高一下学期数学微专题25讲 02.极化恒等式

这是一份高中人教B版 (2019)全册综合达标测试，共4页。
微专题2.极化恒等式一．原理分析人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：.若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于，两式相减可得：                      .                                特别，在中，设，点为中点，再由三角形中线向量公式可得：(极化恒等式).                   二．典例分析例1．（2017年2卷）已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是(    )A． B． C． D．解析：（方法1.几何法）设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形中，，故取最小值当且仅当取最小，即，故.（方法2.坐标法）以中点为坐标原点，由于，，．设，，，，故，则其最小值为，此时，．        注1.关于极化恒等式的应用，我将其总结为在处理数量积范围问题时，若发现题干有“共起点，定底边”的特征，我们就可尝试使用该恒等式，做法就是把中线连出即可，下面我将再通过一个例题予以分析.注2.在处理平面向量范围问题时，坐标法是通性通法，这一点需要注意.例2.（2021成都三诊）已知等边的三个顶点均在圆上，点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．解析：（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记中点为，中点为.由于，而.由于为等边三角形，则三点共线，且由于是外心，也是重心，故.则，显然，由在圆外，且共线（中点为），则.综上所述，.（法2.基底法），因为等边的三个顶点均在圆上，因此，，因为等边的三个顶点均在圆上，所以原点是等边的重心，因此，所以有：，当时，即同向时，有最小值，最小值为.例3.在中，，为钝角，是边AB上的两个动点，且，若的最小值为，则.解析：取MN的中点P，则由极化恒等式得由于. 由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小.作CH⊥AB，H为垂足，则CH=1，又，所以，所以.例4.（2017年江苏卷）在直角坐标系中，，点P在圆上，若，则点P的横坐标的取值范围是         解析：设中点为，则，故可知满足题意的动点P又在圆上，联立两圆方程可得，P的横坐标的取值范围为：.例5.半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（       ）A.             B.          C.           D. 【解析】由得,在平行四边形中，，故易知四边形是菱形，且,设四边形对角线的交点为E由极化恒等式得，所以因为是圆内一点，所以所以，即，选A.