6.答案为：C；

解析：=＋=＋=－＋

=－＋=－＋＋＋(＋＋)=－＋.

7.答案为：B；

解析：由=＋得点D在平行于AB的中位线上，从而有S△ABD=S△ABC，

又S△ACD=S△ABC，所以S△BCD=S△ABC=S△ABC，所以=.故选B.

8.答案为：D；

解析：

∵=2a，=2a＋b，∴a=，b=－=，∵△ABC是边长为2的等边三角形，

∴|b|=2，a·b=·=－1，故a，b不垂直，4a＋b=2＋=＋，

故(4a＋b)·=(＋)·=－2＋2=0，∴(4a＋b)⊥，故选D．

9.答案为：D；

解析：

①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；

②错误，当a=0时，不论λ为何值，λa=0；

③错误，当λ=μ=0时，λa=μb=0，此时a与b可以是任意向量．错误的命题有3个，故选D．

10.答案为：C；

解析：

由平行四边形法则知＋=2，又由＋=4知2=4，即=2，

所以P为AD的中点，即点P与点F重合．故选C．

二              、多选题

11.答案为：ACD.

解析：若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；

若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；

若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；

如图，＝x＋y，

且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，设＝2，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确.

12.答案为：ABD.

解析：对于A，设AB的中点为D，BC的中点为E，∵＋3＋2＝0，∴＋＝﹣2(＋)，∴2＝﹣4，即＝2，∴P，D，E三点共线，又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A正确；

对于B，设AB的中点为D，由＋＋＝0，得＋＝﹣＝，又＋＝2，

∴＝2，∴P在中线CD上，且＝2，∴P为△ABC的重心，B正确；

对于C，∵·>0，∴与夹角为锐角，即A为锐角，但此时B，C有可能是直角或钝角，故无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；

对于D，∵＝＋，∴P为线段BC上靠近C的三等分点，即＝，∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D正确.

三              、填空题

13.答案为：-2.25；

解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得=λ.

又=3e1＋2e2，=ke1＋e2，=3e1－2ke2，

所以=－=3e1－2ke2－(ke1＋e2)=(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2=λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，

又e1与e2不共线，所以解得k=－.

14.答案为：3；

解析：由已知条件得＋=－，

如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.

延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，

同理可证E，F分别为AC，AB的中点，

即M为△ABC的重心，∴==(＋)，即＋=3，则m=3.

15.答案为：.

解析：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，又C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有解得t＝.

16.答案为：1.

解析：设DE的中点为M，连接AM(如图)，

则＋＝2＝x＋y，所以＝＋，又B，C，M三点共线，所以x＋y＝2，且x>0，y>0，又x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，所以0<xy≤1，即xy的最大值为1.