人教版高中数学选择性必修第二册第五章5-3-2第1课时函数的极值习题含答案

5.3.2　函数的极值与最大(小)值

第1课时　函数的极值

必备知识基础练

1.(2021四川眉山高二期末)函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极大值-3,则a+b的值等于(　　)

A.9 B.6 

C.3 D.2

2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)

D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

3.函数f(x)=(x-1)ex的极小值点为(　　)

A.(0,-1) B.(0,0) 

C.-1 D.0

4.若函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值,则实数a的取值范围是(　　)

A. 

B.(-∞,0)

C. 

D.(-∞,0]∪

5.(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的值可以是 (　　)

A.-4 B.-3 

C.6 D.8

6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=　　　　　. 

7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为　　　　　. 

8.设函数f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.

(1)求a的值;

(2)求函数f(x)的极值.

关键能力提升练

9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)

D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

10.(2021河南开封高三模拟)设函数f(x)=,若f(x)的极小值为,则a=(　　)

A.- B.

C. D.2

11.(2021安徽皖北名校高二联考)若函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,2)∪(2,+∞)

B.(0,2)∪(2,+∞)

C.(2,+∞)

D.{2}

12.(多选题)(2021江苏吴县中学高二月考)对于函数f(x)=,下列说法正确的是(　　)

A.函数在x=处取得极大值

B.函数的值域为

C.f(x)有两个不同的零点

D.f(2)<f()<f()

13.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为　　　　　,若恰有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　　. 

14.(2021安徽示范高中高二联考)已知函数f(x)=x--(a+1)ln x(a∈R).

(1)当a=2时,求f(x)的极值;

(2)若0<a≤1,讨论f(x)的极值.

学科素养创新练

15.(2021安徽亳州高二期末)已知函数f(x)=xex-ex-a有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.(-1,0]

C. D.(-1,0)

16.(多选题)(2021江苏盐城一中、大丰高级中学等四校高二期末联考)世界著名的国际科技期刊《Nature》上有一篇名为《The Universal Decay of Collective Memory and Attention》的论文,该文以12个不同领域的数据指出双指数型函数f(x)=C1+C2在描绘人类行为时的普适作用.关于该函数下列说法正确的有(　　)

A.当C1C2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点

B.当C1C2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点

C.当C1C2λ1λ2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值

D.当C1C2λ1λ2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值

参考答案

5.3.2　函数的极值与最大(小)值

第1课时　函数的极值

1.B　由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b,因为f(x)在x=1处有极大值-3,所以解得所以a+b=6.故选B.

2.D　由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;

当-2<x<1时,f'(x)<0;

当1<x<2时,f'(x)<0;

当x>2时,f'(x)>0.

由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,

在x=2处取得极小值.

3.D　由题意得f'(x)=ex+(x-1)ex=xex,故f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故当x=0时,f(x)的极小值为f(0)=-1,故极小值点为0.

4.D　∵f(x)=x3-2ax+a,∴f'(x)=3x2-2a.

∵函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值,

∴f'(x)=3x2-2a=0在(0,1)内无实数根.

∵0<x<1,∴-2a<3x2-2a<3-2a,

∴-2a≥0或3-2a≤0,∴a≤0或a≥,故选D.

5.AD　由题意知f'(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的根,所以Δ=4a2-12(a+6)>0,

解得a>6或a<-3.

6.-2　∵f'(x)=3x2+2ax+b,

∴即 解得

∴a+b=2-4=-2.

7.(-∞,-1)　∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.

当a≥0时,y'>0,函数y=ex+ax在R上单调递增,没有极值点.当a<0时,令y'=ex+a=0,则ex=-a,

即x=ln(-a).当x∈(-∞,ln(-a))时,y'<0,当x∈(ln(-a),+∞)时,y'>0,故x=ln(-a)是函数的极值点.

又ln(-a)>0,∴-a>1,即a<-1.

8.解(1)f'(x)=(x>0).

由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.

(2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x>0),

f'(x)=-.

令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-(舍去).

当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上是减函数;

当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,

故f(x)在(1,+∞)上是增函数.

故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值.

9.D　由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.

10.B　由已知得f'(x)=(x≠-a),令f'(x)=0,有x=1-a,且当x<1-a时,f'(x)<0,当x>1-a时,f'(x)>0,则f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=,即1-a=,得a=.故选B.

11.B　因为f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x-a-2+(x>0),所以f'(x)=0有两个不等实根,所以>0,且≠1,解得a>0,且a≠2.故选B.

12.ABD　函数的定义域为(0,+∞),导数为f'(x)=,

令f'(x)=0,解得x=.

当x变化时,函数f(x),f'(x)的变化情况如下表:

所以当x=时,函数有极大值f()=,故A正确;

令f(x)=0得ln x=0,即x=1,当x→+∞时,ln x>0,x2>0,

则f(x)>0,作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示.

由图可知函数的值域为,故B正确;

函数只有一个零点,故C错误;

又函数f(x)在(,+∞)上单调递减,且<2,则f(2)<f()<f(),故D正确.

故选ABD.

13.[1,5)　-,1　∵f'(x)=3x2+2x-a,

函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,

∴f'(x)=0有两个不等实根且在(-1,1)内恰有一个根.

又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-,

∴应满足

∴∴1≤a<5.

若在(-1,1)内恰有两个极值点,

则应满足

∴∴-<a<1.

14.解(1)因为当a=2时,f(x)=x--3ln x,

所以f'(x)=(x>0).

由f'(x)=0得x=1或x=2.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以当x=1时,f(x)取极大值-1;当x=2时,f(x)取极小值1-3ln 2.

(2)f'(x)=,

①当a=1时,x∈(0,+∞),f'(x)≥0,f(x)单调递增,函数不存在极值.

②当0<a<1时,x∈(a,1),f'(x)<0,x∈(0,a)或x∈(1,+∞),f'(x)>0,因此函数在x=a处取得极大值f(a)=a-1-(a+1)ln a,函数在x=1处取得极小值f(1)=1-a.

综上,当a=1时,f(x)不存在极值;当0<a<1时,极大值为f(a)=a-1-(a+1)ln a,极小值为f(1)=1-a.

15.D　令函数f(x)=xex-ex-a=0,则有xex-ex=a.

令g(x)=xex-ex,

g'(x)=ex+xex-ex=xex,∴当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增.

∴当x=0时,g(x)取得极小值g(0)=-1,显然g(1)=0,当x<1时,g(x)<0恒成立.

由此可以画出函数g(x)的大致图象如图所示,

由图象可得,要使函数f(x)有且仅有两个不同的零点,只需g(0)<a<0,即-1<a<0.故选D.

16.BC　∵函数f(x)=C1+C2为双指数型函数,∴λ1≠λ2.

令f(x)=C1+C2=0,得C1=-C2,-.

∵>0,∴->0,即C1C2<0,故A错误,B正确.

f'(x)=C1λ1+C2λ2,∵函数f(x)有极值,

∴f'(x)=0有解,即C1λ1=-C2λ2,

∴-.

∵>0,∴->0,即C1C2λ1λ2<0,故D错误.

当C1C2λ1λ2<0时,设C1λ1>0,C2λ2<0,λ1>λ2,

则f'(x)=[C1λ1+C2λ2].

由f'(x)=0得x0=ln.

因此当x>x0时,f'(x)>0;当x<x0时,f'(x)<0,即x=x0为f(x)的极值点,故C正确.故选BC.