2022年高中数学新教材人教B版必修第二册学案章末检测试卷一(第四章)

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册全册综合导学案及答案，共9页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末检测试卷一(第四章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．函数f(x)＝ln －的定义域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　由题意得∴
∴x>0，∴函数的定义域为(0，＋∞)．
2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(　　)
A．y＝50 B．y＝1 000x
C．y＝0.4·2x－1 D．y＝ex
答案　D
解析　指数函数y＝ax在a>1时呈爆炸式增长，而且底数a越大，增长速度越快．
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为(　　)
A．－4 B．4 C．－6 D．6
答案　A
解析　由题意，得f(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.
所以f(－log35)＝－f(log35)＝－4.
4．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速率为(　　)
A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3
答案　A
解析　∵S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，
∴平均速率＝＝＝6.3.
5．已知c＝log2，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
答案　A
解析　a＝>1,
c＝log2＝－log23<0，故a>b>c.
6．已知幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)的图像关于原点对称，且在(0，＋∞)上是减函数，若则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B.
C. D．(－∞，－1)∪
答案　B
解析　∵幂函数f(x)＝xm－2的图像关于原点对称，且在(0，＋∞)上是减函数，
∴m－2<0，解得m<2，
∵m∈N，∴m＝0或m＝1，
∴当m＝0时，图像关于y轴对称，不满足题意；
当m＝1时，图像关于原点对称，满足题意，
∴不等式
∵函数f(x)＝在(0，＋∞)上递减，
∴
解得 即实数a的取值范围是.
7．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
答案　C
解析　设a 得|lg a|＝|lg b|.
∵a，b，c互不相等，∴lg a＝－lg b．∴ab＝1.
作出函数f(x)的图像如图所示，

由图像可知10 8．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(a) C．f(1) 答案　A
解析　分别作出函数y＝ex，y＝ln x，y＝2－x的图像，如图所示，

不难发现a<1 所以f(a) 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若10a＝4,10b＝25，则(　　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8lg22 D．b－a>lg 6
答案　ACD
解析　由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，
∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，
∴b－a＝lg 25－lg 4＝lg ，
∵lg 10＝1>lg >lg 6，
∴b－a>lg 6，
∴ab＝4lg 2lg 5>4lg 2lg 4＝8lg22，故正确的有ACD.
10．对于函数f(x)＝lg，下列说法正确的有(　　)
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
答案　AD
解析　对A，B，因为f(x)＝lg，
故f(x＋2)＝lg，定义域为{x|x≠0}．
又f(－x＋2)＝lg＝lg，
故f(x＋2)为偶函数．故A正确，B错误．
对C，因为f(x)＝lg
＝
当x∈(2，＋∞)时，因为y＝在x∈(2，＋∞)上单调递减，故y＝＋1单调递减，所以y＝lg在区间(2，＋∞)上单调递减．故C错误．
对D，因为当x∈(2，＋∞)时， y＝lg单调递减．故且当x→＋∞时， y→0.
故f(x)没有最小值．故D正确．
11．已知幂函数f(x)＝(m，n∈N＋，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是(　　)
A．m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)是偶函数
C．0<<1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数
D．m，n是奇数时，幂函数f(x)的定义域为R
答案　ABD
解析　因为f(x)＝＝，当m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数，故A中的结论正确；
当m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)是偶函数，故B中的结论正确；
0<<1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故C中的结论错误；
当m，n是奇数时，幂函数f(x)＝在R上恒有意义，故D中的结论正确．
12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，a≠1)，则(　　)
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图像关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)＋g(x)在区间(0,1)上是减函数
答案　AB
解析　∵f(x)＝loga(x＋1)，
g(x)＝loga(1－x)(a>0且a≠1)，
∴f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，
由x＋1>0且1－x>0得－1 由f(－x)＋g(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝f(x)＋g(x)得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，故B对；
∵－1 ∵y＝1－x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当01时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错；
∵f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，根据复合函数的单调性，当01时，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝loga(2x－3)＋8的图像恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图像上，则f(x)＝________，f(3)＝________.(本题第一空3分，第二空2分)
答案　x3　27
解析　由题意得定点A为(2,8)，设f(x)＝xα，
则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.
14．已知y＝log4(－ax＋3)在[0,1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案　(0,3)
解析　由题意知解得0 15．若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
答案　(1,2]
解析　当x≤2时，y＝－x＋6≥4，
依题意得
解得1 16.如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．

答案　
解析　由图像可知，点A(xA,2)在函数的图像上，所以xA＝2＝.
点B(xB,2)在函数的图像上，
所以xB＝4.
所以点C(4，yC)在函数y＝x的图像上，
所以yC＝4＝.
又xD＝xA＝，yD＝yC＝，
所以点D的坐标为.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)计算：2(lg )2＋lg ·lg 5＋；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a3m＋n的值．
解　(1)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋＝lg (lg 2＋lg 5)＋|lg －1|＝lg ＋(1－lg )＝1.
(2)∵loga2＝m，∴am＝2，
∵loga3＝n，∴an＝3，
故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.
18．(12分)设f(x)为奇函数，且当x>0时，
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
解　(1)当x<0时，－x>0，
则
又因为f(x)为奇函数，
所以
(2)由题意及(1)，知原不等式等价于

解得x≥或－4≤x<0.
19．(12分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>1，且a为常数)在区间[－1,1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求满足f(x)＝7时x的值．
解　(1)令t＝ax>0，∵x∈[－1,1]，a>1，
∴ax∈，
f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，求得a＝3(舍负)，
∴f(x)＝32x＋2×3x－1.
(2)由f(x)＝7，可得32x＋2×3x－1＝7，
即(3x＋4)(3x－2)＝0，
求得3x＝2，∴x＝log32.
20．(12分)若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
解　由x2－logmx<0，得x2 要使x2
在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．
因为当x＝时，y＝x2＝，
所以只要当x＝时，y＝logm≥＝
所以即≤m.又0 所以≤m<1，即实数m的取值范围是.
21．(12分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元时，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c，如图所示．

(1)求函数y1，y2的解析式；
(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额？
解　(1)由题图知P1：y1＝axn过点，，
∴∴
∴x∈[0，＋∞)．
P2：y2＝bx＋c过点(0,0)，(4,1)，
∴∴
∴y2＝x，x∈[0，＋∞)．
(2)设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x)万元，总利润为y万元．
则y＝＋(10－x)＝－x＋＋
＝－2＋(0≤x≤10)，
当＝，即x＝＝6.25时，ymax＝，
此时投资乙商品为10－x＝10－6.25＝3.75万元，
故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．
22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)在R上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
(1)解　因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，得b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
经检验a＝1，b＝1符合题意．
(2)证明　任取x1，x2∈R，且x1 则f(x1)－f(x2)＝


因为x1 又因为
所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)为R上的减函数．
(3)解　因为t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
因为f(x)为奇函数，所以f(t2－2t) 因为f(x)为R上的减函数，
所以t2－2t>k－2t2，即k<3t2－2t恒成立，
而3t2－2t＝32－≥－.
所以k<－.
所以实数k的取值范围是.