2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 11.极化恒等式及应用

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极化恒等式由于，两式相减可得：                                                       特别，在中，设，点为中点，再由三角形中线向量公式可得：.                   例1．（2017年2卷）已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是(    )A． B． C． D．解析：设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形中，，故取最小值当且仅当取最小，即，故.练习1.（2021成都三诊）已知等边的三个顶点均在圆上，点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．例2   半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（       ）A.             B.          C.           D. 【解析】由得在平行四边形中，，故易知四边形是菱形，且设四边形对角线的交点为E由极化恒等式得所以因为是圆内一点，所以所以，即，选A.      练习1.（2016年陕西预赛）设是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是（    ）A.          B.        C.           D. 练习2.（2018浙江预赛）设.若平面上点P满足，对于任意,有，则的最小值为________，此时________.