高一下学期数学微专题25讲 04.奔驰定理及应用

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册全册综合当堂达标检测题，共3页。试卷主要包含了奔驰定理，三角形四心的向量表达，为边中线，过作，过作，由同弦所对圆心角和圆周角，，，， 设内切圆半径为，则，，等内容，欢迎下载使用。
微专题4.奔驰定理1.奔驰定理      点是所在平面上不与重合的一点，若，则，即.反之亦然.证明：只证的情形，其它情形可类似证明．如图1，由得.，存在点使得，且，，，同理有，，即,命题得证．               图1                                            图22.三角形四心的向量表达如图2，为内一点，设分别表示的边长，则（1）为的重心；（2）为的外心；（3）为的内心；（4）为的垂心. 证明：（1）为的重心,如图3.为边中线，过作，过作由三角形相似可知，所以，同理可知，故可得如下结果，故.                      图3                                            图4                    （2）如图4.由同弦所对圆心角和圆周角，，，  ，则 ，因此得证.  .    （3）如图5. 设内切圆半径为，则，，故.              图5                                                     图6（4）如图6，由于，从而可得，所以. 则，最后，利用正弦定理可得：.另一方面.，那么 ，故可得在非直角三角形中为的垂心.这样，我们就以奔驰定理为基本依次推出了三角形四心的向量形式，下来，我们将重点介绍四心向量形式的应用.二．应用例1．已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______．例3.解析：因为，所以，所以．例2.设为三角形ABC内一点，且满足关系式： _____.解析：将化为，.设M、N分别是AB、AC的中点，则.设△ABC的面积为S，由几何关系知，，，所以.