初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程课时练习

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第1讲 一元二次方程知识点1  一元二次方程的概念及解法一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论 （1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是移项得：二次项系数化为1，得：：即当时，即∴4. 因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【典例】一元二次方程定义及一般形式1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ）A.             B. C.        D.  【方法总结】（1）一元二次方程必须满足的条件：①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
（3）项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1； 　【典例2】直接开平方法1.若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?(    )A. 5        B. 6        C.        D.  2.解方程. 【方法总结】形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如果a＜0，则方程无解  【典例3】配方法1.已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（   ）A.    B.    C.    D.  【方法总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解  【典例4】公式法1.一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（　　）A. 有两个不相等的实数根    B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根            D. 无法判断 2.用公式法解方程：. 【方法总结】解题技巧：（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是  【典例5】因式分解法1.解方程（x-1）（x+2）=2（x+2） 2.解方程：. 【方法总结】因式分解法的解题技巧是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【随堂练习】1．（2019春•龙口市期末）按要求解下列方程：（1）（因式分解法）；（2）（用配方法）． 2．（2019春•新泰市期末）解方程：（1）（2） 3．（2019春•高新区期末）已知：关于的方程（1）不解方程，判断方程的根的情况；（2）若为等腰三角形，腰，另外两条边是方程的两个根，求此三角形的周长． 4．（2019春•海淀区期末）方程有实数根（1）求的取值范围；（2）若是该方程的一个根，求的值． 5．（2019春•海淀区校级月考）关于的一元二次方程，求证：（1）方程总有两个实数根；（2）如果方程的两根相等，求此时方程的根． 6．（2019春•新泰市期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当取满足条件的最小整数值时，求方程的解． 7．（2019春•鼓楼区期末）已知关于的方程为常数）（1）求证：不论为何值，该方程总有实数根；（2）若该方程有一个根是，求的值． 8．（2019•张店区二模）关于的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）若为最大负整数，求此时方程的根．   知识点2：根与系数的关系根与系数关系又称为韦达定理：(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q【典例】1.已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【方法总结】解题技巧：(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q(3)当方程的两个根分别为x1、x2，满足条件的方程为（x-x1）（x-x2）=0(4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题【随堂练习】1．（2019春•蜀山区期末）若关于的方程的一根是，则另一根是　　A． B． C． D． 2．（2019春•九龙坡区校级期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的值为　　A．10 B．2 C． D． 3．（2019春•寿县期中）已知，，是一元二次方程的两个实数根，则的值为　　A． B．10 C． D． 4．一元二次方程的两个根为，，则的值是　　A．10 B．9 C．8 D．7 5．（2019•镇平县三模）一元二次方程有一个根是，则的值及方程的另一个根是　　A．， B．， C．， D．， 6．（2019•贵港）若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于　　A． B． C．2 D．3 7．（2019•广州）关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值　　A．0或2 B．或2 C． D．2 二．解答题（共1小题）8．（2019春•蚌埠期末）已知关于的一元二次方程：（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求另一个根及的值．  知识点3：一元二次方程的应用列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的量。一件商品的利润=售价-进价。总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。【典例1】增长率或降低率1.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．年市政府共投资亿元人民币建设了廉租房万平方米，预计到年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到年底共建设了多少万平方米廉租房． 【方法总结】解这类题的方法是：(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)。  【典例2】利润问题1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 【方法总结】列一元二次方程解决销售利润方案问题时，要理清进价、原来的售价、上升价格或下调价格，以及销售数量与售价之间满足的函数关系.如果列出的方程是一元二次方程，在解方程时需要根据应用题的实际意义来决定方程根的取舍问题.销售问题公式：价格上升公式为 （原来的售价+上升的钱数—进价）× 销售数量 = 利润价格下调公式为 （原来的售价—下降的钱数—进价）× 销售数量 = 利润  【典例3】面积问题1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长米，宽米的矩形场地上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为平方米．求人行道的宽。 2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为多少 【方法总结】两种不同的算法求图形的面积：①       利用特殊图形（三角形，长方形，正方形等）的面积公式求；三角形面积=底乘以高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘以宽；②利用面积的加减列式求解不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。 【典例4】动点问题1.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7平方厘米？说明理由． 2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；②       当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论） 【方法总结】解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索运动中“动”的一般规律。其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察各种可能的情况进行分类讨论，较为精确的把每种情况一一呈现出来。要学会运动问题静态化，在整个过程中要深刻理解分类讨论、数学结合等数学思想。【随堂练习】1．（2019春•历下区期末）如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为　　，宽为　　；（用含的式子表示）（2）若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求的值． 2．（2019春•富阳区期末）把一个足球垂直地面向上踢，（秒后该足球的高度（米适用公式．（1）经多少秒时足球的高度为20米？（2）小明同学说：“足球高度不可能达到21米！”你认为他说得对吗？请说明理由． 3．（2019春•房山区期末）十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：“一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问长边多长？”．请你用学过的一元二次方程知识解决这个问题． 4．（2019春•阜阳期中）今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数． 5．（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率． 6．（2019•双柏县一模）我县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米50元，试问哪种方案更优惠？ 7．（2019•老河口市模拟）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元（1）若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 8．（2019春•崇川区校级期末）2016年，市区某楼盘以每平方米6000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2018年的均价为每平方米4860元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2019年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金15万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？请说明理由．（房价每平方米按照均价计算）  9．（2019•南关区校级一模）在国家“一带一路”发展战略等多种因素影响下，某企业的利润逐年提高，据统计，该企业2016年利润为3亿元，2018年利润为4.32亿元，若2019年保持前两年的年平均增长率不变，该企业2019年利润能否超过5亿元？     综合运用：一元二次方程1.解一元二次方程 2.用配方法解方程：. 3.用公式法解方程. 4.解方程（因式分解法） 5.果农李明种植的草莓计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售．（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买吨草莓，因为数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金元．试问小刘选择哪种方案更优惠，优惠了多少？请说明理由． 6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？  7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利元，请回答：（1）为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 8.如图，在宽为，长为矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余下的种植草坪，要使其草坪面积为，则宽为多少 9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.