初中第十二章 全等三角形12.1 全等三角形优秀一课一练

第十二章　全等三角形

                              12.1　全等三角形

                             典型例题

题型一　全等形、全等三角形

例1　下列说法中，错误的是(　　)

①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形是全等形，那么它们的形状和大小一定都相同；③两个正方形一定是全等形；④边数相同的图形一定能互相重合.

A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①④

解析：①显然错误；

②正确，两个图形全等，它们一定能重合，所以它们的形状和大小一定都相同；

③错误，两个边长不相等的正方形不全等；

④错误，例如两个边长不相等的正方形不全等，故不能互相重合.

答案：A

点拨：本题考查了全等形的概念和特点，属于基础题，掌握全等形的定义是解答本题的关键.

例2　如图12-1-1所示，△ABC≌△CDA，则对应边是　　　　，对应角是　　　　.

解析：∵ △ABC≌△CDA，

∴ AB＝CD，CB＝AD，AC＝CA，

∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC，∠BAC＝∠DCA.

答案：AB和CD，CB和AD，AC和CA　∠B和∠D，∠BCA和∠DAC，∠BAC和∠DCA

点拨：此题主要考查了全等三角形的性质，关键是找准对应顶点.

例3　如图12-1-2所示，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转后，得到△AEF，且∠FAC＝30°.

(1)△ABC与△AEF的关系如何？

(2)求∠EAB的度数.

(3)△ABC绕其顶点A至少顺时针旋转多少度时，旋转后得到的

△AEF的顶点F和△ABC的顶点C和A在同一条直线上(点F不与点C重合)？

分析：本题主要考查全等三角形的定义.

解：(1)∵ △AEF是由△ABC绕其顶点A旋转形成的，∴ △ABC≌△AEF.

(2)∵ △ABC≌△AEF(已证)，

∴ ∠BAC＝∠EAF(全等三角形的性质).

∴ ∠BAC-∠BAF＝∠EAF-∠BAF(等式的性质)，

即∠FAC＝∠EAB.

又∵ ∠FAC＝30°(已知)，

∴ ∠EAB＝30°(等量代换).

(3)当△AEF的顶点F和△ABC的顶点A和C在同一条直线上(点F不与点C重合)时，△ABC应绕其顶点A至少顺时针旋转180°.

点拨：在全等三角形中找对应边、对应角的方法：

(1)根据图形找全等三角形的对应边、对应角时，可根据“大角对大角是对应角”“长边对长边是对应边”“公共角是对应角”“公共边是对应边”“对顶角是对应角”等来找对应关系.

(2)根据全等三角形的表示找对应角、对应边时，可按字母的顺序来找对应关系.

题型二　运用全等三角形的性质解决有关线段的计算与证明问题

例4　已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm， DE＝9 cm，EF＝12 cm，求△ABC各边的长.

分析：由△ABC≌△DEF知两个三角形的三边对应相等，所以根据已知只需求出△DEF的边DF的长度即可得到△ABC各边的长.

解：∵ △DEF的周长为32 cm，DE＝9 cm，EF＝12 cm，∴ DF＝32-9-12＝11(cm).

∵ △ABC≌△DEF，∴ AB＝DE＝9 cm，BC＝EF＝12 cm，AC＝DF＝11 cm.

点拨：利用全等三角形的性质求线段的长度问题，找准对应边是解题的关键.

例5　如图12-1-3所示，△ACF与△DBE全等，∠E与∠F是对应角.若AD＝11，BC＝7，求线段AB的长.

解：∵ △ACF≌△DBE，∠E与∠F是对应角，∴ AC＝DB，

∴ AC-BC＝DB-BC，

∴ AB＝DC＝(AD-BC)＝×(11-7)＝2.

方法归纳

利用全等三角形的性质求线段的长度的方法：先利用全等三角形确定两个三角形中边的对应关系，并由这种关系实现已知线段和未知线段的转换.当所求的线段不是全等三角形的对应边时，可以考虑用等式的性质进行转化，从而找到所求线段与已知线段的关系，再求解.

例6　如图12-1-4所示，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD.判断AE与DE的关系，并证明你的结论.

解：AE＝DE，且AE⊥DE.

证明如下：∵ △ABE≌△ECD，

∴ ∠B＝∠C，∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠D，AE＝DE.

又∵ AB⊥BC，∴ ∠A+∠AEB＝90°，

∴ ∠DEC+∠AEB＝90°，

∴ ∠AED＝90°，即AE⊥DE，

∴ AE＝DE，且AE⊥DE.

点拨：探求两条线段的关系要从两个方面考虑：一是数量关系；二是位置关系.

题型三　运用全等三角形的性质解决有关角度问题

例7　如图12-1-5所示，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，若△ADB≌ △EDB ≌ △EDC，则∠A的度数是(　　)

A.90° B.100° C.105° D.120°

解析：根据全等三角形对应角相等，得∠A＝∠BED＝∠CED.

∵ ∠BED+∠CED＝180°，

∴ ∠A＝∠BED＝∠CED＝90°.　　

答案：A

方法归纳

利用全等三角形的性质求角的度数的过程：利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所求角的度数.

题型四　运用全等三角形的性质解决有关折叠问题

例8　如图12-1-6所示，将长方形ABCD沿AE所在的直线翻折，使点D落在BC边上的点F处.若AD＝9 cm，DE＝2.4 cm，∠BAF＝60°，则AF＝　　　　cm，EF＝　　　　cm，∠DAE＝　　　　.

解析：∵ △ADE沿AE所在的直线翻折得到△AFE，∴ △AFE≌△ADE.

∴ AF＝AD＝9 cm，EF＝ED＝2.4 cm，

∠FAE＝∠DAE.

在长方形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BAF＝60°，

∴ ∠FAD＝∠BAD-∠BAF＝90°-60°＝30°，

∴ ∠DAE＝∠FAE＝∠FAD＝×30°＝15°.

答案：9　2.4　15°

题型五　利用全等三角形解决面积问题

例9　如图12-1-7所示，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝4 cm.已知△BCD≌△ACE，求四边形AECD的面积.

解：∵ △BCD≌△ACE，∴ S△BCD＝S△ACE.

∴ S四边形AECD＝S△ACE+S△ACD＝S△BCD+S△ACD＝S△ABC＝×4×4＝8(cm2).

点拨：线段AC把四边形AECD分成两部分，我们把△ACE移至△BCD的位置，使之与△ACD构成△ABC，进而可求面积.

例10　如图12-1-8所示，已知直角三角形ABC，将其沿BC方向平移得到△DEF.如果AB＝8 cm，BE＝4 cm，DH＝3 cm，则图中阴影部分面积为　　　　cm2.

解析：∵ △ABC≌△DEF，

∴ DE＝AB＝8 cm，S△ABC＝S△DEF .

∵ S△ABC＝S梯形ABEH+S△HEC，S△DEF＝S梯形DHCF+S△HEC，

∴ S梯形ABEH＝S梯形DHCF .

∵ DH+HE＝DE，∴ HE＝DE-DH＝8-3＝5(cm)，

∴ S梯形ABEH＝(AB+HE)×BE＝×(8+5)×4＝26(cm2).

∴ S梯形DHCF＝26 cm2.　　

答案：26

                              拓展资料

数学与生活

同学们，你们知道几何学的起源吗？几何学是从测量土地中产生的.远古时候，古埃及人聚居在尼罗河附近，以耕作河两岸的农田维持生计.可是，尼罗河每隔一段时间就会洪水泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，待到洪水消退，两岸农田的边界也随之消失.所以，每当河水泛滥后，古埃及人又要重新划分农田的范围和界线.为了能够重新分回属于自己当初的那份土地，这就涉及图形的全等问题了.

网球场地中的全等

网球是一项优美而激烈的运动，盛行全世界，被称为世界第二大球类运动.网球场地是一个长方形，球场用底线、边线、发球线等分成不同的区域.具体形状大致如图12-1-9所示，共有A，B，C，D，E，F六个区域.同学们，你能分辨出其中共有多少对全等形吗？

图12-1-9

全等形是指能够完全重合的两个图形.从图中可以看出，A与B，C与D，E与F能够完全重合，所以网球场地中共有三对全等形.

马行四日游一方

中国象棋在中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.在中国古代，象棋被列为士大夫们的修身之艺，现在则被视为怡神益智的一种有益的活动.在下象棋时有这样一个规则：马走“日”字.那你可听说过“马行四日游一方”？

如图12-1-10所示，马从点A出发，连走4步，可沿线路“A—B—C—D—A”回到点A(所行路线呈正方形)，因此趣曰：“马行四日游一方”.你知道其中的道理吗？

图12-1-10

简单地说，就是利用三角形全等可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.设网格中小正方形的边长为1，AB是“日”字(外框是2×1的长方形)的一条对角线.棋盘上，除了“2×1”的长方形对角线外，找不到与AB相等的连接两个点的线段了.