2023高考数学二轮专题 微专题6 极化恒等式、投影向量

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微专题6　极化恒等式、投影向量极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.(2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则：①·＝[||2－||2](平行四边形模式)；②·＝||2－||2(三角形模式).类型一　投影向量的应用由投影与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积.例1 已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在向量e上的投影向量是________；向量e在向量a上的投影向量是________.答案　－2e　－a解析　由|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，向量a在向量e上的投影数量：|a|cosπ＝－2，向量e在向量a上的投影数量：|e|cosπ＝－，故向量a在向量e上的投影向量：－2e，向量e在向量a上的投影向量：－×＝－a.训练1 (1)已知向量a与b的夹角为π，且|a|＝2，|b|＝3，则a在b方向上的投影向量与投影向量的长度分别是(　　)A.b，  B.b，－C.－b，  D.－b，－(2)已知向量a＝(1，2)，A(6，4)，B(4，3)，b为向量在向量a上的投影向量，则|b|＝________.答案　(1)D　(2)解析　(1)设a在b方向上的投影向量为λb(λ∈R)，则a·b＝λb·b，故λ＝＝＝－.故a在b方向上的投影向量为－b，a在b方向上的投影向量的长度为|a| cosπ＝－.(2)＝(－2，－1)，由投影公式可知|b|＝＝＝.类型二　利用极化恒等式求向量的数量积利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤：(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.例2 (1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为________.(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________.答案　(1)　(2)解析　(1)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4，·＝2－2＝n2－m2＝－1，联立解得n2＝，m2＝.因此·＝2－2＝4n2－m2＝.即·＝.(2)连接EG，FH交于点O(图略)，则·＝2－2＝1－＝，·＝2－2＝1－＝，因此·＋·＝.训练2 (1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.(2)如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，若F为DE的中点，则·的值为________.答案　(1)－16　(2)4解析　(1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得·＝||2－||2＝9－×100＝－16.(2)取BD的中点N，连接NF，EB，因AB＝4，AE＝2，∠BAC＝60°，故BE⊥AE，所以BE＝2.在△DEB中，FN綉BE，所以FN＝，故·＝2·＝2＝2(3－1)＝4.类型三　利用极化恒等式求数量积的最值(范围)(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.例3 (1)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，|＋|＝5，则·的最大值是________.(2)(2022·济南调研)在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则·＋2的最小值为________.答案　(1)　(2)2解析　(1)法一(极化恒等式法)连接BC，取BC的中点D，·＝2－2，又AD＝|＋|＝，故·＝－2＝－2，又因为BCmin＝3－1＝2，所以(·)max＝.法二(坐标法)以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，如图，则A(0，3)，C(c，0)，B(b，2)，则＝(b，－1)，＝(c，－3)从而(b＋c)2＋(－4)2＝52，即(b＋c)2＝9，又·＝bc＋3≤＋3＝，当且仅当b＝c时，等号成立.(2)取BC中点O，·＝2－2⇒·＋2＝2＋2≥2＝||||，当且仅当PO＝BC时等号成立.∵PO≥h，∴||||≥h||＝S△ABC＝2，∴·＋2的最小值为2.训练3 (1)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是________.(2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________.答案　(1)[0，2]　(2)2解析　(1)由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为O，则·＝2－2＝|2|－1.由于P为正方体表面上的动点，故|OP|∈[1，]，所以·∈[0，2].(2)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则·＝2－＝||2－.因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号.所以·的最大值为2.一、基本技能练1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)A.1  B.2  C.3  D.4答案　A解析　由极化恒等式得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝×(10－6)＝1.2.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，则·＝(　　)A.－9  B.21  C.－21  D.9答案　D解析　·＝||2－||2＝－7，∴||2＝16，·＝||2－||2＝25－16＝9.3.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝(　　)A.－  B.－  C.－  D.－答案　B解析　∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝.法一　·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝＋0－1＝－.法二　由极化恒等式得·＝2－2＝－1＝－.4.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值是(　　)A.  B.2  C.  D.答案　B解析　如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得·＝2－2＝||2－，所以当P与A(B)重合时，||＝最大，从而(·)max＝2.5.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)A.1  B.2  C.  D.答案　C解析　由极化恒等式(a－c)·(b－c)＝[(a＋b－2c)2－(a－b)2]，∵(a－c)·(b－c)＝0，所以(a＋b－2c)2＝(a－b)2，故c2＝(a＋b)·c，又因为|a|＝|b|＝1，a⊥b，∴|a＋b|＝，于是|c|2≤|a＋b||c|＝|c|，∴|c|≤.6.已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值为(　　)A.1  B.  C.2  D.2答案　A解析　如图所示，由极化恒等式易知，当OP与直线x－y＋2＝0垂直时，·有最小值，即·＝2－2＝()2－12＝1.故选A.7.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值为(　　)A.－  B.－  C.－  D.－1答案　C解析　∵＋＝2，∴(＋)·＝2·，取OC中点D(图略)，由极化恒等式得，·＝||2－||2＝||2－，又||＝0，∴(＋)·的最小值为－.8.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值为(　　)A.－2  B.－  C.－  D.－1答案　B解析　取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE.由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AE＝AD＝，则·(＋)＝2·＝2(||2－||2)＝2≥2×＝－，当且仅当||＝0时，取等号，∴·(＋)的最小值为－.9.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________.答案　1解析　取AE中点O，设AE＝x(0≤x≤1)，则AO＝x，∴·＝||2－|AE|2＝12＋－x2＝1.10.在△ABC中，AB＝6，AC＝5，A＝120°，动点P在以C为圆心，2为半径的圆上，则·的最小值为________.答案　16解析　设AB的中点为M，则·＝2－2＝||2－9，所以要求·的最小值，只需求||的最小值，显然当点P为线段MC与圆的交点时，||取得最小值，最小值为|MC|－2.在△AMC中，由余弦定理得|MC|2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以|MC|＝7，所以||的最小值为5，则·的最小值为16.11.在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围是________.答案　解析　取MN的中点为P，由极化恒等式得·＝||2－|MN|2＝||2－.当P为AB的中点时，||取最小值为，则·的最小值为；当M与A(或N与B)重合时，||取最大值为，则·的最大值为2，所以·的取值范围是.12.已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则·的取值范围是________.答案　[－9，0]解析　如图，取CD的中点G，连接OG，MO，CO，得OG⊥CD，·＝||2－||2＝||2－16，∵||≥||≥||，∴≤||≤4，∴·∈[－9，0].二、创新拓展练13.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A.2  B.3  C.6  D.8答案　C解析　如图，由已知OF＝1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：·＝||2－||2＝||2－，∵当P在椭圆右顶点时，||2有最大值，||＝，∴·的最大值为6.14.(多选)(2022·苏北四市调研)已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则(　　)A.·＝2－2   B.存在点P，使||<||C.·＝0   D.AC＝BC答案　AD解析　如图所示，取BC的中点D，连接PD，根据向量的极化恒等式，有·＝2－2，·＝2－2.又·≥·，所以||≥||，A正确；B错误；故由点P为边AB上任意一点知：点D到边AB上点的距离的最小值为||，从而DP0⊥AB，∴·≠0，C错误；取AB的中点E，则由P0B＝AB知，CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，D正确.15.(2022·宁波模拟)AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，|AB|＝6，若点P为⊙C上一动点，则·的取值范围是(　　)A.[0，100]  B.[－12，48]C.[－9，64]  D.[－8，72]答案　D解析　如图，取AB中点为Q，连接PQ.∴＋＝2，－＝，∴·＝[(＋)2－(－)2]＝(4||2－||2).又∵||＝6，|CQ|＝＝4，∴·＝||2－9，∵点P为⊙C上一动点，∴|PQ|max＝5＋|CQ|＝9，|PQ|min＝5－|CQ|＝1，∴·的取值范围为[－8，72].16.在半径为1的扇形中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于P，则·的最小值为________.答案　－解析　取OB的中点D，作DE⊥AB于点E，连接PD，则·＝||2－||2＝||2－，易知||∈＝，则·＝2－∈，故所求最小值为－.17.如图，在平面四边形ABCD中，AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∠ABC＝90°，则·的最大值为________.答案　1解析　取CD的中点E，连接EA，EB，∵AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∴AE⊥CD，DE＝ADsin 60°＝，由∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，且AC为直径，则·＝||2－||2＝||2－()2≤||2－3＝22－3＝1，所以·的最大值为1.18.(2022·金丽衢12校联考)已知平面向量a，b，c，d满足|a|＝|b|＝2，a·b＝0，|b＋2c|＝2，若(d－a)·(d＋2b)≤4，则|c＋d|的取值范围为________.答案　[0，＋4]解析　如图，因为|a|＝|b|＝2，a·b＝0，所以不妨设a＝＝(2，0)，b＝＝(0，2).设c＝，d＝.因为|b＋2c|＝2，即＝1，所以可知点C在以(0，－1)为圆心，1为半径的圆上.设E(0，－4)，M为AE的中点，由(d－a)·(d＋2b)＝·＝2－2＝2－5≤4，可得点D在以M(1，－2)为圆心，3为半径的圆内(包含边界)，所以|c＋d|＝|d－(－c)|＝|－|＝||∈[0，＋4].