初中数学本节综合习题

这是一份初中数学本节综合习题，共9页。试卷主要包含了5°C等内容，欢迎下载使用。

11.2　与三角形有关的角
典型例题
题型一　三角形内角和定理的应用
例1　(山东滨州中考)在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝　　　　.
解析：因为三角形的内角和是180°，所以∠A+∠B+ ∠C＝180°.
又因为∠A＝30°，∠B＝50°，
所以∠C＝180°-30°-50°＝100°.　　
答案：100°
例2　在△ABC中，若∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为(　　)
A.50° B.75° C.100° D.125°
解析：由∠A＝55°可得∠B+∠C＝125°.又因为∠B-∠C＝25°，两式相加即可求出∠B的度数为75°.
答案：B
例3　在△ABC中，若∠A＝∠B+∠C，则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.钝角三角形
解析：∵ ∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A＝∠B+∠C，∴ 2∠A＝180°，∴ ∠A＝90°，
∴ △ABC为直角三角形.
答案：A
例4　如图11-2-1所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝∠A+30°，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数.
解：设∠A＝x°，则∠C＝∠ABC＝x°+30°，
∴ x+x+30+x+30＝180，解得x＝40，
图11-2-1
∴ ∠C＝∠ABC＝70°.
∵ BD是AC边上的高，∴ ∠DBC＝90°-70°＝20°.
点拨：通过设未知数，把与之有关的条件联系起来，便于理解和计算，有利于提高分析问题和解决问题的能力.
例5　如图11-2-2所示，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D，求∠BDC的度数.
图11-2-2
分析：要求∠BDC的度数，需要利用角平分线的定义和三角形内角和定理，解题关键是建立已知和未知之间的关系.
解：如图11-2-2所示，
在△BDC中，∠BDC＝180°-(∠DBC+∠DCB).
由已知得∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴ ∠DBC+∠DCB ＝(∠ABC+∠ACB).
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A＝180°-60°＝120°，
∴ ∠DBC+∠DCB ＝×120°＝60°，
∴ ∠BDC＝180°-(∠DBC+∠DCB)＝180°-60°＝120°.
点拨：在上述三角形中，两内角的角平分线相交构成的钝角等于90°加上第三个角的一半，即∠BDC＝90°+∠A.
　　
　图11-2-3　　　　　图11-2-4
类似的结论还有：(1)如图11-2-3所示，△ABC的一个内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点E，则∠E＝∠A.(2)如图11-2-4所示，△ABC的两个外角的平分线交于点P，则∠P＝90°-∠B.
例6　如图11-2-5所示，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，若∠BDC＝ 140°，∠BGC＝110°，求∠A的大小.
图11-2-5
解：如图11-2-5所示，连接BC，根据三角形内角和等于180°，
在△BDC中，由∠BDC＝140°，可得∠DBC+∠DCB＝40°.
在△BGC中，由∠BGC＝110°，
可得∠GBD+∠GCD＝180°-∠BGC-(∠DBC+∠DCB)＝30°.
由BE，CF分别是∠ABD，∠ACD的平分线，BE，CF相交于点G，
可得∠ABD+∠ACD＝30°×2＝60°，
所以(∠ABD+∠ACD)+(∠DBC+∠DCB)
＝60°+40°＝100°，
所以在△ABC中，∠A＝180°-100°＝80°.
例7　如图11-2-6所示，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B＝52°，∠C＝78°，则∠AEB的度数是　　　　.
图11-2-6
解析：根据三角形的内角和等于180°，再由∠B＝52°，∠C＝78°，易得∠BAC＝50°.
又因为AE是角平分线，所以∠BAE＝∠CAE＝25°.下面采用两种方式来求得
∠AEB的度数.
(1)若把∠AEB看成是△ABE的内角，则可以用其内角和180°减去已经知道的其余两角的度数即可.
(2)若把∠AEB看成是△AEC的外角，则可以用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即∠CAE加上∠C.
答案：103°
例8　一种工件的示意图如图11-2-7所示，它要求∠BDC等于140°，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝22°，∠C＝26°后就下结论说此工件不合格，这是为什么呢？
　　
　　　　　　　　　　① ②
图11-2-7　　　 　图11-2-8
分析：欲知工件是否合格，只需求出∠BDC的度数，再与合格的度数140°进行比较就可以作出判断.
解法1：如图11-2-8①，连接BC.
因为∠BDC＝180°-(∠1+∠2)，
而∠1+∠2＝180°-(∠3+∠4+∠A)
＝180°-(26°+22°+90°)＝42°，
所以∠BDC＝138°≠140°.故此工件不合格.
解法2：如图11-2-8②，作射线AD，则原图就可以看成是由两个三角形所组成的图形，
∠1与∠2分别是△ADC与△ABD的外角，
根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”有∠1＝∠3+∠DAC，∠2＝∠4+∠BAD.
所以有∠BDC＝∠1+∠2＝∠3+∠DAC +∠4+∠BAD
＝∠3+∠4+∠A＝26°+22°+90°＝138°，所以可以确定这个零件是不合格的.
点拨：三角形是一个基本的图形，它的边角关系在实际生活中有很多应用，利用这些关系可以解决生活中的许多问题.
图11-2-9
例9　某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图11-2-9所示的同一高度定出了两个开挖点P和Q，然后在左边定出开挖的方向线AP，为了准确定出右边开挖的方向线BQ，测量人员取一个在点A，P，Q可以同时看到的点O，测得∠A＝25°，∠AOC＝100°，那么∠QBO等于多少度才能确保BQ与AP在同一条直线上？
解：要使BQ与AP在同一条直线上，由于点Q与AP已在同一条直线上，
因此只需确保点B是AP的延长线与OC的交点就可以，
此时OA，OB和AB构成了三角形的三边，
∠QBO是该三角形的一个内角，
所以∠QBO＝180°-∠A-∠O＝180°-25°-100°＝55°.
题型二　直角三角形性质与判定的应用
例10　如图11-2-10所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE，求证△ACE是直角三角形.
分析：要证明△ACE是直角三角形，只需证明∠CEA＝90°.
图11-2-10
证明：方法1：∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠DMC+∠DCM＝90°.
又∵ ∠DMC＝∠AME，∠DCM＝∠MAE，
∴ ∠AME+∠MAE＝90°，
∴ ∠MEA＝90°，即△ACE为直角三角形.
方法2：∵ AD是△ABC的边BC上的高，
∴ △ADB和△MDC是直角三角形，
即∠B+∠BAD＝90°，∠DMC+∠DCM＝90°.
又∵ ∠DCM＝∠MAE，
∴ ∠B+∠BCE＝90°，
∴ ∠AEC＝90°，
即△ACE是直角三角形.
规律总结
判断一个三角形是直角三角形，我们常用的方法是证明其中一个角是90°.
例11　将一个三角尺和一把直尺按如图11-2-11所示放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是(　　)
A.43° B.47° C.30° D.60°
　　　
图11-2-11　　 　　图11-2-12
解析：如图11-2-12所示，延长BC交刻度尺的一边于点D.∵ AB∥DE，∴ ∠β＝∠EDC.
又∠CED＝∠α＝43°，∠ECD＝90°，
∴ ∠β＝∠EDC＝90°-∠CED＝90°-43°＝47°.
答案：B
例12　如图11-2-13所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠FCD的度数.
图11-2-13
分析：先由三角形内角和定理，求出∠ACB的度数，再根据CE为∠ACB的平分线及△ABC的内角和，可求出∠BCE.因为△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而由∠FCD＝∠BCE-∠BCD问题得到解决.
解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，
由三角形内角和定理，得∠ACB＝180°-72°-40°＝68°.
又CE平分∠ACB，所以∠BCE＝∠ACB＝34°.
在Rt△CDB中，∠B＝72°，所以∠BCD＝90°-72°＝18°，
所以∠FCD＝∠BCE-∠BCD＝34°-18°＝16°.
点拨：这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.
例13　如图11-2-14所示，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE＝　　　　.
图11-2-14
解析：在△ABC中，由∠B＝34°，∠ACB＝104°，可得∠BAC＝42°.又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠EAB＝21°.在Rt△ADB中，已知∠D＝90°，∠B＝34°，那么∠DAB＝56°，所以∠DAE＝∠DAB-∠EAB＝56°-
21°＝35°.　　
答案：35°
题型三　三角形内角和定理与外角性质的综合应用
例14　(2019·内蒙古赤峰中考)如图11-2-15所示，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为(　　)
图11-2-15
A.65° B.70° C.75° D.85°
解析：方法1：∵ DE⊥AB，∠A＝35°，∴ ∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴ ∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+ 55°＝70°.
方法2：∵ DE⊥AB，∠A＝35°，
∴ ∠AFD＝90°+35°＝125°.
又∵ ∠D＝15°，∴ ∠FCD＝110°.
∵ ∠ACD+∠ACB＝180°，∴ ∠ACB＝180°-∠ACD＝180°-110°＝70°.
答案：B
例15　(2019·湖北荆州中考)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图11-2-16方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　)
A.10° B.20°
C.30° D.40°
图11-2-16
解析：∵ 直线m∥n，
∴ ∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°.
∵ ∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°，
∴ ∠2＝180°-30°-90°-40°＝20°.　　
答案：B
例16　(2019·江苏宿迁中考)若一副三角板如图11-2-17方式摆放(直角顶点C重合)，边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于(　　)
A.105° B.100° C.75° D.60°
图11-2-17
解析：由题意知∠E＝45°，∠B＝30°.
∵ DE∥CB，
∴ ∠BCF＝∠E＝45°.
在△CFB中，∠BFC＝180°-∠B-∠BCF＝180°-30°-45°＝105°.　　
答案：A
例17　已知△ABC，如图11-2-18所示.

① ② ③
图11-2-18
(1)如图①所示，若点D是△ABC内任一点，求证∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD.
(2)若点D是△ABC外一点，位置如图②所示，猜想∠D，∠A，∠ABD，∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式.(不需要证明)
(3)若点D是△ABC外一点，位置如图③所示，猜想∠D，∠A，∠ABD，∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论.
(1)证明：延长BD交AC于点E，如图11-2-24①所示.
∵ ∠BDC是△CDE的外角，
∴ ∠BDC＝∠2+∠CED.
∵ ∠CED是△ABE的外角，∴ ∠CED＝∠A+∠1.
∴ ∠BDC＝∠A+∠1+∠2.
即∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD.
(2)解：∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝360°.
(3)∠D+∠ACD＝∠A+∠ABD.
证明：设BD，AC交于点E，
∵ ∠AED是△ABE的外角，∴ ∠AED＝∠1+∠A.
又∵ ∠AED是△CDE的外角，∴ ∠AED＝∠D+∠2.
∴ ∠A+∠1＝∠D+∠2，
即∠D+∠ACD＝∠A+∠ABD.
点拨：本题主要考查三角形的外角性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
例18　(山东枣庄中考)如图11-2-19所示，在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为(　　)
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
图11-2-19
解析：在△ABC中，因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB＝×(180°-30°)＝75°.
由三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC＝30°+75°＝105°.
因为BD，CD分别为∠ABC，∠ACE的平分线，
所以∠DBC＝∠ABC＝×75°＝37.5°，∠ACD＝∠ACE＝×105°＝52.5°.
即∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝52.5°+75°＝127.5°，
在△BCD中，∠D＝180°-∠DBC-∠BCD＝180°- 37.5°-127.5°＝15°.　　
答案：A
例19　如图11-2-20所示，D，E分别是AC，AB上的点，DB，EC相交于点F，则∠A+∠B+∠C+ ∠EFB的度数(　　)
A.等于360° B.等于180° C.小于180° D.大于180°
图11-2-20
解析：本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质.由图可知∠ADB＝∠C+∠CFD，而∠CFD＝∠EFB，所以∠ADB＝∠C+∠EFB.在△ABD中，由三角形内角和为180°可知∠A+∠B+∠ADB＝180°，即
∠A+ ∠B+∠C+∠EFB＝180°.故选B.　　
答案：B
点拨：解决此类问题应充分运用转化思想.
例20　如图11-2-21所示，在五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.
图11-2-21
分析：∠A，∠B，∠C，∠D，∠E五个角不在同一个三角形中，需要利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”转化到同一个三角形中.
解：因为∠AGF是△GCE的外角，
所以∠AGF＝∠C+∠E.
同理∠AFG＝∠B+∠D.
在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF＝180°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.
题型四　三角形的内外角与平行线相关的综合问题
例21　(2020·杭州中考)如图11-2-22，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F.若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　　　　.
解析：∵ AB∥CD，
∴ ∠ABF+∠EFC＝180°.
图11-2-22
∵ ∠EFC＝130°，
∴ ∠ABF＝50°.
∵ ∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，
∴ ∠A＝20°.
答案：20°
例22　(2020·长沙中考)如图11-2-23，一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD，GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为(　　)
A.60° B.45° C.30° D.25°
解析：∵ AB平分∠CAD，∠CAB＝60°，
∴ ∠CAD＝2∠CAB＝2×60°＝120°.
图11-2-23
∵ FD∥GH，∴ ∠ACE+∠CAD＝180°，
∴ ∠ACE＝180°-∠CAD＝180°-120°＝60°.
∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ECB＝90°-∠ACE＝90°-60°＝30°.
答案：C
例23 (2020·江西中考)如图11-2-24，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是(　　)
A. AB∥CD B.∠B＝30°
图11-2-24
C.∠C+∠2＝∠EFC D.CG>FG
解析：∵ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)，
故A项正确；
∵ ∠3+∠C＝∠2，∠3＝35°，∠2＝65°，∴ ∠C＝30°，
∴ ∠B＝∠C＝30°(两直线平行，内错角相等)，故B项正确；
∵ ∠EFC+∠3＝180°，
∴ ∠EFC＝180°-∠3＝180°-35°＝145°，∠C+∠2＝30°+65°＝95°≠145°，
∴ ∠EFC≠∠C+∠2，故C项错误；
∵ ∠C＝30°，∠3＝35°，∴ ∠3>∠C，∴ CG>FG，故D项正确.
答案：C
题型五　三角形的内角和及其角平分线、高的综合应用
例24　如图11-2-25所示，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝54°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线.求∠DAE的度数.
图11-2-25
分析：在△ABC中，已知∠B＝38°，∠C＝54°，根据三角形的内角和为180°，可求出∠BAC的度数.已知AD平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAC.已知AE是BC边上的高，根据高
的定义可得∠AEC＝90°.因此，在Rt△AEC中，根据三角形的内角和为180°，可求出∠CAE的度数，进而得到∠DAE的度数.
解：在△ABC中，∵ ∠B＝38°，∠C＝54°，
∴ ∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-38°-54°＝88°.
∵ AD是∠BAC的平分线，∴ ∠CAD＝∠BAC＝×88°＝44°.
∵ AE是BC边上的高，∴ ∠AEC＝90°.
在△AEC中，∵ ∠AEC＝90°，∠C＝54°，
∴ ∠CAE＝180°-∠AEC-∠C＝180°-90°-54°＝36°.
∴ ∠DAE＝∠CAD-∠CAE＝44°-36°＝8°.
例25　如图11-2-26所示，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E.若∠C＝60°，∠BED＝70°，求∠ABC和∠BAC的度数.
图11-2-26
分析：先根据AD是△ABC的高得出∠ADB＝90°，再由三角形内角和定理可知∠DBE +∠ADB+∠BED＝180°，故∠DBE＝180°- ∠ADB
-∠BED＝20°.根据BE平分∠ABC得出∠ABC的度数.根据∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∠C＝60°，即可求解.
解：∵ AD是△ABC的高，∴ ∠ADB＝90°.
又∵ ∠DBE+∠ADB+∠BED＝180°，∠BED＝70°，
∴ ∠DBE＝180°-∠ADB-∠BED＝20°.
∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABC＝2∠DBE＝40°.
又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∠C＝60°，
∴ ∠BAC＝180°-∠ABC-∠C＝80°.
点拨：本题是三角形内角和定理和角平分线的性质相结合的问题，解决本题的关键是弄清已知条件和未知条件之间的联系.

拓展资料
剪纸中的规律
同学们，你们玩过剪纸游戏吗？卡通剪纸就是一个好玩的游戏活动.只要准备简简单单的几张彩色纸，就可以剪出许多可爱的小动物.
丁丁和露露正在玩剪纸游戏，他们用一个三角形彩纸来剪一个“会游泳的小鱼”.先剪下三角形的∠A 来做小鱼的尾巴(如图11-2-27所示)，当他们用不同的剪法(直线l 的方向不一致)剪下∠A 后，丁丁发现剩下的那一块中的∠1 和∠2 的和总是相同的.当丁丁把这个结论告诉露露时，露露想也许是巧合，于是又剪了几个相同的三角形纸片试了试，结果仍然成立.聪明的同学们，你们知道其中的道理吗？
参考答案：因为剪下的三角形除∠A外的两个角之和不变，而∠1和∠2正好是它们的补角，所以∠1和∠2的和也不变.
　　　
图11-2-27 　　　　图11-2-28
设计图案
丁丁放学回家，看到妈妈手提剪刀，正在桌前发愁.丁丁走上前去，探个究竟，原来妈妈正在为设计的样品是否符合要求感到为难.
丁丁的妈妈是服装设计师，为了设计出一款新潮的时装，妈妈需要把时装的口袋设计成如图11-2-28所示的形状.按照要求，样品中AB，CD 的延长线相交成108°角最为美观，但交点不在样品上，测量起来不太方便.
丁丁知道了，告诉妈妈说：“妈妈，把AC 连接起来，只要测量一下∠BAC 和∠DCA 的大小就可以了.”
同学们，如果丁丁通过测量得出∠BAC＝∠DCA＝36°，请问丁丁妈妈设计的样品符合要求吗？
参考答案：符合要求.
帕斯卡与“三角形内角和”的故事
帕斯卡(1623—1662)是法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家.1623年6月19日诞生于法国多姆山省克莱蒙费朗城.帕斯卡没有受过正规的学校教育.他4岁时母亲病故，由受过高等教育、担任政府官员的父亲和两个姐姐负责对他进行教育和培养.他父亲是一位受人尊敬的数学家，但是他有个错误的认识，认为学习数学会劳神伤身，所以把家里所有的数学书都藏了起来，并且不允许他的朋友们在帕斯卡面前谈论数学.他只让帕斯卡看很多古典文学书，希望他能好好学习文学.父亲这一做法反而引起了帕斯卡对数学的兴趣.他开始偷偷地研究数学，有一天他问父亲，什么是几何，父亲很简单地回答说“几何就是教人在画图时能作出正确又美观的图”.于是帕斯卡就拿了粉笔在地上画起各种图形来.画着画着，12岁的帕斯卡发现任何一个三角形内角和都是180°，当他把这个发现告诉父亲时，父亲激动得泪如雨下，搬出了自己所有的数学书给帕斯卡看.在其父精心的教育下，帕斯卡很小时就精通欧几里得几何，他自己独立地发现了欧几里得的前32条定理，而且顺序也完全正确.后来通过不断的自学探究，帕斯卡成了非常有成就的数学家、物理学家和哲学家.
当年12岁的帕斯卡好像自言自语，又好像是告诉父亲一件重大事情似地说：“三角形三个内角的总和是两个直角.” 问题：帕斯卡怎么证明的呢？我们一起来看看：
　　　　
图11-2-29
长方形的四个角都是直角，长方形的四个角的和一定是360°.
把长方形沿对角线一分为二，就变成两个直角三角形，每个直角三角形的内角和就是360°除以2等于180°.
　　　　
图11-2-30
任意一个直角三角形都可以看做是长方形剪开的，所以任意直角三角形的内角和一定是180°.
任何一个锐角三角形都可以沿高分为两个直角三角形，两个直角三角形的内角和为180°+180°＝360°，而其中有两个直角拼在一起成了一条直线，所以真正作为锐角三角形的三个内角的和就是360°-90°-90°＝180°.同样的道理可以说明钝角三角形内角和也是180°.